Az els˝onpozitív egész szám halmazát[n]jelöli, egyX⊆[n]halmaz komplementerét pedigX. A(V,E)párhipergráf, haVtetsz˝oleges halmaz (a hipergráfalaphalmaza),E (a hipergráf élhal-maza) pedig egy olyan multihalmaz, melynek minden elemeV egy részhalmaza. A hipergráfok alaphalmaza (hacsak kifejezetten mást nem mondunk) mindig[n]. Egy hipergráfegyszer˝u, ha nem tartalmaz többszörös éleket, vagyis ha E halmaz is. Az egyszer˝u hipergráfokat halmaz-rendszereknekis fogjuk hívni, továbbá ha ez nem okozhat félreértést, akkor a hipergráfokat az élhalmazukkal azonosítjuk.
4.1 Definíció. Legyen H = ([n],E) hipergráf. Egy X ⊆[n] halmaz mH(X)-szel jelölt multi-plicitásaH-ban az X megjelenéseinek száma azE élhalmazban. AH hipergráf leszálló, ha A∈E és B⊆A esetén B∈E is mindig teljesül. Tetsz˝oleges R⊆[n] esetén a H hipergráf R-en vettnyomaaz a hipergráf, melynek alaphalmaza R, élhalmaza pedig a{H∩R:H ∈E} multihalmaz. H -nak az R-en vett nyomátH |R jelöli. Egy r elem˝u halmazon vett nyomot r-nyomnakis fogunk hívni.
4.2 Definíció. (Frankl [14])Az (n,m)→(r,s) reláció pontosan akkor teljesül, ha minden (n elem˝u alaphalmazon megadott) m él˝u, egyszer˝u hipergráfnak van olyan r-nyoma, melynek leg-alább s különböz˝o éle van.
Bondy [7] mutatta meg, hogy (n,m)→(n−1,m) teljesül, ha m≤n, Bollobás [6] pedig azt bizonyította, hogy(n,m)→(n−1,m−1)teljesül, ha m≤ d32ne. Sauer [40] (és t˝ole függetle-nül Vapnik és Chervonenkis [53], illetve Perles és Shelah [41]) igazolta, hogy(n,m)→(r,2r) teljesül, ha m>∑r−1i=0 ni
. Frankl [14] és t˝ole függetlenül Alon [3] bizonyította e három tétel egy közös általánosítását. Azt mutatták meg, hogy(n,m)→(r,s)akkor és csak akkor teljesül, ha minden (nelem˝u alaphalmazon megadott)mél˝u, egyszer˝u,leszállóH hipergráfhoz létezik olyanrelem˝uR⊆[n]halmaz, melyreH |Rlegalábbskülönböz˝o élet tartalmaz. (Alon valójá-ban egy picivel még általánosabb tételt bizonyított.) Nem nehéz végiggondolni, hogy Bondy, Bollobás, illetve Sauer tételei csakugyan következnek a Frankl-Alon tételb˝ol.
Valamennyi felsorolt tétel a nyomként kapott hipergráf különböz˝o éleinek számáról szól, a nyomok más függvényeir˝ol keveset tudunk. A következ˝o alfejezetben megmutatjuk, hogy a nyomokban szerepl˝o élek maximális multiplicitása karakterizálható a Frankl-Alon tételhez ha-sonlóan, leszálló hipergráfok segítségével. Azt is belátjuk, hogy ebb˝ol a karakterizációból is azonnal következik a Bondy- és a Sauer-tétel, illetve megadunk egy további fontos következ-ményt is.
4.1. Élek maximális multiplicitása
4.3 Definíció. Legyenek n,m,r,s pozitív egészek. Az (n,m).(r,s) reláció pontosan akkor tel-jesül, ha bármely m elem˝u H ⊆2[n] halmazrendszerhez létezik egy r elem˝u X ⊆[n] halmaz, melyre∀S⊆X:mH|
X(S)≤s.
Például(n,m).(1,2)nyilván teljesül mindenm-re ésn-re. S˝ot,(n,m).(1,1)teljesül minden m≤nesetén, ez éppen Bondy tétele. Azt sem nehéz megmutatni, hogy (n,n+1)6.(1,1)(az egyelem˝u halmazokat és az üres halmazt tartalmazó rendszer jó ellenpélda lesz). Általánosab-ban, az (n,m).(r,2r) és (n,∑ri=0 ni
)6.(r,2r−1) állítások is hasonlóan ellen˝orizhet˝ok. Az alábbiakban a.reláció néhány további, könnyen bizonyítható tulajdonságát adjuk meg.
4.4 Állítás. Legyenek n,m,r,s pozitív egészek.
1. (n,m).(r,s)⇒(n,m).(r,s+1).
2. (n,m).(r,s)⇒(n,m−1).(r,s).
3. (n,m).(n−1,m−1). 2
A.reláció karakterizálásához az alábbi lemmára lesz szükségünk.
4.5 Lemma. Az(n,m).(r,s)reláció akkor és csak akkor teljesül, ha minden m elem˝uH ⊆2[n]
leszálló halmazrendszerhez létezik r elem˝u X ⊆[n]halmaz, melyre∀S⊆X :mH|
X(S)≤s.
Érdemes megfigyelni, hogy Bondy tétele már ebb˝ol a lemmából is azonnal következik.
4.6 Tétel. (Wiener, 2007 [55])Az(n,m).(r,s)reláció akkor és csak akkor teljesül, ha minden m elem˝u H ⊆2[n] leszálló halmazrendszerhez létezik r elem˝u X ⊆[n] halmaz, melyre H |X legfeljebb s különböz˝o élet tartalmaz.
4.7 Következmény. (Wiener, 2007 [55])Bármely r≤n pozitív egészekre teljesül(n,∑ri=0 ni
− 1).(r,2r−1).
Már esett arról szó, hogy(n,∑ri=0 ni
)6.(r,2r−1), így a 4.7. Következmény éles. Érdemes azt is megfigyelni, hogy a 4.7. Következmény és Sauer tétele ekvivalensek: aH |Rnyom akkor és csak akkor tartalmaz 2|R|különböz˝o élet, ha aH |R nyom nem tartalmaz 2n−|R|multiplicitású élet. A 4.6. tétel egy további egyszer˝u követkeménye, hogy a.reláció tranzitív.
Bondy tétele szerint(n,m).(1,1)mindenm≤nesetén teljesül, ugyanakkor(n,n+1)6.(1,1).
A 4.4. Állítás 2. pontja szerint ebb˝ol (n,m)6.(1,1) következik minden m>n esetén. Ebb˝ol és az (r,r).(1,1) állításból, a . reláció tranzitivitása alapján következik, hogy(n,m)6.(r,r) bármelym>nesetén.
Így tehátm>nesetén a legkisebb olyans, melyre(n,m).(r,s)teljesülhet valamely alkalmas resetén,s=r+1. Ha azonrszámokat keressük, melyekre(n,m).(r,r+1)teljesül (rögzített mésnesetén,m>n) csak a legnagyobb ilyenrszámot kell megtalálnunk, hiszen a 4.4. Állítás 3. pontja szerint mindenr-nél kisebb pozitív egészre is teljesül a reláció. Az alábbi tétel erre a maximumértékre ad becslést, mely végtelen sokmésnértékre lesz éles.
4.8 Tétel. (Wiener, 2007 [55]) Legyenek m és n pozitív egészek, melyekre m≥2n és legyen r=d2m−n−2n2 e. Ekkor(n,m).(r,r+1).
E tételnek egy valamivel er˝osebb alakját is kimondjuk, de ehhez szükség van a következ˝o defi-nícióra. EgyH hipergráfminimális egyszer˝uhipergráf, ha egyszer˝u, de a csúcsok bármelyX valódi részhalmaza esetén H-nak az X-re vett megszorítása már nem egyszer˝u. Az [n] alap-halmazon vettmél˝u minimális egyszer˝u hipergráfok halmazátMSH(n,m)jelöli.
4.9 Tétel. (Wiener, 2013 [56])LegyenA ∈MSH(n,m). Ekkor létezik olyanl
n2 2m−n−2
m elem˝u X ⊆[n]halmaz, hogy azA-ból X elemeinek törlésével kapott hipergráfban (vagyisA-nak az X -en vett nyomában) minden élnek legfeljebb
l n2 2m−n−2
m
+1a multiplicitása.
Irodalomjegyzék
[1] R. E. L. Aldred, S. Bau, D. A. Holton, B. D. McKay, Nonhamiltonian 3-connected cubic planar graphs. SIAM J. Disc. Math. 13 (2000), 25–32.
[2] R. E. L. Aldred, B. D. McKay, N. C. Wormald, Small Hypohamiltonian Graphs, J. Com-bin. Math. ComCom-bin. Comput. 23 (1997), 143–152.
[3] N. Alon, On the density of sets of vectors, Discrete Mathematics 46 (1983), 199–202.
[4] M. Araya, G. Wiener, On Cubic Planar Hypohamiltonian and Hypotraceable Graphs, El-ectronic Journal of Combinatorics 18, P85. (2011)
[5] D. Binkele-Raible, H. Fernau, S. Gaspers, M. Liedloff, Exact and Parameterized Algo-rithms for Max Internal Spanning Tree, Algorithmica 65 (2009), 95–128.
[6] B. Bollobás, unpublished, see in [34] Problem 13.10.
[7] J. A. Bondy, Induced subsets, Journal of Combinatorial Theory Ser. B 12 (1972), 201–
202.
[8] J. Bosák, Hamiltonian lines in cubic graphs. Theory of Graphs (Internat. Sympos., Rome, 1966) Gordon and Breach, New York; Dunod, Paris (1967), 35–46.
[9] J. B. Collier, E. F. Schmeichel, Systematic searches for hypohamiltonian graphs, Net-works 8 (1978), 193–200.
[10] V. Chvátal, Flip-flops in hypohamiltonian graphs, Can. Math. Bull. 16 (1973), 33–41.
[11] T. Dvoˇrák, Matchings of quadratic size extend to long cycles in hypercubes, arxiv preprint, http://arxiv.org/abs/1511.06568(2015)
[12] T. Dvoˇrák, V. Koubek, Long paths in hypercubes with a quadratic number of faults, In-formation Sciences 179 (2009), 3763–3771.
[13] J. Fink, P. Gregor, Long paths and cycles in hypercubes with faulty vertices, Information Sciences 179 (2009), 3634–3644.
[14] P. Frankl, On the trace of finite sets, Journal of Combinatorial Theory Ser. A 34 (1983), 41–45.
[15] T. Gallai, On directed paths and circuits, Theory of Graphs, P. Erd˝os and G. Katona (Edi-tors), Academic Press, New York (1968), 115–118.
[16] L. Gargano, M. Hammar, P.Hell, L. Stacho, U. Vaccaro, Spanning spiders and light-splitting switches, Discrete Mathematics 285 (2004), 83–95. (Earlier versions: L. Gar-gano, P. Hell, L. Stacho, U. Vaccaro, Spanning trees with bounded number of branch vertices, ICALP02, Lecture Notes in Computer Science 2380 (2002), 355–365. and L.
Gargano, M. Hammar, There are spanning spiders in dense graphs (and we know how to find them), ICALP03, Lecture Notes in Computer Science 2719 (2003), 802–816.) [17] E. J. Grinberg, Plane homogeneous graphs of degree three without Hamiltonian circuits,
Latvian Math. Yearbook, Izdat. Zinatne, Riga 4 (1968), 51–58. (In Russian) [18] B. Grünbaum, Convex Polytopes, John Wiley and Sons, New York, 1967.
[19] B. Grünbaum, Vertices missed by longest paths or circuits, Journal of Combinatorial The-ory Ser. A 17 (1974), 31–38.
[20] W. Hatzel, Ein planarer hypohamiltonscher Graph mit 57 Knoten, Math. Ann. 243 (1979), 213–216.
[21] J. C. Herz, T. Gaudin, P. Rossi, Solution du probléme No. 29, Revue Francaise de Recher-ces Opérationelle 8 (1964), 214-218.
[22] D. A. Holton, B. D. McKay, The smallest non-hamiltonian 3-connected cubic planar gra-phs have 38 vertices, Journal of Combinatorial Theory Ser. B 45 (1988), 315–319.
[23] D. A. Holton and J. Sheehan, Hypohamiltonian graphs, The Petersen Graph, Cambridge University Press, New York, 1993.
[24] L.-H. Hsu and C.-K. Lin, Graph Theory and Interconnection Networks, CRC Press, Boca Raton, 2008.
[25] M. Jooyandeh, Recursive Algorithms for Generation of Planar Graphs, PhD thesis, Aust-ralian National University (2014)
[26] M. Jooyandeh, B. D. McKay, P. R. J. Östergård, V. H. Pettersson, C. T. Zamfirescu, Planar Hypohamiltonian Graphs on 40 Vertices, arxiv preprint,http://arxiv.org/abs/
1302.2698, (2013)
[27] S. F. Kapoor, H. V. Kronk, and D. R. Lick, On detours in graphs, Canad. Math. Bull. 11 (1968), 195–201.
[28] D. Karger, R. Motwani, G. D. S. Ramkumar, On Approximating the Longest Path in a Graph, Algorithmica 18 (1997), 82–98.
[29] M. Knauer, J. Spoerhase, Better Approximation Algorithms for the Maximum Internal Spanning Tree Problem, Algorithmica 71 (2013), 797–811.
[30] J. Lederberg, Systematics of organic molecules, graph theory and Hamiltonian circuits, Instrumentation Research Laboratory Report, no. 1040, Stanford University, Stanford, Calif., 1144 (1966)
[31] J. van Leeuwen (ed.), Handbook of Theoretical Computer Science A: Algorithms and Complexity, Elsevier, 1990.
[32] W. Li, J. Chen, J. Wang, Deeper Local Search for Better Approximation on Maximum Internal Spanning Trees, Lecture Notes in Computer Science 8737 (2014), 642–653.
[33] X. Li, D. Zhu, Approximating the Maximum Internal Spanning Tree Problem via a Ma-ximum Path-Cycle Cover, Lecture Notes in Computer Science 8889 (2014), 467–478.
[34] L. Lovász, Combinatorial Problems and Exercises, North-Holland, Amsterdam, 1979.
[35] H.-I. Lu, R. Ravi, The Power of Local Optimization: Approximation Algorithms for Maximum-leaf Spanning Tree (DRAFT), CS-96-05, Department of Computer Science, Brown University, Providence, Rhode Island, 1996.
[36] H.-I. Lu, R. Ravi, Approximation for maximum leaf spanning trees in almost linear time, J. Algorithms 29 (1998), 132–141.
[37] G. Salamon, Approximating the Maximum Internal Spanning Tree problem, Theoretical Computer Science 410 (2009), 5273–5284.
[38] G. Salamon, Degree-Based Spanning Tree Optimization, PhD Thesis, Budapest University of Technology and Economics, http://doktori.math.bme.hu/
Ertekezesek/salamon_dissertation.pdf(2010)
[39] G. Salamon, G. Wiener, On Spanning Trees with Few Leaves, Information Processing Letters 105 (2008), 164–169.
[40] N. Sauer, On the density of families of sets, Journal of Combinatorial Theory Ser. A 13 (1972), 145–147.
[41] S. Shelah, A combinatorial problem: stability and order for models and theories in infini-tary languages, Pacific J. Math. 41 (1972), 247–261.
[42] R. Solis-Oba, 2-Approximation algorithm for finding a spanning tree with maximum number of leaves, Lecture Notes in Computer Science 1461 (Proc. of 6th ESA Sym-posium) (1998), 441–452.
[43] R. Sousselier, Probleme No. 29: Le Cercle des Irascibles, Revue Française de Recherches Operationelles 7 (1963), 405–406.
[44] B. Schauerte, C. T. Zamfirescu, Regular graphs in which every pair of points is missed by some longest cycle. An. Univ. Craiova, Ser. Mat. Inf. 33 (2006), 154–173.
[45] P. G. Tait, Note on a theorem in geometry of position, Trans. Roy. Soc. Edinburgh 29 (1880), 657–660.
[46] C. Thomassen, Hypohamiltonian and hypotraceable graphs, Discrete Mathematics 9 (1974), 91–96.
[47] C. Thomassen, On hypohamiltonian graphs, Discrete Mathematics 10 (1974), 383–390.
[48] C. Thomassen, Planar and infinite hypohamiltonian and hypotraceable graphs, Discrete Mathematics 14 (1976), 377–389.
[49] C. Thomassen, Hypohamiltonian graphs and digraphs, Theory and Applications of Gra-phs, Lecture Notes in Mathematics No. 642, Springer, Berlin (1978), pp. 557–571.
[50] C. Thomassen, Planar cubic hypohamiltonian and hypotraceable graphs, J. Comb. Theory B 30 (1981), 36–44.
[51] P. Turán, On an extremal problem in graph theory, Mat. Fiz. Lapok 48 (1941), 436–452.
(in Hungarian)
[52] W. T. Tutte, On hamiltonian circuits. J. London Math. Soc. 21 (1946), 98–101.
[53] V. N. Vapnik, A. Ya. Chervonenkis, On the uniform convergence of relative frequencies of events to their probabilities, Th. Prob. Appl. 16 (1971), 264–280.
[54] H. Walther, Über die Nichtexistenz eines Knotenpunktes, durch den alle längsten Wege eines Graphen gehen, J. Comb. Theory 6 (1969), 1–6.
[55] G. Wiener, Edge Multiplicity and Other Trace Functions, Electronic Notes in Discrete Mathematics 29 (2007), 491–495.
[56] G. Wiener, Rounds in combinatorial search, Algorithmica 67 (2013), 315–323.
[57] G. Wiener, Leaf-critic graphs, Proc. of the 3rd Bordeaux Graph Workshop (2014), 101–
102.
[58] G. Wiener, Leaf-critical and leaf-stable graphs, Proc. of the 9th Japanese-Hungarian Sym-posium on Discrete Mathematics and its Applications, Fukuoka (2015), 267–278.
[59] G. Wiener, On non-traceable, non-hypotraceable, arachnoid graphs, Electronic Notes in Discrete Mathematics 49 (2015), 621–627.
[60] G. Wiener, M. Araya: On planar hypohamiltonian graphs, Journal of Graph Theory 67 (2011), 55–68.
[61] G. Wiener, Leaf-critical and leaf-stable graphs, Journal of Graph Theory, megjelenés alatt [62] T. Zamfirescu, A two-connected planar graph without concurrent longest paths, Journal
of Combinatorial Theory Ser. B 13 (1972), 116–121.
[63] T. Zamfirescu, On longest paths and circuits in graphs, Math. Scand. 38 (1976), 211–239.
[64] C. Zamfirescu and T. Zamfirescu, A planar hypohamiltonian graph with 48 vertices, Jour-nal of Graph Theory 55 (2007), 338–342.
[65] C. T. Zamfirescu, On Hypohamiltonian and Almost Hypohamiltonian Graphs, Journal of Graph Theory 79 (2015), 63–81.