Header 1 Összes vizsgálat száma (db)
4. Négyzetes átlag
A négyzetes (kvadratikus) átlag az a szám, amelyet az átlagolandó számértékek helyébe téve azok négyzetösszege változatlan marad. A négyzetes átlagot meghatározhatjuk, ha az átlagolandó értékek négyzeteinek számtani átlagából négyzetgyököt vonunk. Ennek az átlag-típusnak általában csak technikai értelmet tulajdonítunk. A négyzetes átlag közvetlen alkalmazására csak korlátozottan nyílik lehetőség, azonban a későbbi fejezetben megismerendő szórás mutatószámának kiszámítása során (amikor eltérő előjelű értékeket átlagolunk) kiemelt szerephez jut.
5. Medián
A medián a szó legszorosabb értelmében közepes érték, a mennyiségi ismérvnek azon értéke, amelynél ugyanannyi kisebb, mint amennyi nagyobb érték fordul elő.
A medián meghatározásához az összes megfigyelt értéket figyelembe vesszük, de nagyságát a szélső értékek nem befolyásolják. Ha az összes xi értéket ismerjük, akkor a medián meghatározásának első lépéseként a számértékeket rangsorba rendezzük és
• ha n páratlan, akkor az (n + 1)/2. sorszámú egyed ismérvváltozatának értéke lesz a medián;
• ha n páros, akkor az n/2. és (n/2) + 1. egyed ismérvváltozatainak egyszerű számtani átlaga lesz a medián.
Kissé összetettebb a medián meghatározása, ha a számértékek gyakorisági sorba vannak rendezve. Ilyen esetben a kumulált gyakorisági sor segíti a felhasználót.
Diszkrét mennyiségi ismérv esetén a medián értéke megegyezik azzal az értékkel, amelyhez tartozó kumulált gyakoriság tartalmazza a medián sorszámát.
A mediánt osztályközös gyakorisági sorból mindössze becsülni tudjuk. A medián osztályközös gyakorisági sorból történő meghatározásának széleskörűen elterjedt számítási módját írja le az alábbi képlet:
2A Π (nagy pi) a produktum, az adatok szorzását jelöli.
Középértékek
ahol: xme, a – mediánt magába foglaló osztályközalsó (nem technikai) határa, s – n/2 – a medián sorszáma, f'me–1 – a mediánt megelőző osztályköz kumulált gyakorisága, fme – a mediánt tartalmazó osztályköz gyakorisága, h – a mediánt tartalmazó osztályköz hossza.
A fenti közelítő számítás tulajdonképpen a mediánt tartalmazó osztályköz arányos osztását jelenti. A becslés során feltételezzük, hogy az osztályközben az értékek egyenletesen helyezkednek el.
A medián közelítő meghatározását az alábbi példa segítségével illusztráljuk. Egy sportágban 50 igazolt versenyző életkorát jellemzik az alábbi adatok:
10.3. táblázat - A versenyzők életkorának megoszlása
Életkor (év) Versenyzők száma, fő (fi) Kumulált gyakoriság, fő (fi’)
–20 6 6
21–25 7 13
26–30 18 31
31–35 11 42
36– 8 50
Összesen: 50 –
Forrás: Saját szerkesztés
A medián becslését jól szemléltethetjük az 5. ábra segítségével:
10.1. ábra - A medián meghatározását szemléltető grafikus ábrázolás
Forrás: Saját szerkesztés
A korábban bemutatott példánkban – ahol az eladott jegyek megoszlását vizsgáltuk – szintén meghatározható a medián. Itt azzal az előnnyel is rendelkezünk, hogy az egyes megfigyelések külön-külön is ismertek. Ezért mind a becsült, mind a tényleges medián értéke kiszámítható.3 A tényleges érték 51,5 db, azaz a megfigyelt napok felében 51,5 darabnál kevesebb, illetve felében 51,5 darabnál több jegyet értékesítettek. Az osztályközös gyakorisági sorból becsült medián 51,25 db, ami nem túl jelentős eltérést mutat a tényleges értékhez képest.
3Mivel a sokaság elemszáma 30, ezért példánkban a medián sorszáma (30 + 1)/2, azaz 15,5. A 15. megfigyelés 51 db, a 16. elem 52 db, így a belőlük képzett egyszerű számtani átlag értéke: 51,5 db.
Középértékek
6. Módusz
A módusz az ismérvértékek tipikus, leginkább jellemző értékét jelöli. Diszkrét értékekkel rendelkező mennyiségi ismérv módusza a sokaságban leggyakrabban előforduló ismérvérték.
Gyakorisági sorban – diszkrét ismérvértékek esetén – a módusz meghatározása nem jár különös nehézséggel, csak le kell olvasni a leggyakrabban előforduló ismérvértéket. Ez a számérték a jegyeladásokat taglaló példánkban 53 darab, mivel ez az érték fordult elő legtöbbször, háromszor.
Folytonos mennyiségi ismérv módusza az az érték, amely körül az előforduló értékek legjobban sűrűsödnek, ahol a gyakorisági görbe maximuma van. Ez a definíció egyben azt is jelenti, hogy a módusz egzakt meghatározására osztályközös gyakorisági sor esetén nincs mód, értékét itt is csak közelítő számítással becsülni tudjuk.
Osztályközös gyakorisági sor esetében a módusz közelítő meghatározása az ún. modális osztályköz meghatározásával kezdődik. A modális osztályköz – amely a móduszt magában foglalja – a legnagyobb gyakorisággal rendelkező osztályköz. Természetesen csak egyenlő hosszúságú osztályközök esetén tudjuk a modális osztályközt rögtön meghatározni. Ha az osztályközök nem egyenlőek, akkor korrekciót kell végezni, át kell számolni a gyakoriságokat azonos hosszúságú osztályközre. A modális osztályköz kijelöléséhez, valamint a további számításokhoz ezeket a korrigált gyakoriságokat használjuk.
A modális osztályköz kijelölése után azt az értéket kell meghatározni az intervallumon belül, amely az értékek sűrűsödési helyének tekinthető. Ehhez segítséget adnak a modális osztályközzel szomszédos osztályközök gyakoriságai. Feltehetjük ugyanis, hogy a sűrűsödési hely a modális osztályköznek ahhoz a határához esik közelebb, amelyik irányban a szomszédos gyakoriságok nagyobbak. Mindezek figyelembevételével a móduszt megbecsülhetjük, ha a modális osztályköz hosszát a gyakoriságok különbségei alapján, arányos osztással felosztjuk, és az így kapott értéket a modális osztályköz alsó határához hozzáadjuk. A becslés az alábbi képlet segítségével végezhető el:
Ahol: xmo,a – a modális osztályköz alsó határa, k1 – a modális osztályköz és a megelőző osztályköz gyakoriságának különbsége, k2 – a modális osztályköz és az azt követő osztályköz gyakoriságának különbsége, h – a modális osztályköz hossza.
A sportolók életkorát elemző példánkban, ahol azonosak az osztályközök, a legfontosabb adatok:
modális osztályköz: 25– 30 év, osztályköz hossza: 5 év, k1 = 18 – 7, és k2 = 18 – 11,
A tipikus életkor tehát 28,08 év.
A módusz becslésének gondolatmenetét szemlélteti a 6. ábra.
10.2. ábra - A módusz meghatározása
Középértékek
Forrás: Saját szerkesztés
Természetesen a módusz osztályközös gyakorisági sor esetén más módszerrel is becsülhető. Ilyen például a parabolaillesztés módszere.
Szólni kell végezetül arról az esetről is, amikor a gyakorisági görbének több helyi maximuma van. Ilyen esetben a legnagyobb gyakorisággal rendelkező értéket főmódusznak, és az ilyen sokaságot többmóduszú sokaságnak nevezzük.
7. Ellenőrző feladatok, gyakorló példák a fejezethez
• Egy magasugróversenyen 20 érvényes ugrást regisztráltak. Az eredmények a következőek voltak (cm).
• Számítsa ki az átlagos magasságot és a mediánt a versenyen elért eredmények alapján!
165 171 168 183
168 160 171 171
171 165 168 176
166 176 176 165
178 181 165 181
• Egy szakosztály alkalmazottainak keresetük szerinti megoszlását szemlélteti a következő tábla.
• Számítsa ki a szakosztály alkalmazottainak átlagkeresetét!
• Jellemezze keresetüket a helyzeti középértékek segítségével (medián, módusz)!
Kereset (Ft/fő) Alkalmazottak létszáma (fő)
–50 000 2
50 001–60 000 6
60 001–70 000 7
70 001–80 000 21
80 001–90 000 19
90 001–100 000 14
100 001– 6
Középértékek
Kereset (Ft/fő) Alkalmazottak létszáma (fő)
Összesen: 75