Multip´ olus kifejt´ es

Hagyjuk most a speci´alis koordin´atarendszereket, ´es t´argyaljuk ism´etadott t¨olt´eseloszl´as ter´et, de most nagy t´avols´agra. Legyen teh´at egy lokaliz´alt t¨olt´eseloszl´asunk, amelynek karakterisztikus m´erete a:

Az|x| aesetben sorba fejthetj¨uk a nevez˝ot – ezt megtehetj¨uk ´altal´anos koordin´at´akkal, vagy g¨ombi koordin´atarendszerben kifejtve.

Altal´´ anos koordin´at´akkal (|x|=r jel¨ol´essel)

Vissza´ırva a t¨olt´es, dip´olmomentum illetve kvadrupolmomentum. Ez ut´obbi egy 3×3-as spurtalan tenzor.

Ha magasabb rend˝u multipolmomentumokra is sz¨uks´eg van, akkor ´erdemesebb a g¨ombi koordin´at´akban kifejezett alakot haszn´alni. Felhaszn´alva (3.125) ´es (3.137) egyen-leteket, valamint hogy most |x|=r |x⁰|=r⁰

a szimmetrikus kvadrupol tenzor elemei:



• A t¨olt´eseloszl´as jellemz˝o m´eret´evel ´atsk´al´azva a (3.185) alapj´an l´athatjuk, hogy p/Q ∼ a, Q_ij/Q ∼ a². A (3.188) azt mutatja, hogy ez egy ´altal´anos ´erv´eny˝u megfigyel´es, azazq<sub>`m</sub>/Q∼a<sup>`</sup>.

• Ha ´athelyezem a koordin´atarendszer k¨oz´eppontj´at, akkor x⁰ → x⁰ +c m´odon kell az integr´alok alatt m´odos´ıtani, vagyis a fenti egy¨utthat´ok m´odosul´asa:

∆Q= 0, δp=Qc, ∆Q_ij = 3(c_ip_j+c_jp_i)−2cpδ_ij + (3c_ic_j −c²δ_ij)Q, . . . (3.191) Altal´´ aban igaz, hogy a legalacsonyabb multipolmomentum koordin´ atarendszer-f¨uggetlen.

• Mi´ert van a kvadrupol tenzornak 5 komponense, mikor egy ´altal´anos 3×3 m´ at-rix komponenseinek sz´ama 9? A potenci´al kvadrupol r´esze ar´anyos Q_ijxⁱx^j∂_i∂_jr⁻¹ mennyis´eggel. Q antiszimmetrikus r´esze az´ert nem ad j´arul´ekot, mert egy szim-metrikus kombin´aci´oval van szorozva. Q egys´egm´atrixxal ar´anyos r´esze pedig

∼x²4r⁻¹ = 0 miatt nem ad j´arul´ekot.

4. fejezet

Elektrosztatika anyag jelenl´ et´ eben

Val´odi anyagokban k´etfajta viselked´es lehets´eges: ha vannak szabad t¨olt´eshordoz´ok, ak-kor sztatikus elektromos t´er hat´as´ara addig mozognak, ameddig az elektromos t´er le nem

´

arny´ekol´odik. Ha nincsenek szabadon elmozdul´o t¨olt´eshordoz´ok, akkor is vannak elekt-romos t¨olt´esek az anyagban, helyhez k¨ot¨otten. Ebben az esetben elektromos t´er hat´as´ara a t¨olt´eshordoz´ok csak kicsit mozdulnak el.

Tekints¨uk az anyag egy kis, nulla ¨osszt¨olt´es˝u anyagdarabk´aj´at. Ennek lehet eleve va-lamilyen t¨olt´eseloszl´asa, de ha k¨uls˝o elektromos teret alkalmazunk, akkor mindenk´eppen kialakul egy nem trivi´alis t¨olt´eseloszl´as, vagyis az anyagdarabka polariz´al´odik. F´emg¨omb eset´en l´attuk (l. (3.32) ´es (3.148)), hogy egy dip´olmomentum alakul ki, de persze a kiala-kul´o t¨olt´eseloszl´as enn´el bonyolultabb is lehet. Ugyanakkor a molekul´aris t¨olt´eseloszl´ast makroszkopikus t´avols´agb´ol figyelj¨uk meg, vagyis alkalmazhat´o a multipol kifejt´es. Az anyagdarabka jellemz˝o m´eret´erea-t v´eve, azn.multipolmomentumaⁿ-nel ar´anyos, terer t´avols´agb´ol figyelve a dip´ol ter´ehez k´epestaⁿ⁻¹/rⁿ⁻¹ faktorral szorz´odik, vagyis messzir˝ol figyelve elhanyagolhat´o. Emiatt az anyag kis darabk´aj´anak t¨olt´esszerkezet´et a dip´ olmo-mentum´aval k¨ozel´ıthetj¨uk. Vagyis ha egy pontt¨olt´est ´es egy kis anyagdarabk´at n´ez¨unk

4.1. ´abra. Pontt¨olt´es ´es dip´ollal k¨ozel´ıtett anyagdarab egy¨uttes hat´asa

(l. 4.1. ´abra), akkor az x helyen m´erhet˝o potenci´al:

ahol x0 a pontt¨olt´es,xp az anyagdarabka helye.

Ennek ´altal´anos´ıt´as´ahoz egy pontt¨olt´es helyett egy t¨olt´ess˝ur˝us´eggel jellemzett t¨olt´ es-eloszl´ast helyez¨unk el, ´es egy anyagdarabka helyett kiterjedt anyaggal sz´amolunk. Ez ut´obbit ´ugy vessz¨uk figyelembe, hogy felosztjuk elemidV t´erfogat´u cell´akra, amelyeknek valamilyen helyf¨ugg˝o p dip´olmomentuma van. A t¨olt´eseloszl´as mint´aj´ara bevezethetj¨uk a dip´olmomentum-s˝ur˝us´eget (vagy polariz´aci´os s˝ur˝us´eget),P(x) = p/dV m´odon. Ekkor a feloszt´assal null´ahoz tartva integr´alt kapunk, ´es a teljes j´arul´ek alakja:

Φ(x) = 1 A m´asodik tagban lev˝o integr´alt tov´abb alak´ıtva (elhagyva a teljes divergenci´ab´ol j¨ov˝o fel¨uleti tagokat)

Vagyis a polariz´aci´ob´ol ered˝o j´arul´ek pontosan olyan alak´u, mint a betett t¨olt´ess˝ur˝us´eg j´arul´eka. Ezt ´ugy fogalmazhatjuk, hogy a teljes ´erezhet˝o t¨olt´ess˝ur˝us´eg ´ert´eke

%_tot =%−∇P =%+%_pol. (4.5)

A m´asodik tagot szokt´ak polariz´aci´os t¨olt´ess˝ur˝us´egnek nevezni. A mikroszkopikus k´ep em¨og¨ott az, hogy ha megn´ezz¨uk, hogy egyV t´erfogatban mekkora t¨olt´es helyezkedik el, akkor az ´altalunk betett t¨olt´esek mellett az anyag t¨olt´ess˝ur˝us´eg´et is figyelembe kell venni.

A t´erfogat belsej´eben lev˝o dip´olok ¨osszt¨olt´ese nulla, csak azok maradnak, amelyek a fel¨uleten vannak, ´es ´ıgy a fel¨uk kil´og a t´erfogatunkb´ol. A dip´ol fel¨ulet ir´any´u komponense nulla j´arul´ekot ad, vagyis a bent rekedt t¨olt´eshez qa = −pn = −P ndV = −aP ndA, Vagyis az elektromos t´er ´ert´ek´et meghat´aroz´o Maxwell-egyenlet most ´ugy ´ırhat´o, hogy

∇E= 1

BevezetveD =ε₀E+P mennyis´eget (elektromos eltol´as) az anyagban ´erv´enyes Maxwell-egyenletek alakja

∇D=%, ∇×E= 0. (4.8)

A m´asodik egyenlet az E = −grad Φ egyenlet k¨ovetkezm´enye. Az els˝o egyenlet ´ ertel-mez´ese teh´at: ha betesz¨unk a rendszerbe% t¨olt´ess˝ur˝us´eget, akkor az anyag polariz´aci´oja miatt a val´odi t¨olt´ess˝ur˝us´egnem %. Az elektromos t´er egyenleteibe a teljes t¨olt´ess˝ur˝us´eg j¨on be. A polariz´aci´ot figyelembe v´eve defini´alhatjuk a D elektromos eltol´ast, ennek forr´asa m´ar az expliciten betett (k¨uls˝o) t¨olt´ess˝ur˝us´eg.

Hogy a fenti egyenletet kezelni tudjuk, sz¨uks´eg¨unk van egyD(E) ¨osszef¨ugg´esre. F´ em-g¨ombn´el l´attuk ((3.33)), hogyp= 4πR³ε₀E. Vagyis haV t´erfogatban van egy f´emg¨omb, akkor a polariz´aci´os˝ur˝us´eg

P = p

V = 4πε0R³

V E, D =ε₀

1 + 4πR³ V

E. (4.9)

A legt¨obb anyagra igaz lesz

P =ε₀χE, D =ε₀(1 +χ)E=ε₀ε_rE =εE, (4.10) ahol χ (elektromos szuszceptibilit´as) ε_r (relat´ıv permittivit´as) illetve ε (permittivit´as vagy dielektromos ´alland´o) szimmetrikus m´atrixok, izotrop anyagban azonban csak sz´ a-mok.

Teljesen ´altal´anos anyagi tulajdons´agok eset´en nem tehet¨unk m´ast, mint megpr´ob´ al-juk megoldani a

∇(ε(x)∇Φ(x)) =−%(x) (4.11) egyenletet. Homog´en, izotrop anyagban a potenci´alra fel´ırhat´o

E= 1

εD ⇒ divE= %

ε ⇒ 4Φ =−%

ε. (4.12)

Ugyanaz az egyenlet mint v´akuumban, csak a permittivit´as ´ert´eke m´as. R´eszlegesen homog´en k¨ozegekben a homog´en tartom´anyokban alkalmazhatjuk a fenti k´epletet, a k¨ o-zeghat´arokon hat´arfelt´eteleket szabhatunk.