Lokális modellezés: A poliéder alkalmazása a sóskúti mikrohálózat területének modellezésében. Mért és modellezett vertikális gradiensek

A vizsgálat eredményei hazai (Benedek 2002) és külföldi publikációkban (Benedek 2004) megjelentek.

II.2.2.a) A vizsgálat célja, elızmények

A derékszögő hasábról a poliéderre való áttéréssel a topográfiai felszínt szakadásmentesen tudjuk leírni. Ha a számításokat a topográfiai felszín közelében végezzük, a derékszögő hasábmodell lépcsıs szerkezete miatt a potenciál z szerinti másodrendő deriváltjaiban ugrásokat tapasztalunk még viszonylag egyenletesen változó terepfelszín esetében is. A poliéder térfogatelem használatával a felszín leírható az alkalmazott térfogatelem geometriájából fakadóan kényszerő magasságugrások nélkül, ezzel a modellbıl a jelenlegi számításokban vizsgált z szerinti másodrendő parciális derivált egy sokkal simább, a valódi erıteret jobban jellemzı függvény lesz.

A vizsgálat célja a BME által létesített sóskúti tesztterületen a potenciál magasabb rendő deriváltjainak modellezése a terület topográfiájának részletes poliéder modellje segítségével, majd a modellértékek összehasonlítása a mérési értékekkel.

Hasonló vizsgálatot Papp (2001) végzett. A topográfia derékszögő hasábmodelljébıl, a potenciál zavar z szerinti másodrendő deriváltjai kerültek kiszámításra a sóskúti tesztterület pontjaiban. Az eredmények alapján a szomszédos számítási pontokban (25 m-es távolság) nagy eltérések adódtak, amely sok esetben a topográfiai felszín változékonyságának kis mértéke miatt nem tekinthetı indokoltnak. Ezért a vizsgálatot megismételtem a topográfia derékszögő hasáb modellje helyett poliéder modellt használva.

II.2.2 Lokális modellezés: A poliéder alkalmazása a sóskúti mikrohálózat területének modellezésében…

Jekeli and Zhu (2006) a topográfiai tömegek által generált tömegvonzási potenciál másodrendő deriváltjait számolják analitikusan és numerikusan 10′ × 10′ kiterjedéső tesztterületeken, 1″ × 1″ felbontású DTM-et használva. A számításokhoz sík közelítést alkalmaznak. Az elsı tesztterület egy változékony, a második egy kevésbé változékony terep.

A topográfiának véges számú térfogatelemmel való leírásával és a szuperpozició elve alapján számítható a topográfia tömegvonzási potenciálja és annak deriváltjai. Az analitikus megoldásokat a derékszögő hasáb és poliéder térfogatelemek alkalmazásával számították. Az 1″ × 1″ felbontású DTM alapján kialakítható a z = 0 horizontális síkban az 1″ × 1″

négyzetháló, ami alapján generálhatóak az 1″ × 1″ alapú elemi derékszögő hasábok. A z = 0 horizontális síkban két háromszögháló került kialakításra, amelyek alapján generálták a háromszögalapú ferde hasábokat Az egyik esetben a háromszögelés az egyenköző DTM háló dél-nyugat és észak-kelet irányú, a másik esetben az észak-nyugat és dél-kelet irányú átló segítségével történt. A potenciál másodrendő deriváltjait megadó Newton integrált a z szerinti integrálással elıállított 2D integrál integrálási tartományát négyzet és háromszög elemekre bontották. Az így elıállított 2D integrálokat numerikusan számították. Az integrálandó függvény véges elem interpolációját a legegyszerőbb módon, az elemi terület (négyszög illetve háromszög) felett lineáris interpolációval végezték. A számításokat a Fourier eljárással is elvégezték, a Parker (1972) illetve Forsberg (1985) által kidolgozott módszerek alapján.

Felhasználva a potenciál és a potenciál másodrendő deriváltjainak Fourier transzformáltjai közötti kapcsolatot (Jekeli 2003) kiértékelésre kerültek a potenciál másodrendő deriváltjai is.

A Fourier technikát alkalmazó eljárásoknak elınye a kis számítási idı igény, egyik hátránya, hogy a számításokat csak azonos magasságban elhelyezkedı rácspontokban végezhetjük el.

Az analitikus és numerikus módszerekkel számolt potenciál másodrendő deriváltak pontosságának összehasonlítását egy szelvény mentén, rögzített magasságban, a szelvény legmagasabb pontjától 10 m magasságban, a szelvényen elhelyezkedı rácspontokban végezték. A változékony terepen végzett számítások esetén a kétféle háromszögeléssel, véges elemő (háromszögalapú ferde hasáb) modellek segítségével elıállított analitikus megoldások között szignifikáns eltérés adódott (10 E – 20 E). A kevésbé változékony terep estén az eltérés 1 E alatt maradt, tehát ez esetben a potenciál másodrendő deriváltjai függetlenek a háromszögháló kialakításától. A két háromszöglefedés közül az összehasonlítások elvégzéséhez azt választották, amely esetén a háromszögek kialakításához felvett átlók végpontjaihoz a DTM alapján hozzárendelt magasságkülönbségek egyenletesebb eloszlást mutattak. Ezzel a háromszöglefedéssel kapott poliéder modellbıl analitikus úton számított potenciál másodrendő deriváltak jó egyezést mutatnak a derékszögő hasábmodellbıl számolt analitikus megoldással mind a változékony terepen, mind a kevésbé változékony terepen. A numerikus integrálással elıállított megoldások függetlenek a háromszögháló kialakításától. A derékszögő hasábmodellbıl analitikus és numerikus integrálással elıállított megoldások eltérései nagyon kicsik (≤ 0.01 E (rms) a változékony terepen, ≤ 0.23 E (rms)) a kevésbé változékony terepen). Az FFT technikával elıállított megoldások paramétere a sorfejtés tagjainak száma. A homogén deriváltak esetén a Parker féle megoldásban a tagok számát növelve a számított érték nem a helyes megoldáshoz konvergál. A Forsberg által javasolt megoldás ezzel szemben minden deriváltra a sorfejtés tagjainak számának növelésével a helyes értékhez konvergál. Hátránya Parker megoldásával szemben, hogy azonos pontosság eléréséhez a sorfejtésben több tag figyelembevétele szükséges, vagyis a Parker megoldásnál lassabban konvergáló megoldást kapunk. A változékony terepen az 1 E alatti pontosság eléréséhez Forsberg megoldása esetén a sorfejtés 14 tagja figyelembevétele szükséges, a kevésbé változékony terep esetén 5 tag is elégséges.

II.2.2 Lokális modellezés: A poliéder alkalmazása a sóskúti mikrohálózat területének modellezésében…

II.2.2.b) A poliéder sőrőségmodell kialakítása

A litoszféra felsı szerkezeti egységét, a topográfia derékszögő hasáb modelljét helyettesítettem egy részletesebb, a poliéder elemekbıl álló modellel, a többi szerkezeti egységek derékszögő hasábmodelljeit változatlanul hagytam. Azért fontos részletesebb topográfiai modell használata, mivel a számítások a modell felszín felett 1 m magasságában történtek, így ennek a szerkezeti egységnek van a legnagyobb hatása a számítási pontokban kapott értékekre. A topográfia három egymásba skatulyázott különbözı felbontású poliéder modellje 2288603 térfogatelemet tartalmaz. A legbelsı modell a sóskúti terület 10 m × 10 m felbontású DTM -je alapján készült, horizontális kiterjedése 40 km × 40 km. Ezt a modellt beleágyaztam a DTM 500 alapján készült Magyarország topográfia modelljében, majd utolsó lépésben az így elıállított modellt pedig beleágyaztam az ETOPO5 alapján készült ALPACA régió modelljébe. Hasonló eljárással elıállítottam a topográfia részletes derékszögő hasáb modelljét is (1145015 térfogatelem). A Papp (2001) által alkalmazott minimális derékszögő hasáb elemszámot tartalmazó topográfia modellje 587015 térfogatelemet tartalmaz. A számításokban topográfia mindhárom modelljét homogén sőrőség eloszlásúnak (2.67 g/cm³) vettem. A másik három szerkezeti egységet összesen 19200 derékszögő hasáb írja le.

II.2.2.c) A modellszámítás ismertetése, következtetések

Direkt modellezéssel a litoszféra modellbıl analitikusan számítható Uzz, a potenciál z szerinti másodrendő deriváltja. Alkalmasan választott referencia modell (a litoszféra modellel azonos tömegő és tömegközéppontú, geometriailag egyszerőbb modell) (U_zz)_ref hatását kivonva, a különbség a potenciálzavar z szerinti másodrendő deriváltjaként értelmezhetı (Papp 1996a).

( )

zz U U

T = − ^(II.2)

Tzz a litoszféra modell lokális hozzájárulása a vertikális gradiens (VG) értékhez (Papp 2000), így:

zz

zz g h h T

W

VG = =∂ ∂ =∂γ ∂ + ^{. (II.3)}

A további számításokban a ∂γ/∂h vertikális gradiens normál értékét 3086 Eötvös értékkel helyettesítettem. A topográfia poliéder sőrőségmodelljét használva, a litoszféra modellbıl a potenciálzavar z szerinti másodrendő deriváltjait a modell felszíne felett 1 méter magasságban, 1.1 km × 1.1 km horizontális kiterjedéső terület 25 m × 25 m rácsháló pontjaiban számítottam. A rácspontokban kapott, a potenciálzavar z szerinti másodrendő parciális derivált értékei alapján elıállított térkép a II. 14. ábrán látható. A szürkeségi térkép kis négyzeteinek (rasztereinek) mérete azonos a rácstávolsággal, színezése a rácspontban kapott értéknek megfelelıen történt. A szürkeségi fokozathoz tartozó értékek – 665 Eötvös és 915 Eötvös között mozognak. A II. 14. ábrán látható, hogy a szürkeségi árnyalatok közötti átmenet fokozatos és a potenciálzavar z szerinti másodrendő deriváltjának térképe korrelál a topográfiával, ami összhangban van az elmélettel. A topográfia derékszögő hasáb modelljét használva a potenciálzavar z szerinti másodrendő deriváltjainak értékeiben a szomszédos pontok (25 m) esetében is az eltérések igen nagyok lehetnek (Papp 2001). A derékszögő hasábmodellel történt számítások alapján elkészített szürkeségi térképen (Papp 2001, Fig. 8.) az árnyalatok közötti áttérés nem fokozatos, mivel a z szerinti másodrendő derivált érzékenyen viselkedik a derékszögő hasábmodell lépcsıs szerkezetére.

A továbbiakban a poliéder modell alapján számolt VG értékeket (I. szintetikus VG) összehasonlítottam a rendelkezésemre álló mérési értékekkel. A mérési pontok a II. 14. és II.

15. ábrán a TP1, TP2, …, TP6 jelöléssel vannak feltüntetve. A számított (modellezett) pontbeli VG értéket úgy képeztem, hogy a mérési pont 1 méteres rácstávolsággal felvett környezetének, a topográfia felszínétıl 0.6 m távolságra található 25 pontban számított VG értékeket átlagoltam. A TP1, TP2, …. mérési pontokban a VG értékének számítását megismételtem a litoszféra modell derékszögő hasábmodelljeivel is, az elemi (II. szintetikus

II.2.2 Lokális modellezés: A poliéder alkalmazása a sóskúti mikrohálózat területének modellezésében…

VG) és a közelítı derékszögő hasáb modellekkel (III. szintetikus VG). Az egyes mérési pontban a számításhoz használt 25 pont szórását a II. 15. ábrán a vizsgált pontokhoz rendelt függıleges szakaszok szemléltetik, a mérések középhibája 30 Eötvös (Csapó and Papp 2000).

A II. 15. ábrán látható, hogy a poliéder modellbıl kapott VG értékek egy átlagos értéktıl eltekintve (326 ± 136 Eötvös) jól illeszkednek a mérési értékekhez (r = 0.93) míg a derékszögő hasábmodellekkel (a részletes és a minimális elemszámmal generált modellbıl) számított VG értékek nem képesek visszaadni a mérési értékekkel kapott relatív változásokat.

A vizsgálat alapján megállapítható, hogy a vertikális gradiens modellezésére nem elégséges a topográfiát lépcsıs szerkezettel (derékszögő hasáb modell) leírni, szükséges a poliéder térfogatelem alkalmazása. A sóskúti mintaterületen nagyfelbontású 10 m × 10 m -es DTM alapján készített részletes poliéder modell felhasználásával számított VG értékek, kivéve az eltolódást, illeszkednek a mérésekkel kapott VG értékekhez

29200 29400 29600 29800 30000 30200

-16800 -16600 -16400 -16200 -16000 -15800 -665-560-455-350-245-140 -35 70 175 280 385 490 595 700 805 915

TP1

TP2

TP3

TP4

TP5

TP6

II. 14. ábra. A litoszféra modell által generált potenciálzavar másodrendő deriváltjának (T_zz) szürkeségi térképe.

A topográfia szerkezetét poliéder modell írja le. A szintvonalak Sóskút topográfiájára vonatkoznak, szintvonalköz 5 m. A síkkoordináták centrális EOV rendszerben adottak

Tzz [Eötvös]

Y [m]

X [m]

II.2.3 Regionális modellezés: Az Eötvös tenzor elemeinek szimulációja a GOCE mőhold pályamagasságában

2600 2800 3000 3200 3400 3600 3800

TP1 TP2 TP3 TP4 TP5 TP6

teszt pontok

[Eötvös]

145 150 155 160 165 170

[m]

mért VG I. szintetikus VG II. szintetikus VG III. szintetikus VG magasság II.15. ábra. A mért és számított vertikális gradiens értékek a sóskúti geodéziai hálózatban, 0.6 m távolságra a

topográfia felszínétıl

II.2. 3 Regionális modellezés: Az Eötvös tenzor elemeinek szimulációja a GOCE mőhold