14. fejezet: Mintavételi eljárások 127
14.1. Klasszikus valószín ˝ uségi mez ˝ ok
14.1 Definíció. Tekintsünk egy(Ω,A,P)valószín˝uségi mez˝ot. Eztklasszikus valószí-n˝uségi mez˝oneknevezzük, ha
• Ωvéges halmaz,
• Mindenω∈Ωesetén{ω} ∈A,
• AzΩminden egyelem˝u részhalmaza azonos valószín˝uség˝u.
Világos, hogy haΩéppenn-elem˝u, akkor bármelyω∈Ωesetén P({ω}) =1
n Nevezetesen, ha azA⊂Ωeseménykelemb˝ol áll, akkor
P(A) =k n Ezt úgy interpretálhatjuk, hogy azAvalószín˝usége:
P(A) =kedvez˝o esetek száma
összes esetek száma (14.1)
A (14.1) formulát a továbbiakban klasszikus képletnek nevezzük.
14.2 Példa. Egy szabályos dobókockát feldobunk egymás után kétszer. Mi a valószí-n˝usége, hogy a dobott számok összege pontosan 7?
JelentseAazt az eseményt, hogy az összeg 7. Látható, hogyΩ 36 elem˝u halmaz (összes esetek száma), mígAegy 6 elem˝u részhalmaz (kedvez˝o esetek száma), amely az(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)elemekb˝ol áll. Ezért
P(A) = 6 36= 1
6 a (14.1) klasszikus képlet alapján.
14.3 Példa. Egy 52 lapos kártyapakliból kihúzunk véletlenszer˝uen 5 lapot. Mi a való-szín˝usége, hogy vagy mind az 5 lap treff, vagy van közte ász?
128 Tallos Péter: Matematika el ˝oadások
Vezessük be a következ˝o jelöléseket:
A={mind az öt lap treff} B={van közte ász}
Világos, hogyP(A∪B)értékét keressük. Feltételünk szerint bármelyik 5 lap húzása egyformán valószín˝u, ezért:
14.4 Példa. Egy kiárusitáson egy kosárban van 10 különböz˝o pár cip˝o. Egy tolvaj véletlenszer˝uen elvisz 4 cip˝ot. Mi a valószín˝usége, hogy van közte legalább egy pár?
Az alábbiakban két gondolatmenetet vázolunk, de csak az egyik vezet helyes ered-ményre.
• El˝oször válasszunk ki egy párt, majd a másik kett˝o tetsz˝oleges lehet, tehát vagy egy újabb pár, vagy két bármilyen cip˝o, azaz:
10 182
20 4
• Nézzük meg mi a valószín˝usége, hogy a kiválasztott cip˝ok között egyetlen pár sincs. Ezt úgy érhetjük el, hogy egy kiválasztott cip˝o után annak párját félre-tesszük. Figyeljünk arra, hogy a kiválasztásnál a sorrend nem számít, így:
1−
Ellen˝orizzük, hogy a fenti két érték nem egyenl˝o! Vajon melyik helyes?
14.5 Példa. Tegyük fel, hogy egy kockával addig dobunk, amíg el˝oször 6-os nem jön ki. Mi a valószín˝usége, hogy páros sok dobásra van szükségünk?
14. fejezet: Mintavételi eljárások 129
JelentseAazt az eseményt, hogy páros számú dobásra van szükségünk, illetveAkazt az eseményt, hogykszámú dobásra van szükségünk. Világos, hogy
P(Ak) = A jobb oldalon álló események páronként kizárják egymást, ezért
P(A) =
14.2. Mintavétel visszatevés nélkül
Tekintsünk egyNszámú objektumból álló halmazt, amelyek közülmszámú selejtes.
Válasszunk ki az egész halmazból véletlenszer˝uen egyn-elem˝u mintát visszatevés nél-kül (n≤m). JelentseAkazt az eseményt, hogy a minta pontosankszámú selejtes elemet tartalmaz (0≤k≤n). Ekkor
amelyet a visszatevés nélküli mintavétel formulájának nevezünk.
14.6 Példa. Egy 52 lapos kártyapakliból válasszunk ki véletlenszer˝uen 5 lapot. Mi a valószín˝usége, hogy a kiválasztott lapok között pontosan 2 treff van?
jelentseAa kérdéses eseményt. A visszatevés nélküli mintavétel formulája alapján P(A) =
Itt értelemszer˝uen a treffek a "selejtes objektumok".
14.7 Példa. Keressük meg annak valószín˝uségét, hogy a hagyományos lottón egy vé-letlenszer˝uen kitöltött szelvénnyel legalább kettes találatunk van.
130 Tallos Péter: Matematika el ˝oadások
JelöljeAazt az eseményt, hogy legalább kettes találatunk van, illetveAkazt, hogy pontosanktalálatunk van. Világos, hogy azAkeseményekk=2, . . . ,5 esetén egymást páronként kizárják. MivelA=A2∪A3∪A4∪A5, ezért hiszen az unió valószín˝usége összegként áll el˝o.
14.3. Mintavétel visszatevéssel
Tekintsünk újra egyN számú objektumból álló halmazt, amelyek közülmszámú se-lejtes. Válasszunk ki az egész halmazból véletlenszer˝uen, egyenként visszatevéssel egy n-elem˝u mintát. JelentseAkazt az eseményt, hogy a minta pontosank-számú selejtes elemet tartalmaz.
Vizsgáljuk meg a különböz˝o sorrend˝u húzásokat. Mivel bármelyik adott sorrendben kselejtes ésn−knem selejtes kihúzásának valószín˝usége éppen
mk·(N−m)n−k
és ilyen húzásból pontosan nk
darab van, és ezek páronként kizáróak, ezért P(Ak) =
Ezt a visszatevéses mintavétel formulájának nevezzük.
14.8 Példa. Egy 52 lapos kártyapakliból húzzunk ki egymás után visszatevéssel vélet-lenszer˝uen 5 lapot (a kihúzott lapot húzás után mindig visszatesszük). Mi a valószín˝u-sége, hogy
(a) pontosan 2 treffet húztunk, (b) legalább 2 treffet húztunk.
JelentseAkazt az eseményt, hogy pontosanktreffet húztunk. Ekkor (a) P(A2) =
14. fejezet: Mintavételi eljárások 131
14.4. A Bernoulli-kísérlet
A fenti gondolatmenet általánosítható is a következ˝o módon. Tegyük fel, hogy egy kísérletben azAesemény bekövetkezésének valószín˝usége valamely adott 0≤p≤1 szám.
Tegyük fel, hogy elvégezzük ezt a kísérletet (egymástól függetlenül) egymás után n-szer, és minden esetben megfigyeljük, hogy azAesemény bekövetkezik-e vagy sem.
Ezt a kísérletsorozatot Bernoulli-féle kísérletnek nevezzük.
Legyen 0≤k≤nadott természetes szám. JelentseAkazt az eseményt, hogy azn számú kísérletb˝olApontosankesetben következik be.
A visszatevéses mintavételnél követett gondolatmenetet alkalmazva láthatjuk, hogy a kérdéses valószín˝uség:
14.9 Példa.Egy hagyományos lottószelvény esetében azt mondjuk, hogy nyer˝o, ha leg-alább kéttalálatos. Vásárolunk 20 szelvényt, és véletlenszer˝uen (egymástól függetlenül) kitöltjük ˝oket. Mi a valószín˝usége, hogy legalább 5 nyer˝o szelvényünk lesz?
Világos, hogy egyetlen szelvény esetében annak valószín˝usége, hogy nyer˝o:
p=
Mivel ez mindegyik szelvényre érvényes, és a szelvényeket egymástól függetlenül töl-töttük ki, eredeti feladatunk egy Bernoulli-féle kísérletnek tekinthet˝o ezzel ap paramé-terrel. Tehát a kérdéses valószín˝uség:
20 aholpa fenti valószín˝uség.
Otthoni tanuláshoz 1. A Feladatgy˝ujtemény-2 III/1 szakaszának feldolgozása.
2. Házi feladatok: a III/3 szakasz 143, 144, 145, 153, 154, 157, 159, 165 és 173 feladatai.
3. Tankönyv-2 3.3 szakasza. Továbbá: A KÖZÉPISKOLAI KOMBINATORIKA ALAPOS ÁTISMÉTLÉSE!