Metsz´esi Lemma ([ACNS82], [L83]) Minden n cs´ucs´u ´es e ≥ 4n ´el˝u G gr´afra cr(G)≥ 641
e3
n2 ´es ez a korl´at konstanst´ol eltekintve nem jav´ıthat´o.
Tal´an a legegyszer˝ubb bizony´ıt´as a k¨ovetkez˝o ¨otleten alapul: Tudjuk, hogy egy s´ıkgr´afnak legfeljebb 3n−6 ´ele lehet. Ebb˝ol k¨onnyen k¨ovetkezik, hogy minden gr´afra cr(G)≥e−(3n−6), hiszen egy maxim´alis s´ıkbarajzolt r´eszgr´af valamelyik ´el´et minden tov´abbi ´el metszi. Ezut´an tekints¨unk egy tetsz˝oleges Ggr´afot, ´es vegy¨uk egy v´eletlen, ritka r´eszgr´afj´at, vagyis akkora val´osz´ın˝us´eggel v´alasszuk ki a cs´ucsait, hogy az ´altaluk fesz´ıtett r´eszgr´afnak v´arhat´oan alig t¨obb ´ele legyen mint egy s´ıkgr´afnak. Erre a r´eszgr´afra pedig alkalmazzuk az el˝obbi egyszer˝u egyenl˝otlens´eget. Innen az eredm´eny egy kis sz´amol´assal k¨ovetkezik; a r´eszletek megtal´alhat´oak a m´asodik fejezetben.
Azt, hogy a korl´at nagys´agrendileg nem jav´ıthat´o, legegyszer˝ubben egy olyan gr´af mutatja, amely egyforma, k¨or¨ulbel¨ul ne m´eret˝u teljes gr´afok disz-junkt uni´oja. Kicsit pontosabban: osszuk az n cs´ucsot 2en m´eret˝u blokkokba,
minden blokkon bel¨ul h´uzzuk be az ¨osszes ´elt, a blokkok k¨oz¨ott pedig ne legyen ´el. Ennek a gr´afnakncs´ucsa ´es k¨or¨ulbel¨ule´ele van, mindegyik blokk metsz´esi sz´ama cne44, n2e2 darab blokk van ´es lerajzolhat´oak a blokkok ´ugy, hogy a k¨ul¨onb¨oz˝o blokkok ´elei nem metszik egym´ast. ´Igy azt kapjuk, hogy a metsz´esi sz´am cne32 valamilyen ckonstansra.
N´ezz¨uk meg egy kicsit k¨ozelebbr˝ol acr(G)≥e−(3n−6) egyenl˝otlens´eget!
Egy m´asik lehets´eges bizony´ıt´asa az ´elek sz´am´ara vonatkoz´o indukci´o. Ha e ≤ 3n−6, akkor az ´all´ıt´as nyilv´anval´o, ha pedig e > 3n−6, akkor a gr´af nem s´ıkgr´af. Hagyjunk el egy ´elet, amin van metsz´es, ´es haszn´aljuk az in-dukci´os feltev´est. A korl´at nem jav´ıthat´o, ha e 3n −6 k¨ozel´eben van, de nagyobb e eset´en v´elhet˝oen nem pontos, hiszen ha a gr´afnak sok ´ele van, akkor kell lenni olyan ´elnek is, amin nem egy, hanem t¨obb metsz´es van.
Ennek elhagy´as´aval er˝osebb korl´atot bizony´ıthatunk. Ezen az ´uton el˝osz¨or Pach J´anossal indultunk el 1995-ben. Legyenek(n) egyn cs´ucs´u gr´af ´eleinek maxim´alis sz´ama, amely ´ugy lerajzolhat´o, hogy minden ´elen legfeljebb k metsz´es van. Vil´agos, hogy e0(n) = 3n−6. Bel´attuk, hogy ha 0 ≤ k ≤ 4, akkor ek(n) ≤ (k + 3)(n −2). Ennek seg´ıts´eg´evel a cr(G) ≥ e−(3n−6) egyenl˝otlens´egn´el j´oval er˝osebb cr(G) ≥ 5e−25n egyenl˝otlens´eget, ´es ezt felhaszn´alva az 641 konstans helyett 33.751 -et kaphatunk. Bel´attuk azt is, hogy aze1(n)≤4n−8 ´ese2(n)≤5n−10 egyenl˝otlens´egek pontosak, viszonte3(n) eset´eben m´ar nem tal´alkozott az als´o ´es fels˝o korl´atunk. A m´asik gyenge pon-tja az eml´ıtett korl´atoknak az, hogy csak olyan lerajzol´asokat engedhett¨unk meg, amelyekben b´armely k´et ´elnek csak egy k¨oz¨os pontja van, amely vagy k¨oz¨os v´egpont vagy metsz´espont. Pach J´anossal, Radoˇs Radoiˇci´c-csel ´es Tar-dos G´aborral pontos´ıtottuk a korl´atot, ´es ´altal´anos´ıtottuk az eredm´enyeket olyan lerajzol´asokra is, ahol az ´elek ak´armilyen sokszor metszhetik egym´ast.
1. T´etel. Ha egyncs´ucs´u gr´af lerajzolhat´o ´ugy hogy b´armelyik ´el´en legfeljebb 3 metsz´es van, akkor az ´elek sz´ama legfeljebb 5.5(n −2). Ez a korl´at egy addit´ıv konstanst´ol eltekintve pontos.
Az 1. T´etel ´es tov´abbi ´eszrev´etelek felhaszn´al´as´aval azt kaphatjuk, hogy minden n cs´ucs´u ´es e ´el˝u G gr´afra cr(G) ≥ 4e − 1036 n, ´es v´eg¨ul, ezt az egyenl˝otlens´eget haszn´alva, a Metsz´esi Lemm´at a k¨ovetkez˝o form´aban kapjuk, az eddig ismert legjobb konstanssal.
2. T´etel. Minden n cs´ucs´u ´es e≥18n ´el˝u G gr´afra cr(G)≥0.032en32. Azt is bel´attuk, hogy a fenti ´all´ıt´as m´ar nem teljes¨ul, ha a konstans hely´ere 0.09-et ´ırunk.
De vajon egy´altal´an besz´elhet¨unk
”legjobb” konstansr´ol? Pach J´anossal
´es Joel Spencerrel, Erd˝os ´es Guy r´egi sejt´es´et igazolva bebizony´ıtottuk, hogy igen, a k¨ovetkez˝o ´ertelemben: Legyen κ(n, e) az n cs´ucs´u ´es e ´el˝u gr´afok metsz´esi sz´am´anak a minimuma, azaz
κ(n, e) = min n(G) =n
e(G) =e
cr(G).
3. T´etel. Ha n≪e≪n2, akkor a
nlim→∞κ(n, e)n2
e3 =C > 0 hat´ar´ert´ek l´etezik.
Az a ≪ b jel¨ol´es azt jelenti, hogy a =o(b). A 2. T´etel ´es az ut´ana lev˝o megjegyz´es alapj´an teh´at 0.032 < C <0.09. Azt nem tudtuk eld¨onteni, hogy val´oban sz¨uks´eg van-e az n ≪ e≪ n2 felt´etelre. Elk´epzelhet˝o, hogy a j´oval gyeng´ebb C1n < e < C2n2 felt´etel is elegend˝o. Ha igen, akkorC1 >3, hiszen κ(n,3n) = 6. Ugyanakkor a teljes gr´af metsz´esi sz´am´ara ismert als´o korl´at [G72] alapj´an l´athatjuk, hogy e =n2 helyettes´ıt´essel a t´etelben szerepl˝o C konstansn´al nagyobb sz´amot kapunk, teh´at a felt´etelben C2 < 12.
Egy gr´af vastags´aga (bisection width, b(G)) azon ´elek minim´alis sz´ama, amelyek elhagy´as´aval a gr´af k´et, k¨ozel egyforma (legal´abbn/3 cs´ucs´u) r´eszre bomlik f¨ol. Ez a param´eter rendk´ıv¨ul hasznos a rekurz´ıv algoritmusok ter-vez´es´eben ´es elemz´es´eben, ´es rekurz´ıv bizony´ıt´asokban. Pach, Shahrokhi ´es Szegedy bizony´ıtott´ak a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ugg´est a vastags´ag ´es a metsz´esi sz´am k¨oz¨ott. Tetsz˝oleges G n cs´ucs´u gr´afra amelyben a cs´ucsok fokaid1, d2, . . ., dn,
b(G)≤10qcr(G) + 2
vu ut
Xn
i=1
d2i. (1.1)
Ez durv´an sz´olva azt jelenti, hogy egy kis metsz´esi sz´am´u gr´afnak a vastags´aga is kicsi. Ebben az ´ertelemben ez a s´ıkgr´afokra vonatkoz´o Lipton-Tarjan szepar´ator t´etel [LT79] ´altal´anos´ıt´asa. Ezt felhaszn´alva bel´athat´o, hogy azoknak a gr´afoknak, amelyeknek a metsz´esi sz´ama e3/n2 k¨ozel´eben van, nagyon speci´alis strukt´ur´ajuk van, nagyon hasonl´oak a m´ar eml´ıtett
p´eld´ahoz. A cs´ucsok beoszthat´oak nagys´agrendileg egyforma nagy,ce/n m´e-ret˝u blokkokra ´ugy, hogy a blokkok pozit´ıv s˝ur˝us´eg˝u r´eszgr´afokat fesz´ıtenek, m´ıg a blokkok k¨oz¨otti ´elek halmaza ¨osszesen is csak egy elhanyagolhat´o r´esze az ¨osszes ´elnek. Teh´at ha a gr´afnak valamilyen olyan tulajdons´aga van amely lehetetlenn´e teszi a pozit´ıv s˝ur˝us´eg˝u r´eszgr´afokat, akkor a metsz´esi sz´amra adott ce3/n2 als´o korl´at jav´ıthat´o.
Ez az ´eszrev´etel vezetett az extrem´alis gr´afelm´elet ´es a metsz´esi sz´amok k¨oz¨otti ¨osszef¨ugg´es felismer´es´ehez. N´ezz¨unk erre egy p´eld´at! Ismert [R58], hogy egyn cs´ucs´u, 4 hossz´u k¨ort nem tartalmaz´o gr´afnak legfeljebb cn3/2´ele van.
4. T´etel. Ha a G gr´afnak n cs´ucsa ´es e ´ele van, ´es G nem tartalmaz 4 hossz´u k¨ort, akkor
cr(G)≥ce4 n3,
´es ez a korl´at nagys´agrendileg nem jav´ıthat´o.
A p´elda, ami azt mutatja, hogy a korl´at nem jav´ıthat´o, nagyon hasonl´o az
´altal´anos p´eld´ahoz, amely megfelel˝o m´eret˝u teljes gr´afok uni´oja. Itt megfelel˝o m´eret˝uextrem´alis gr´afok uni´oj´at kell tekinteni.
Hasonl´o eredm´enyeket kaptunk m´as tiltott r´eszgr´afok eset´en, valamint olyan gr´afokra, amelyekben nincs r¨ovid k¨or, illetve ´altal´aban minden olyan
¨or¨okl˝od˝o gr´aftulajdons´agra, amelyn´el a maxim´alis ´elsz´am o(n2). Azokban az esetekben, amikor a megfelel˝o extrem´alis gr´afelm´eleti feladatban az ´elek maxim´alis sz´ama nagys´agrendileg ismert, ott a metsz´esi sz´amokra is nagy-s´agrendileg nem jav´ıthat´o korl´atot kapunk.