Az általános szeparábilis programozási feladat alatt a következő speciális alakú nemlineáris programozási feladatot értjük:
Mielőtt tárgyalni kezdenénk a feladat tulajdonságait és kezelését, tekintsük az alábbi példát ([Winston '91]).
11.1. példa
-Egy olajfinomítással foglalkozó cég két fajta termék előállítását tervezi a következő évre. Ha az első fajta termék előállítandó mennyiségét az x1 változó jelöli, akkor a korábban végzett felmérések szerint a termék ára per egy egység a 30-x1 kifejezéssel fejezhető ki. Ha második termék gyártandó mennyiségét az x2 jelöli, akkor a második termék ára per egy egység a 35-x2 kifejezés szerint alakul. Az első termék előállítási költsége x12
egység, a másiké pedig 2x22 egység. A vállalat maximális kapacitása a tervezendő időszakban korlátos és ezért a gyártandó termékek összege nem lehet nagyobb, mint 20 egység. Másrészt, a gyártási költségek nem haladhatják meg a 250 egységet. A cég igyekszik olyan gyártási tervet keresni, amely az adott körülményekhez képest biztosítja a maximális profitot. Így kapjuk a következő feladatot:
11.1. egyenlet
11.2. egyenlet
-Az ilyen módon kapott szeparábilis programozási feladatban
Szeparábilis célfüggvény
A továbbiakban az egyszerűség kedvéért itt és mindenütt feltételezzük, hogy gij(xj) = aijxj, i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n.
Tekintsük a következő feladatot:
11.3. egyenlet
11.4. egyenlet
11.5. egyenlet
-amelyről a továbbiakban hivatkozás nélkül mindig feltételezzük a következőket:
i. A feladat lehetséges megoldásainak L halmaza korlátos.
ii. A z(x) függvény folytonos az L-n.
Vegyük észre, hogy az adott feltételek mellett L korlátos, zárt, nemüres halmaz, így z(x) folytonossága miatt a feladatnak létezik optimális megoldása. A következőkben megmutatjuk, hogy megadható a (11.3)-(11.5) feladat optimális megoldásának egy olyan numerikus közelítése, amelyre a tényleges optimum értéke és a közelítő optimális megoldáson felvett célfüggvényérték eltérése kisebb, mint egy előre adott pozitív ℇ . E célból a (11.3)-(11.5) feladathoz a korábban leírt szakaszonként lineáris függvényekre (2. fejezet) kifejlesztett apparátus felhasználásával megkonstruálunk egy olyan speciális
11.6. egyenlet
11.7. egyenlet
11.8. egyenlet
-alakú lineáris programozási feladatot, hogy teljesüljenek a következők:
1. A feladat lehetséges megoldásainak L' halmaza korlátos.
Szeparábilis célfüggvény
2. Megadható olyan ϕ : → ' leképezés, hogy
a. tetszőleges u ∈ L' vektorhoz meghatározható olyan ∈ L(ϕ), amelyre w( ) ≤ w(u ) teljesül, b. tetszőleges x ∈ L lehetséges megoldásra z(x ) w(x ϕ).
Az ilyen módon bevezetett feladatpárra vonatkozóan érvényes a következő állítás:
1. Tétel. Ha a (11.3)-(11.5) feladathoz megkonstruálunk egy olyan (11.6)-(11.8) feladatot, hogy a feladatpárra teljesülnek az 1., 2. állítások, és ha tetszőleges x ∈ L lehetséges megoldásra z(x ) - w(x ϕ) ˂ ℇ /2, akkor megadható olyan x0∈ L, amelyre
Ennek az állításnak a (11.3)-(11.5) feladat optimális megoldására vonatkozóan fontos következménye az alábbi módon fogalmazható meg:
1. Következmény. Ha rögzített ℇ > 0 mellett a (11.3)-(11.5) feladathoz megkonstruálunk egy olyan (11.6)-(11.8) feladatot, hogy a feladatpárra teljesülnek az 1., 2. állítások, és a 2. állítás b. részében megadott közelítés ℇ /2 pontosságú, akkor megadható a (11.3)-(11.5) optimális megoldásának egy olyan numerikus közelítése, hogy a tényleges optimum eltérése a közelítő optimumértéktől kisebb, mint ℇ .
A kérdés ezek után az, hogy miként lehet a (11.3)-(11.5) feladathoz olyan (11.6)-(11.8) típusú LP feladatot konstruálni, hogy a feladatpár kielégítse a fentieket. A továbbiakban ezt vizsgáljuk. Megadunk egy olyan eljárást, amellyel a megfelelő (11.6)-(11.8) feladat előállítható. Ezt követően megmutatjuk, hogy az eljárással előállított feladat valóban rendelkezik a kívánt tulajdonságokkal. Az említett eljárás megadása előtt bizonyos előkészületek szükségesek.
Mivel a (11.3)-(11.5) feladat lehetséges megoldásainak L halmaza korlátos, ezért léteznek olyan hl, ... , hn
konstansok, hogy tetszőleges x ∈ L lehetséges megoldásra
11.9. egyenlet
-teljesül. Ilyen értékek valóban léteznek, ugyanis a korlátosság miatt van olyan M, hogy
Ekkor viszont hj = M, j = 1, 2, ..., n máris alkalmas konstansok.
Sajnos a hj, j = 1, 2, ..., n értékek létezésén kívül szükségünk van konkrét konstansok ismeretére is, amelyek meghatározása esetenként nehézségekbe ütközik. Kettő és három változót tartalmazó feladatok esetében ezek a korlátok meghatározhatók grafikusan. Nagyobb feladatnál egy lehetséges eljárás a Fourier-módszer (ld.
[Bajalinov, Imreh '01]), ez azonban igen nagy számításigényű, és nehezen végrehajtható.
Ha visszatérünk a fenti példához, könnyen belátható hogy a (11.1) és (11.2) feltételek elemzése alapján következik, hogy X
Így, a (11.9) korlátok a feladatra vonatkozóan a következő alakot kapják:
A továbbiakban nem térünk ki a hj, j = 1, 2, ..., n konstansok meghatározási technikájára. Feltételezzük, hogy ezek valamilyen módszerrel meghatározhatók.
Továbbá, használni fogjuk az fj(xj) függvénynek a [0, hj] intervallumon lineáris függvényekkel történő közelítését. E célból tekintsük a [0, hj] intervallum egy 0 = hj0 < hj1 < ... < hjkj = hj beosztását. Képezzük az s = 1,2,..., kj értékekre a (hjs-l, fj(hjs-l)), (hjs, fj(hjs)) pontokat összekötő szakaszok
Szeparábilis célfüggvény
iránytangenseit. Ekkor a
függvényt az fj(xj) húrpoligonjának nevezzük a [0, hj] intervallumon. Γj függvényt úgy lehet interpretálni, mint az egyes osztópontokban felvett függvényértékeket összekötő szakaszok által meghatározott függvényt. Ennek alátámasztására legyen 0 ≤ x j ≤ hj tetszőleges. Tekintsük az x tengelyen a (0, x j) pontok által meghatározott
-Végül vizsgáljuk a húrpoligon és az fj(xj) függvény eltérését a [0, hj]-n. Mivel a húrpoligont a beosztás határozza meg, ezért az eltérés a tekintett beosztástól függ. Másrészt ii. alapján z(x) folytonos L-en, de akkor fj(xj) is folytonos a [0, hj] intervallumon. Matematikai analízisből ismeretes, hogy ekkor fj(xj) egyenletesen is folytonos [0, hj]-n, azaz tetszőleges pozitív ℇ -hoz van olyan δ > 0, hogy bármely u , v ∈ [0, hj] pontpárra, ha u - v < δ, akkor |fj(u ) - fj(v ) < ℇ . Ez viszont azt eredményezi, hogy véve egy olyan beosztást, amelyre hjs - hjs-l < δ, s = 1,2,...,kj teljesül, a beosztáshoz tartozó húrpoligon és az fj (xj) függvény eltérése a [0, hj] intervallumon kisebb, mint ℇ .
Összegezve a fentieket, az eltérést illetően azt kaptuk, hogy tetszőlegesen előírt pozitív ℇ pontossággal közelíthető az fj(xj) függvény egy alkalmas húrpoligonnal. Konkrét feladatoknál a megfelelő beosztás meghatározása igen komplikált lehet, az fj(xj) függvényektől függően különböző technikákat lehet alkalmazni. Itt ennek a részleteivel nem foglalkozunk, a tárgyalásra kerülő feladatokban a megfelelő beosztások könnyen meghatározhatók.
A fenti előkészítés után a (11.3)-(11.5) feladat rögzített ℇ > 0 hibahatár melletti megoldására a következő eljárást építhetjük fel.