4 Alkalmaz¶ asok
4.2 Megold¶ asi keret a gyakorlatban felmerÄ ul} o probl¶ e- e-m¶ akhoz
Az alkalmaz¶asok sor¶an gyakran k¶erd¶eses, hogy a p¶aros Äosszehasonl¶³t¶asok is-mert kimenetelei pontosan milyen R m¶atrixot eredm¶enyeznek. TÄobbnyire az Äosszehasonl¶³t¶asok sz¶am¶anak megad¶asa jelenti a kisebb probl¶em¶at: p¶eld¶aul egy sv¶ajci rendszer}u versenyn¶el nyilv¶anval¶o, hogy a lej¶atszott m¶erk}oz¶esek mindegyike azonosan egy s¶ullyal szerepel, m¶³g a tÄobbi alternat¶³vap¶ar eset¶en az Äosszehasonl¶³t¶asok hi¶anyoznak (Csat¶o, 2013a).
A tÄobbszÄorÄos Äosszehasonl¶³t¶asok, a s¶ulyoz¶as sz¶amos megfontol¶asb¶ol ad¶ od-hat, p¶eld¶aul:
1. Egym¶asra val¶o hivatkoz¶asokn¶al: a vizsg¶alt id}oszak alatt b¶armennyi re-ferencia szÄulethet egy adott cikkre vagy foly¶oiratra;
2. NemzetkÄozi ¶arsz¶³nvonal-Äosszehasonl¶³t¶asn¶al a k¶et orsz¶ag term¶ekkosar¶ a-nak elt¶er¶ese szolg¶altathat inform¶aci¶ot a Fisher-index megb¶³zhat¶os¶ag¶ar¶ol (Rao ¶es Timmer, 2003);
3. A sportbajnoks¶agok, szavaz¶asok vagy pszichol¶ogiai vizsg¶alatok gyakran msz¶am¶u fordul¶ora bonthat¶ok, melyek mindegyik¶eben egy alternat¶³vap¶ar legfeljebb egyszer kerÄul Äosszehasonl¶³t¶asra. Ilyenkor logikus v¶alaszt¶asnak t}unik az ezek kimeneteleit le¶³r¶o R(p); p = 1;2;. . .; m m¶atrixok olyan megv¶alaszt¶asa, hogy r(p)ij +rji(p) = 1 teljesÄuljÄon, amennyiben az Xi ¶es Xj objektumok Äosszehasonl¶³t¶asra kerÄultek, illetve r(p)ij +rji(p) = 0, ha
10A sv¶ajci rendszer gyakori m¶odszere a versenyek lebonyol¶³t¶as¶anak olyan sportokban, ahol nem kÄorm¶erk}oz¶eses rendszerben j¶atszanak ¶es valahogy Äossze kell p¶aros¶³tani a fordu-l¶okban az egym¶as ellen j¶atsz¶o j¶at¶ekosokat vagy csapatokat.
nem. TÄobbnyire azonban ekkor is az ¶altalunk haszn¶alt, aggreg¶altR= Pm
p=1R(p) m¶atrixot szok¶as vizsg¶alni (Gonz¶alez-D¶³az et al., 2014). Ez nem v¶eletlen: Chebotarev ¶es Shamis (1999) bizony¶³tja, hogy egyetlen, az egy¶eni R(p) m¶atrixokon alapul¶o rangsorol¶o elj¶ar¶as sem el¶eg¶³ti ki a 2.3.5. alfejezetben bemutatott Äonkonzisztens monotonit¶as tulajdons¶agot, ha az alternat¶³vap¶arok kÄozÄotti Äosszehasonl¶³t¶asok sz¶ama nem azonos.
Temesi et al. (2012) egy tenisz ÄorÄokranglista fel¶all¶³t¶as¶ara tett k¶³s¶erletet a legjobb j¶at¶ekosok egym¶as elleni m¶erk}oz¶esei alapj¶an. Ut¶obbiak sz¶ama tÄ uk-rÄozheti a p¶aros Äosszehasonl¶³t¶as megb¶³zhat¶os¶ag¶at, a cikk azonban eltekintett ennek kezel¶es¶et}ol. Az ok els}osorban az adatokban keresend}o: p¶eld¶aul egy 16 : 0-s egym¶as elleni m¶erleg azt jelenten¶e, hogy a s¶ulyozott esetben ¶ori¶asi jelent}os¶ege lenne ennek a tÄok¶eletes, m¶as j¶at¶ekosok sz¶am¶ara l¶enyeg¶eben meg-ism¶etelhetetlen dominanci¶anak. Ehelyett (az egyik k¶odol¶asban) az A ered-m¶enym¶atrixon keresztÄul kerÄult be¶ep¶³t¶esre ez az inform¶aci¶o.
Az Äosszehasonl¶³t¶asok sz¶am¶anak meghat¶aroz¶asa ut¶an m¶eg mindig h¶atravan azok kimenetel¶enek de¯ni¶al¶asa. Erre sz¶amtalan strat¶egia v¶alaszthat¶o, minden-esetre c¶elszer}u tÄobb lehets¶eges k¶odol¶ast p¶arhuzamosan vizsg¶alni ¶es egym¶assal Ä
osszevetni. Csat¶o (2013a) p¶eld¶aul megmutatja, hogy az eredm¶enyÄul kapott sorrend nem ¶erz¶ekeny a kÄulÄonbÄoz}o intenzit¶as¶u gy}ozelmek matematikailag elfogadhat¶o (monoton) transzform¶aci¶oira. Optim¶alis esetben, a rangsorol¶asi elj¶ar¶asok axiomatikus tulajdons¶againak ¯gyelembev¶etel¶evel, lehet}os¶eg ny¶³lik a gyakorlati p¶eld¶aban meg¯gyelt eredm¶enyek ¶atk¶odol¶as¶anak elm¶eleti al¶at¶ a-maszt¶as¶ara is (Csat¶o, 2012).
A KÄozgazdas¶agi Szemle m¶arciusi sz¶am¶aban Telcs et al. (2013) a felv¶eteliz}ok preferenci¶ai alapj¶an v¶egezte el fels}ooktat¶asi int¶ezm¶enyek rangsorol¶as¶at: az ezek kÄozÄotti p¶aros Äosszehasonl¶³t¶asok kimenetele a beadott jelentkez¶esi lapok seg¶³ts¶eg¶evel adhat¶o meg. Azonban kor¶antsem egy¶ertelm}u, vajon mikor lehet k¶et cs¶ucsot ÄosszekÄotni, mikor mondhatjuk azt, hogy az egyik egyetem egy¶ er-telm}uen jobb a m¶asikn¶al. A szerz}ok az al¶abbi felt¶etelez¶esekkel ¶eltek:
1. Nincs kÄulÄonbs¶eg a preferenci¶ak er}oss¶ege kÄozÄott;
2. A kÄozvetett preferenci¶ak is sz¶am¶³tanak (az els}o helyen megjelÄolt int¶ez-m¶eny jobb a harmadikn¶al, negyedikn¶el stb.);
3. A megjelÄolt szakok prefer¶altak az Äosszes kihagyotthoz k¶epest (,,A nem megjelÄolt szakok kev¶esb¶e prefer¶altak, mint b¶armelyik megjelÄolt");
4. A nem megjelÄolt szakok egyenrang¶uak, a kÄoztÄuk lev}o viszony dÄ ontet-lennek min}osÄul.
Ezek kÄozÄul az els}o kett}o aligha vitathat¶o. A harmadik pont, a meg-jelÄolt objektumok Äosszes kihagyotthoz k¶epesti el}onyben r¶eszes¶³t¶ese tekin-tet¶eben m¶ar ink¶abb indokolt az ¶ovatoss¶ag. TÄobb dolog is visszatarthat egy felv¶eteliz}ot az ¶altala legjobbnak gondolt szak megjelÄol¶es¶et}ol, p¶eld¶aul a tov¶abbi szakokra tÄort¶en}o jelentkez¶es p¶enzbeli (¶es adminisztr¶aci¶os) kÄolts¶egei, a magas ponthat¶arok miatt sz¶am¶ara eleve el¶erhetetlen helyek kihagy¶asa,
vagy az egyetemre j¶ar¶as j¶arul¶ekos kÄolts¶egeinek (sz¶all¶as, ¶etkez¶es) nagys¶aga.
Ez indokolja, hogy Avery et al. (2013) hasonl¶o vizsg¶alata az int¶ezm¶enyek kÄozÄotti preferenci¶akat csak a megadott v¶alaszt¶asi halmazon belÄul ¶ertelmezi, valamelyik szakot akkor tekinti jobbnak egy m¶asikn¶al, ha el}or¶ebb szerepel a felv¶eteliz}o jelentkez¶esi lapj¶an. V¶egÄul a negyedik feltev¶es, a nem megjelÄolt ob-jektumok egyenrang¶uk¶ent besorol¶as¶at mell}ozve { a hi¶anyz¶o Äosszehasonl¶³t¶asok megenged¶es¶evel { c¶elszer}u lehet a k¶et alternat¶³va Äosszehasonl¶³t¶as¶anak ered-m¶eny¶et ismeretlennek tekinteni, vagyis azr(p)ij =r(p)ji = 0;5 helyett azr(p)ij = rji(p)= 0 megold¶ast alkalmazni.
Osszess¶Ä eg¶eben a gyakorlati alkalmaz¶asok egyik kÄozponti k¶erd¶ese a val¶os¶ ag-b¶ol sz¶armaz¶o meg¯gyel¶esek matematikai nyelvre ford¶³t¶asa, ez¶ert a p¶aros Ä osz-szehasonl¶³t¶asi probl¶em¶ak megold¶asa sor¶an az al¶abbi l¶ep¶esek kÄovet¶es¶et aj¶ anl-juk:
1. A matematikai m¶odszerek alkalmazhat¶os¶ag¶anak ellen}orz¶ese: p¶eld¶aul, ha a kiv¶alasztott objektumok k¶epesek befoly¶asolni a p¶aros Ä osszehason-l¶³t¶asok eredm¶eny¶et, ÄosztÄonÄozve voltak-e a min¶el jobb eredm¶eny el¶er¶es¶ere (l¶asd a 3.6. alfejezetet);
2. Az egyes alternat¶³vap¶arokra elv¶egzett Äosszehasonl¶³t¶asok sz¶am¶anak meg-ad¶asa;
3. A p¶aros Äosszehasonl¶³t¶asok kimenetel¶enek k¶odol¶asa;
4. A rangsorol¶asi elj¶ar¶as kiv¶alaszt¶asa, lehet}os¶eg szerint az axiomatikus megkÄozel¶³t¶es tÄukr¶eben;
5. A kapott sorrendek ¶erz¶ekenys¶egvizsg¶alata a kiindul¶o hipot¶ezisek szem-pontj¶ab¶ol;
6. Az eredm¶enyek elemz¶ese, Äosszehasonl¶³t¶asa a m¶ar ismert rangsorokkal, megold¶asokkal.
A folyamat term¶eszetesen nem egyir¶any¶u, szekvenci¶alis. Az adatok elem-z¶ese r¶amutathat a kiindul¶o feltev¶es vagy a matematikai k¶odol¶as ¶es a ki-v¶alasztott rangsorol¶asi m¶odszerek korl¶ataira, r¶aad¶asul az Äosszehasonl¶³t¶asok s¶ulyoz¶asa sem mindig fÄuggetlen¶³thet}o azok kimenetel¶enek meghat¶aroz¶as¶at¶ol (Temesi et al., 2012). A keret n¶eha sz}uk¶³thet}o is, statisztikai jelleg}u vizsg¶ a-latokban p¶eld¶aul az els}o l¶ep¶es ¶ertelemszer}uen kimarad.
5 Osszefoglal¶ Ä as
Tanulm¶anyunkban a p¶aros Äosszehasonl¶³t¶ason alapul¶o rangsorol¶as egy ¶altal¶anos modellj¶et ¶es ennek gyakorlati alkalmaz¶asait tekintettÄuk ¶at. R¶eszletesen t¶ ar-gyaltunk n¶eh¶any pontoz¶asi elj¶ar¶ast, az invari¶ans (PageRank), fair bets, in-ternal slackening ¶es poz¶³ci¶os er}o m¶odszereket. Bemutattuk az internal slack-ening ¶altal az invari¶ans ¶es fair bets elj¶ar¶asok kÄozÄott teremtett kapcsolatot,
illetve az ut¶obbiak egy karakteriz¶aci¶oj¶at. Ugyanakkor azt tal¶altuk, hogy m¶as tulajdons¶agok szempontj¶ab¶ol bizonyos m¶odszerek alkalmaz¶asa vitathat¶o. A monotonit¶as megs¶ert¶ese miatt az alternat¶³v¶ak ellen¶erdekeltek lehetnek a jobb teljes¶³tm¶eny el¶er¶es¶eben, ami els}osorban akkor el}onytelen, ha lehet}os¶egÄuk van a p¶aros Äosszehasonl¶³t¶asok kimenetel¶enek befoly¶asol¶as¶ara. A megford¶³that¶os¶ag kÄovetelm¶enye szerint a rangsorol¶asi probl¶ema ,,ellentettj¶et" v¶eve, az alter-nat¶³v¶ak rangsor¶anak is az ellenkez}oj¶ere kell v¶altoznia. Ezen axi¶oma alapj¶an bevezettÄuk a pontoz¶asi elj¶ar¶asok du¶alis¶at, ¶es azt tal¶altuk, hogy azok jellem-z}oen jobban teljes¶³tenek a monotonit¶as szempontj¶ab¶ol, b¶ar itt m¶eg maradt n¶eh¶any nyitott probl¶ema. Ezt a k¶et tulajdons¶agot egyedÄul a Copeland poz¶³ci¶os er}o teljes¶³ti, az Äonkonzisztens monotonit¶as ¶altal el}o¶³rt intuit¶³v felt¶etelt vi-szont, az Äosszes tÄobbihez hasonl¶oan, megs¶erti. A poz¶³ci¶os er}o kiv¶etel¶evel a tÄobbi m¶odszern¶el neh¶ezs¶eget jelenthet az ¶ertelmez¶esi tartom¶any korl¶atozott volta is.
A terÄulet egyik legfontosabb k¶erd¶ese az ide¶alis pontoz¶asi elj¶ar¶as meg-tal¶al¶asa, ebben az axiomatikus t¶argyal¶as k¶³n¶al seg¶³ts¶eget. Sz¶amos elj¶ar¶asnak egyel}ore nem ismert a karakteriz¶aci¶oja, a meglev}o eredm¶enyek pedig tÄobb szempontb¶ol vitathat¶ok. Ez¶ert ink¶abb normat¶³v alapon c¶elszer}u dÄonteni: ha sikerÄul megindokolni, mi¶ert nem jelentenek probl¶em¶at az egyes kritikus tulaj-dons¶agok, akkor a v¶alaszt¶as kev¶ess¶e kifog¶asolhat¶o. Az ¶ujabb reprezent¶aci¶os t¶etelek megalkot¶as¶anak neh¶ezs¶ege miatt egyel}ore az elv¶art axi¶om¶ak Ä ossze-gy}ujt¶ese, tov¶abbiakkal tÄort¶en}o kieg¶esz¶³t¶ese t}unhet ¶³g¶eretesnek (Gonz¶alez-D¶³az et al., 2014).
Az alkalmaz¶asok szempontj¶ab¶ol tanuls¶agos lehet a kÄulÄonbÄoz}o m¶odszerek val¶os ¶es szimul¶alt p¶eld¶akon keresztÄul tÄort¶en}o Äosszevet¶ese, amib}ol adott eset-ben kiderÄulhet, hogy k¶et, l¶atsz¶olag elt¶er}o elj¶ar¶as val¶oj¶aban nem is ¶all olyan t¶avol egym¶ast¶ol. A rangsorol¶aselm¶elettel foglalkoz¶o kutat¶asok gyakran nem titkolt c¶elja c¶elja az elm¶eletileg megfelel}oen al¶at¶amasztott m¶odszerek beveze-t¶ese a napi gyakorlatba, a nem ritk¶an er}osen vitathat¶o heurisztikus elj¶ar¶asok helyett vagy mellett. Erre ÄosztÄonÄozhet a laikusok sz¶am¶ara fekete dobozk¶ent viselked}o matematikai formul¶ak kÄoz¶erthet}ov¶e t¶etele, ami p¶eld¶aul a gr¶ afinter-pret¶aci¶okon keresztÄul ¶erhet}o el (Shamis, 1994; Brin ¶es Page, 1998; Slikker et al. 2012; Csat¶o, 2013b).
Irodalom
1. I. Ali, W. D. Cook ¶es M. Kress. On the minimum violations ranking of a tournament.Management Science, 32(6):660{672, 1986.
2. A. Altman ¶es M. Tennenholtz. Ranking systems: the PageRank axioms. In Proceedings of the 6th ACM conference on Electronic commerce, pages 1{8, 2005.
3. A. Altman ¶es M. Tennenholtz. Axiomatic foundations for ranking systems.
Journal of Arti¯cial Intelligence Research, 31(1):473{495, 2008.
4. K. J. Arrow.Social choice and invidual values. Wiley, New York, 1951.
5. C. N. Avery, M. E. Glickman, C. M. Hoxby ¶es A. Metrick. A revealed pref-erence ranking of U.S. colleges and universities. The Quarterly Journal of Economics, 128(1):425{467, 2013.
6. J. C. Borda. M¶emoire sur les ¶elections au scrutin. Histoire de l'Academie Royale des Sciences, 1781.
7. P. Borm, R. van den Brink ¶es M. Slikker. An iterative procedure for evaluating digraph competitions.Annals of Operations Research, 109(1-4):61{75, 2002.
8. D. Bouyssou. Ranking methods based on valued preference relations: A char-acterization of the net °ow method. European Journal of Operational Re-search, 60(1):61{67, 1992.
9. D. Bouyssou. Monotonicity of 'ranking by choosing': A progress report.Social Choice and Welfare, 23(2):249{273, 2004.
10. S. Boz¶oki, J. FÄulÄop ¶es L. R¶onyai. On optimal completion of incomplete pair-wise comparison matrices. Mathematical and Computer Modelling, 52(1-2):
318{333, 2010.
11. S. Boz¶oki, L. Csat¶o, L. R¶onyai ¶es J. Tapolcai. Robust peer review decision process. K¶ezirat, 2013.
12. R. A. Bradley ¶es M. E. Terry. Rank analysis of incomplete block designs: I.
The method of paired comparisons.Biometrika, 39(3-4):324{345, 1952.
13. S. Brin ¶es L. Page. The anatomy of a large-scale hypertextual web search engine.Computer networks and ISDN systems, 30(1):107{117, 1998.
14. P. Yu. Chebotarev. Generalization of the row sum method for incomplete paired comparisons.Automation and Remote Control, 50(3):1103{1113, 1989.
15. P. Yu. Chebotarev. Aggregation of preferences by the generalized row sum method.Mathematical Social Sciences, 27(3):293{320, 1994.
16. P. Yu. Chebotarev ¶es E. Shamis. Constructing an objective function for ag-gregating incomplete preferences. In A. Tangian ¶es J. Gruber (szerk.): Con-structing Scalar-Valued Objective Functions, volume 453 ofLecture Notes in Economics and Mathematical Systems, pages 100{124. Springer Berlin Hei-delberg, 1997.
17. P. Yu. Chebotarev ¶es E. Shamis. Characterizations of scoring methods for preference aggregation.Annals of Operations Research, 80:299{332, 1998.
18. P. Yu. Chebotarev ¶es E. Shamis. Preference fusion when the number of al-ternatives exceeds two: indirect scoring procedures. Journal of the Franklin Institute, 336(2):205{226, 1999.
19. G. R. Conner ¶es C. P. Grant. An extension of Zermelo's model for ranking by paired comparisons.European Journal of Applied Mathematics, 11(3):225{
247, 2000.
20. G. R. Conner ¶es C. P. Grant. Neighborhood monotonicity, the extended Zer-melo model, and symmetric knockout tournaments.Discrete Mathematics, 309(12):3998{4010, 2009.
21. A. H. Copeland. A reasonable social welfare function. Seminar on Applica-tions of Mathematics to social sciences, University of Michigan, 1951.
22. L. Csat¶o. A paired comparisons ranking and Swiss-system chess team tourna-ments. Magyar KÄozgazdas¶agtudom¶anyi EgyesÄulet VI. ¶eves konferencia, 2012.
http://media.coauthors.net/konferencia/conferences/7/LLSM Buch ranking .pdf.
23. L. Csat¶o. Ranking by pairwise comparisons for Swiss-system tournaments.
Central European Journal of Operations Research, 21(4):783{803, 2013.
24. L. Csat¶o. A graph interpretation of the least squares ranking method. 2013b.
http://www.sztaki.mta.hu/» bozoki/csatolaszlo/Csato-AGraphInterpretation-2013-manuscript.pdf. Beny¶ujtva.
25. L. Csat¶o. P¶aros Äosszehasonl¶³t¶ason alapul¶o pontoz¶asi elj¶ar¶asok monotonit¶asa:
Ä
onkonzisztencia ¶es Äonkonzisztens monotonit¶as { Adal¶ekok a pontoz¶asi elj¶ar¶ a-sok axiomatikus t¶argyal¶as¶ahoz. M}uhelytanulm¶any, Budapesti Corvinus Egye-tem, Budapest, 2013c.http://unipub.lib.uni-corvinus.hu/1399.
26. T. Csendes ¶es E. Antal. PageRank based network algorithms for weighted graphs with applications to wine tasting and scientometrics. InProceedings of the 8th International Conference on Applied Informatics, pages 209{216, 2010.
27. H. E. Daniels. Round-robin tournament scores.Biometrika, 56(2):295{299, 1969.
28. ÄO. ¶Eltet}o ¶es P. KÄoves. Egy nemzetkÄozi Äosszehasonl¶³t¶asokn¶al fell¶ep}o indexsz¶ a-m¶³t¶asi probl¶em¶ar¶ol.Statisztikai Szemle, 42(5):507{518, 1964.
29. I. Fisher.The making of index numbers: a study of their varieties, tests, and reliability. Houghton Mi²in, Boston, 1922.
30. D. Gale ¶es L. S. Shapley. College admissions and the stability of marriage.
The American Mathematical Monthly, 69(1):9{15, 1962.
31. E. Gar¯eld. Citation indexes for science. A new dimension in documentation through association of ideas.Science, 122:1123{1127, 1955.
32. J. Gonz¶alez-D¶³az, R. Hendrickx ¶es E. Lohmann. Paired comparisons analy-sis: an axiomatic approach to ranking methods.Social Choice and Welfare, 42(1):139{169, 2014.
33. H. Gulliksen. A least squares solution for paired comparisons with incomplete data.Psychometrika, 21(2):125{134, 1956.
34. B. Hansson ¶es H. Sahlquist. A proof technique for social choice with variable electorate.Journal of Economic Theory, 13(2):193{200, 1976.
35. P. J.-J. Herings, G. van der Laan ¶es D. Talman. The positional power of nodes in digraphs.Social Choice and Welfare, 24(3):439{454, 2005.
36. P. Horst. A method for determining the absolute a®ective value of a series of stimulus situations.Journal of Educational Psychology, 23(6):418{440, 1932.
37. O. Hudry. A survey on the complexity of tournament solutions.Mathematical Social Sciences, 57(3):292{303, 2009.
38. X. Jiang, L.-H. Lim, Y. Yao ¶es Y. Ye. Statistical ranking and combinatorial Hodge theory.Mathematical Programming, 127(1):203{244, 2011.
39. H. F. Kaiser ¶es R. C. Serlin. Contributions to the method of paired compar-isons.Applied Psychological Measurement, 2(3):423{432, 1978.
40. J. G. Kemeny. Mathematics without numbers.Daedalus, 88(4):577{591, 1959.
41. L. ¶A. K¶oczy ¶es A. Nichifor. The intellectual in°uence of economic journals:
quality versus quantity.Economic Theory, 52(3):863{884, 2013.
42. L. ¶A. K¶oczy ¶es M. Strobel. The invariant method can be manipulated. Sci-entometrics, 81(1):291{293, 2009.
43. L. ¶A. K¶oczy ¶es M. Strobel. The world cup of economics journals: A rank-ing by a tournament method. IEHAS Discussion Papers 1018, Institute of Economics, Hungarian Academy of Sciences, 2010.
44. J.-F. Laslier. Tournament solutions and majority voting. Springer Berlin, 1997.
45. S. J. Liebowitz ¶es J. P. Palmer. Assessing the relative impacts of economics journals.Journal of Economic Literature, 22(1):77{88, 1984.
46. A. London ¶es T. Csendes. HITS based network algorithm for evaluating the professional skills of wine tasters. Carpathian Applied Mathematics Work-shop 2013.http://www.inf.u-szeged.hu/»csendes/saci13107.pdf.
47. M. P. Machado, R. Mora ¶es A. Romero-Medina. Can we infer hospital quality from medical graduates' residency choices?Journal of the European Economic Association, 10(6):1400{1424, 2012.
48. J. W. Moon ¶es N. J. Pullman. On generalized tournament matrices. SIAM Review, 12(3):384{399, 1970.
49. J. H. Morrissey. New method for the assignment of psychometric scale val-ues from incomplete paired comparisons. Journal of the Optical Society of America, 45(5):373{378, 1955.
50. F. Mosteller. Remarks on the method of paired comparisons: I. The least squares solution assuming equal standard deviations and equal correlations.
Psychometrika, 16(1):3{9, 1951.
51. H. Moulin. Choosing from a tournament.Social Choice and Welfare, 3(4):
271{291, 1986.
52. S. Nitzan ¶es A. Rubinstein. A further characterization of Borda ranking method.Public Choice, 36(1):153{158, 1981.
53. I. Palacios-Huerta ¶es O. Volij. The measurement of intellectual in°uence.
Econometrica, 72(3):963{977, 2004.
54. R. D. Pasteur. When perfect isn't good enough: Retrodictive rankings in college football. In J. A. Gallian (szerk.): Mathematics & Sports, Dolciani Mathematical Expositions 43, pages 131{146. Mathematical Association of America, 2010.
55. M. Pauly. Can strategizing in round-robin subtournaments be avoided?Social Choice and Welfare, DOI 10.1007/s00355-013-0767-6, 2013.
56. G. Pinski ¶es F. Narin. Citation in°uence for journal aggregates of scienti¯c publications: theory, with application to the literature of physics.Information Processing & Management, 12(5):297{312, 1976.
57. M. Pint¶er. A Shapley-¶ert¶ek axiomatiz¶al¶asai.Alkalmazott Matematikai Lapok, 26:289{315, 2009.
58. F. Radicchi. Who is the best player ever? A complex network analysis of the history of professional tennis.PloS one, 6(2):e17249, 2011.
59. D. S. P. Rao ¶es M. P. Timmer. Purchasing power parities for industry compar-isons using weighted Elteto-Koves-Szulc (EKS) methods. Review of Income and Wealth, 49:491{511, 2003.
60. O. R¶etall¶er ¶es A. Tasn¶adi. Az impakt faktor ¶es jelent}os¶ege a kÄozgazdas¶ agtudo-m¶anyban. M}uhelytanulm¶any (working paper), Budapesti Corvinus Egyetem, Budapest, 2013.http://unipub.lib.uni-corvinus.hu/1281.
61. A. Rubinstein. Ranking the participants in a tournament.SIAM Journal on Applied Mathematics, 38(1):108{111, 1980.
62. T. L. Saaty. The analytic hierarchy process: planning, priority setting, re-source allocation. McGraw-Hill International Book Co., New York, 1980.
63. E. Shamis. Graph-theoretic interpretation of the generalized row sum method.
Mathematical Social Sciences, 27(3):321{333, 1994.
64. L. S. Shapley. A value forn-person games. In H. W. Kuhn ¶es A. W. Tucker (szerk.): Contributions to the Theory of Games Volume II, pages 307{317.
Princeton University Press, Princeton, 1953.
65. P. Slater. Inconsistencies in a schedule of paired comparisons.Biometrika, 48 (3-4):303{312, 1961.
66. M. Slikker, P. Borm ¶es R. van den Brink. Internal slackening scoring methods.
Theory and Decision, 72(4):445{462, 2012.
67. G. Slutzki ¶es O. Volij. Ranking participants in generalized tournaments. In-ternational Journal of Game Theory, 33(2):255{270, 2005.
68. G. Slutzki ¶es O. Volij. Scoring of web pages and tournaments{axiomatizations.
Social Choice and Welfare, 26(1):75{92, 2006.
69. R. Smith. Journal accused of manipulating impact factor. British Mediacal Journal, 314(7079):461, 1997.
70. B. Szulc. Indeksy dla porownan wieloregionalnych.Przeglad Statysticzny, 3:
239{254, 1964.
71. A. Telcs, Zs. T. Koszty¶an ¶es ¶A. TÄorÄok. Hallgat¶oi preferenciasorrendek k¶esz¶³t¶ese az egyetemi jelentkez¶esek alapj¶an.KÄozgazdas¶agi Szemle, LX(3):290{317, 2013.
72. J. Temesi, L. Csat¶o ¶es S. Boz¶oki. Mai ¶es r¶egi id}ok tenisze { A nem teljesen kitÄoltÄott p¶aros Äosszehasonl¶³t¶as m¶atrixok egy alkalmaz¶asa. In T. Solymosi ¶es J. Temesi (szerk.): Egyens¶uly ¶es optimum. Tanulm¶anyok Forg¶o Ferenc 70.
szÄulet¶esnapj¶ara, pages 213{245. Aula Kiad¶o, Budapest, 2012.
73. L. L. Thurstone. A law of comparative judgment. Psychological Review, 34 (4):273{286, 1927.
74. R. van den Brink ¶es R. P. Gilles. Ranking by outdegree for directed graphs.
Discrete Mathematics, 271(1-3):261{270, 2003.
75. H. P. Young. An axiomatization of Borda's rule.Journal of Economic Theory, 9(1):43{52, 1974.
76. E. Zermelo. Die Berechnung der Turnier-Ergebnisse als ein Maximumproblem der Wahrscheinlichkeitsrechnung.Mathematische Zeitschrift, 29(1):436{460, 1929.
RANKING METHODS BASED ON PAIRED COMPARISONS
The ranking of the alternatives or selecting the best one are fundamental issues of social choice theory, statistics, psychology and sport. Di®erent solution con-cepts, and various mathematical models of applications are reviewed based on the international literature. We are focusing on the de¯nition of paired comparison ma-trix, on main scoring procedures and their relation. The paper gives a theoretical analysis of the invariant, fair bets and PageRank methods, which are founded on Perron-Frobenius theorem, as well as the internal slackening and positional power procedures used for ranking the nodes of a directed graph. An axiomatic approach is proposed for the choice of an appropriate method. Besides some known charac-terizations for the invariant and fair bets methods, we also discuss the violation of some properties, meaning their main weakness.
Keywords: preference aggregation, paired comparison, ranking, characterization