Magányos részecske utógyorsítása

10.3. Magányos részecske utógyorsítása

Ebben az alfejezetben egyetlen proton utógyorsítását tanulmányozom. Megfontolá-sokat teszek arra vonatkozólag, hogy milyen optimalizálási feltételeknek kell teljesül-niük ahhoz, hogy a proton a legtöbb energiát nyerje ki az evaneszcens impulzusból.

Tekintsük a térközbe a z = 0 síkban x irányú, v₀ sebességgel belép® protont (10.3 ábra). Ebben a síkban a mágneses tér zérus, az elektromos térnek pedig csak longi-tudinális (x irányú) komponense van, mely az alábbi alakban adható meg:

E_x(x, z = 0, t) =E₀sin(ωt−κx+ϕ₀)·f(ωt−κx+ϕ₀), (10.2) ahol κ = nksinα és E0 = E_be,0[2τ ξexp (−kdξ/2)]/[1−ρexp (−kdξ/2)]. Jelölje v(t) a proton sebességét és ϕ(t) = ωt−κx(t) +ϕ₀ legyen az elektromos tér fázisa a részecske helyén. ϕ₀ a gyorsító elektromos tér fázisa a részecskének a résbe érkezése pillanatában a belépés helyén. A résben a mozgásegyenlet a következ®:

dp a következ® alakra írható át:

(v−v_THz) vektorpotenciáltól [225]. A (10.4) egyenlet megoldásával megkapjuk a részecske sebességét a ϕ fázisparaméter függvényében, ami elegend® ahhoz, hogy a kimeneti energiát maximalizáljuk, nincs szükség a mozgás explicit id®függésére. Av(ϕ₀) =v₀ peremfeltételt gyelembe véve a (10.4) egyenlet megoldása a részecske sebességére:

v(ϕ, ϕ₀) = c⁴v_THz±p Az optimalizálás célja, hogy adott v₀ belépési sebességgel rendelkez® részecske ma-ximális mozgási energia-növekményre tegyen szert az impulzussal való kölcsönhatás során. Adottv0-hoz keressük tehát az optimálisv_THz söprési sebességet, illetve a köl-csönhatás kezdetéhez és végéhez tartozó ϕ₀, illetve ϕ_max fázisokat. (A gyakorlatban ϕ₀ optikai késleltetéssel, ϕ_max pedig a THz-es nyaláb szélességének alkalmas megvá-lasztásával állítható be.) Az eredményes gyorsításhoz az szükséges, hogy a részecs-ke csak az impulzus pozitív térer®sség¶ felével részecs-kerüljön kölcsönhatásba, és kétszer

10.3. MAGÁNYOS RÉSZECSKE UTÓGYORSÍTÁSA

10.4. ábra. Proton sebessége a ϕ fázis függvényében v_THz = v_THz^∗ (folytonos vonal), v_THz < v^∗_THz (szaggatott vonal) és v_THz > v_THz^∗ (pontozott vonal) söprési sebességek esetén. A fél ciklushoz (pozitív tartomány) tartozó kölcsönhatást a megvastagított vonalak mutatják.

(odavissza) haladjon keresztül azon. Ez akkor tud teljesülni, ha v_THz > v0, a köl-csönhatás végére pedig értelemszer¶en a részecske sebessége nagyobb lesz v_THz-nél.

A gyorsítás folyamata akkor optimális, ha a részecske a ϕ₀ = π fázisban találkozik az impulzussal, a ϕ = 0 fázisú fordulópontban a sebessége pontosan megegyezik az impulzus sebességével, majd aϕ_max=π fázisban befejez®dik a kölcsönhatás (pl.

a részecske a nyaláb széléhez ér). Ezt a trajektóriát szemlélteti a sebesség-fázis di-agram (10.4 ábra) folytonos vonalának vastagított része. Ezen optimális esethez tartozó impulzussebességet v_THz^∗ -gal jelölöm. A v_THz^∗ meghatározása úgy történik, hogy a (10.6) egyenletbe a ϕ₀ = π és ϕ = 0 értékeket helyettesítjük, majd az így kapottg-t behelyettesítjük a (10.5) egyenlet jobb oldalába, bal oldalába pedigv_THz-t írunk. Az így kapottv_THz-et implicit módon tartalmazó egyenlet zikailag értelmes megoldása v_THz^∗ , mely a maximális energia kinyeréséhez az optimális sebesség. Ha v_THz < v^∗_THz akkor a 10.4 ábra szaggatott vonalának vastagított része által muta-tott trajektóriája valósul meg. A v_THz > v_THz^∗ esetben pedig a 0 fázisú pontban a részecske elmarad az impulzustól és a gyorsítás befejez®dik, ahogy azt a 10.4 ábra pontozott vonalának alsó vastagított része szemlélteti. A 10.4 ábra görbéinek szer-kezete a szabadelektron lézerek területér®l ismert separatrix-hoz hasonló [226,227].

Fontos megjegyezni, hogy az optimális eset a ϕ= 0-beli instabilitás miatt végtelen hosszú kölcsönhatási hosszhoz vezet, mivel a részecske beragad a fordulópontba.

A gyakorlatban emiatt v_THz .v^∗_THz az optimális választás.

Példánkban tekintsünk egy 40 MeV kezdeti energiájú (v₀ = 0,283·c sebesség¶) protont. Ez esetben a (10.5) és (10.6) egyenletek alapján v_THz^∗ = 0,2871·c adódik, ami n= 5 értéket feltételezve a THz-es nyalábα = 45,63-fokos beesési szöge esetén valósul meg. A gyorsító-tér elektromos térer®ssége a z = 0 síkban d = 50µm-es

10.3. MAGÁNYOS RÉSZECSKE UTÓGYORSÍTÁSA

vákuum-rés esetén1,71 MV/cm (lásd a 10.2 alfejezetben foglaltakat). A 10.4 ábrán látható sebességnövekménynek 2,6 MeV energianövekmény felel meg a v_THz ≈v^∗_THz választás esetén (folytonos vonal vastagított része). A gyorsítási úthossz (10.3 ábra) mindössze l_gy = 2,8 cm.

Alacsonyabb THz-es frekvencia használata a szélesebb rés alkalmazhatósága, a kisebb szükséges elektromos térer®sség és a hosszabb gyorsítási id® miatt el®nyösebb.

Például 0,25 THz frekvencián a vákuum-rés szélessége el®nyösen d = 100 µm-re állítható. A 0,5 THz frekvenciára vonatkozó példabelivel azonos energianövekmény 0,7 MV/cm elektromos térer®sséggel érhet® el l_gy = 5,8 cm-es szakaszon.

10.3.1. A nemrelativisztikus tárgyalás

Amennyiben a részecske sebességére igaz, hogy v c a nemrelativisztikus moz-gásegyenlettel is jó közelítést kapunk. Érdemesnek találtam ennek külön pontot szentelni, ugyanis egy frappáns analógiát találtam (melyet a szabadelektron lézerek területén is alkalmaznak [226, 227]) egy jól ismert egyszer¶ rendszerrel, a matema-tikai ingával (súlytalan merev rúd tömegponttal a végén). A végképlet a sebességre explicit formában adódik, nem kell gyökkeres® algoritmust használni, mint a relati-visztikus esetben.

A részecske mozgásegyenlete

mdv =qE₀sinϕds

v . (10.7)

A ds távolságon létrejöv® fáziskülönbség az impulzus és a részecske közt:

dϕ=

A (10.7) és a (10.8) egyenletek alapján dv

dϕ =av_THz 1

v−v_THzsinϕ, (10.9)

ahol a =qE₀/ωm, mint ahogy korábban deniáltam. Vezessük be az u =v−v_THz változót, és írjuk be a (10.9) egyenletbe. Így a következ®höz jutunk:

du

dϕ =av_THz1

usinϕ. (10.10)

A matematikai inga mozgását az

mdv = mgsinϕdt, (10.11)

dϕ = −v

ldt (10.12)

10.3. MAGÁNYOS RÉSZECSKE UTÓGYORSÍTÁSA egyenletek írják le. A (10.11) és a (10.12) egyenletekb®l

dv

dϕ =−gl

v sinϕ (10.13)

adódik. Vegyük észre az analógiát a gyorsított részecskére vonatkozó (10.10) és az ingára vonatkozó (10.13) egyenletek között. Az inga sebességére elemi úton, az energiamegmaradás alapján

v(ϕ, ϕ₀) = q

v₀²+ 2gl(cos(ϕ)−cos(ϕ₀)) (10.14) adódik. Az analógia alapján az uváltozóra

u= adódik. A maximális sebesség elérése érdekében a kezd®fázisϕ₀ =π kell legyen, és ϕ = 0 esetén v = v_THz kell, hogy teljesüljön. Ehhez a THz-es impulzus optimális sebessége

A részecske maximális sebességét a ϕ=π fázisban éri el, melynek értéke v^∗_max=v₀+ 4a

A klasszikus leírásnak megfelel® optimalizált gyorsítás ((10.16) összefüggés) relati-visztikus esettel ((10.5) és (10.6) összefüggések) való összehasonlítása a 10.4 fázis-diagramon látható. A két görbéhez tartozó paraméterek azonosak, a belép® proton energiája 40 MeV, amit már célszer¶ relativisztikusan kezelni. A relativisztikus eset-beli ténylegesen megvalósuló mozgáshoz tartozó ágat megvastagítottam. A v₀ c esetén a két modell eredménye egybecseng.

10.3.2. Gyorsítás több fokozatban

A 10.3 alfejezetb®l megismerhettük az optimalizálási eljárást arra vonatkozóan, hogy egyetlen proton esetén miként lehet a THz-es impulzusból a maximális energiát ki-nyerni. Annak érdekében, hogy a hadronterápiás alkalmazásokhoz elegend® energiát elérjük, a 10.3 ábrán látható gyorsító-egységekb®l többet kell egymás után elhe-lyezni. Természetesen a részecske és a gyorsító-tér közti szinkronizációra a teljes

10.3. MAGÁNYOS RÉSZECSKE UTÓGYORSÍTÁSA

10.5. ábra. Proton gyorsításának relativisztikus és nemrelativisztikus modellezése.

10.6. ábra. 12 fokozatból álló elrendezéssel utógyorsított 40 MeV kezdeti energiájú proton energiája az egyes fokozatokból való kilépéskor.

folyamat alatt minden gyorsító-fokozatban szükség van. A 10.6 ábra a 40 MeV kez-deti energiájú proton energianövekedését mutatja 12 fokozat esetén. Minden egyes fokozatban a THz-es impulzus sebességét az adott fokozatba történ® belépési se-bességnek megfelel®en kellett megválasztani. Az ábra mutatja, hogyan n® a proton energiája fokozatról fokozatra. A szuperlineáris viselkedés a fokozatosan növekv®

belépési sebességgel együtt növekv® kölcsönhatási hosszal magyarázható. A 7. foko-zatot elhagyó proton energiája 70 MeV, ami a hadronterápiára való alkalmazhatóság alsó határa. A 12. fokozat végére az energia meghaladja a 100 MeV értéket.