LegyenekA0,A1. . . ,An∈Rm×m szimmetrikus mátrixok,c∈Rn adott vektor és x∈Rn az ismeretlen vektor.
A lineáris szemidenit optimalizálás primál feladata:
min cTx A0+
Xn
k=1
xkAk ¹0, x∈Rn, (PLSDO)
ahol a¹0szimbólum azt jelenti, hogy a bal oldali mátrixnak negatív szemidenitnek kell lennie. A PLSDO primál feladat konvex optimalizálási feladat, mivel negatív szemidenit mátrixok bármely konvex kombinációja is negatív szemidenit.
A lineáris szemidenit optimalizálás duál feladata:
maxtr(A0W)
ck+tr(AkW) = 0, k = 1, . . . , n, Wº0,
(DLSDO)
ahol W ∈ Rm×m a változók mátrixa, a º szimbólum azt jelenti, hogy a bal oldali mátrixnak pozitív szemidenitnek kell lennie és a tr leképezés, a mátrix nyoma, adott mátrix esetén a f®átlóban lev® elemek összegét adja. A DLSDO feladat kon-vex optimalizálási feladat, ami abból következik, hogy a mátrix nyoma a mátrix lineáris függvénye, és pozitív szemidenit mátrixok konvex kombinációja is pozitív szemidenit.
9.6.1. Dualitási tétel. Ha x∈Rn primál megengedett megoldás,W∈Rm×m duál megengedett megoldás, akkor
cTx≥tr(A0W), (9.6.1)
8A lineáris szemidenit optimalizálást Shapiro (2001) cikke alapján tárgyaljuk.
és egyenl®ség akkor és csak akkor áll fenn, ha Ã
A0+ Xn
k=1
xkAk
!
W= 0. (9.6.2)
A lineáris szemidenit optimalizálási feladat nemlinearitása miatt er®s duali-tás csak bizonyos regulariduali-tási feltétel, pl. a Slater-regulariduali-tási feltétel esetén tel-jesül. A PLSDO akkor Slater-reguláris, ha létezik olyan x ∈ Rn, amelyre az Ã
A0+ Xn
k=1
xkAk
!
mátrix pozitív denit. A DLSDO akkor Slater-reguláris, ha léte-zik olyanWm×m-es szimmetrikus pozitív denit mátrix, amelyreck+tr(AkW) = 0, k = 1, . . . , n. A deníciókból következik, hogy lineáris szemidenit optimalizálás esetén a Slater-regularitási feltételek megegyeznek a bels®pont-feltételekkel.
Irodalomjegyzék
[1] Arrow, K.J. and Enthoven, A.C., Quasi-concave programming, Econometrica 29 (1961) 779-800.
[2] Avriel, M., Diewert, W.E., Schaible, S. and Zang, I., Generalized concavity, Plenum Press, 1988.
[3] Banach, S., Mechanics, Nauki, Warszawa, Wroclaw, 1951.
[4] Bazaraa, M.S. and Shetty, C. M., Foundations of optimization, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1976.
[5] Bazaraa, M.S. and Shetty, C. M., Nonlinear programming, theory and algorithms, John Wiley and Sons, New York, 1979.
[6] Crouzeix, J.P., On second-order conditions for quasiconvexity, Mathematical Programming 18 (1980) 349-352.
[7] Dancs, I. és Puskás Cs., Vektorterek, Aula Kiadó, 2001.
[8] Dancs, I., Magyarkúti Gy., Medvegyev P. és Tallos P., Bevezetés a mate-matikai analízisbe, Aula Kiadó, 2003.
[9] Deák, I., Bevezetés a stochasztikus programozásba, Operációkutatás 3, Aula Kiadó, Budapest, 2003.
[10] Dun, R.J., Peterson, E.L and Zener, C., Geometric programming, John Wiley & Sons, New York, 1967.
105
[11] Egorychev, G.P., A solution of van der Waerden's permanent problem, Dokl.
Akad. Nauk SSSP 258 (1981) 1041-44. (in Russian) Translated in Soviet Math.
Dokl. 23 (1981) 619-622.
[12] Falikman, D.I., A proof of van der Waerden's conjecture on a permanent of a doubly stochastic matrix, Mat. Zametki 29 (1981) 931-939.
[13] Farkas, J., Theorie der einfachen Ungleichungen, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 124 (1901) 1-27.
[14] Farkas, J., Beitrage zu den Grundlagen der analytischen Mechanik, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 131 (1906) 165-201.
[15] Fenchel, W., Convex cones, sets and functions, Mimeographed lecture notes, Princeton University, Princeton, New Jersey, 1951.
[16] Fenchel, W., Über konvexe Funktionen mit voreschriebenen Niveaumannig-faltigkeiten, Math. Z. 63 (1956) 496-506.
[17] Fiacco, A.V. and McCormick, G.P., Nonlinear programming, sequential un-constrained minimization techniques, John Wiley and Sons, New York, 1968.
[18] Forgó, F., Nonconvex programming, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1988.
[19] Fourier, J., Mémoire sur le statique, Journal de l'École Polytechnique 5 (1798).
[20] Gantmacher, F., Lectures in analytical mechanics, Mir Publishers, Moscow, 1970.
[21] Giannessi, F., Theorems of the alternative and optimality conditions, Journal of Optimization Theory and Applications 42 (1984) 331-365.
[22] Halmos E. és Rapcsák T., Statikailag határozatlan rácsos tartók minimális súlyra történ® méretezése, Alkalmazott Matematikai Lapok 3 (1977) 171-183.
[23] Halmos, E. és Rapcsák, T., Minimum weight design of the statically indeter-minate trusses, Mathematical Programming Study 9 (1978) 109-111.
[24] Hunyadi L. és Vita L., Statisztika közgazdászoknak, Központi Statisztikai Hivatal, Budapest, 2002.
[25] Karush, W., Minima of function of several variables with inequalities as side conditions, Master's Thesis, Department of Mathematics, University of Chicago, 1939.
[26] Kas, P. and Klafszky, E., On the duality of the mixed entropy programming, Optimization 27 (1993) 253-258.
[27] Klafszky, E., Geometriai programozás és néhány alkalmazása, Kandidátusi értekezés, MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutató Intézet, Tanul-mányok 8/1973.
[28] de Klerk, E., Roos, C. és Terlaky, T., Nemlineáris optimalizálás, Operációkutatás 5, Aula Kiadó, Budapest, 2004.
[29] Komáromi, É., Lineáris programozás, Operációkutatás 2, Aula Kiadó, Budapest, 2002.
[30] Kuhn, H.W. and Tucker, A. W., Nonlinear programming, in: Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, University of California Press, Berkeley, California, 1950.
[31] Lagrange, J.L., Mécanique analytique 1-11, Paris, 1788.
[32] Luenberger, D.G., Introduction to linear and nonlinear programming, Addison-Wesley Publishing Company Inc., 1973.
[33] Mangasarian, O.L., Pseudo-convex functions, Society for Industrial and Applied Mathematics Journal on Control 3 (1965) 281-290.
[34] Mangasarian, O.L., Nonlinear programming, McGraw-Hill Book Company, 1969.
[35] Martos, B., Nonlinear programming: theory and methods, North-Holland, Amsterdam; Akadémiai Kiadó, Budapest, 1975.
[36] Mayer, J., Stochastic linear programming algorithms, Gordon and Breach, 1998.
[37] Ostrogradsky, M., Mémoire sur les déplacement instantanés des systèmes assujettis á des conditions variables, Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de Saint-Petersbourg, Sixieme Série 1 (1838) 565-600.
[38] Pintér, J., Global optimization in action; Continuous and Lipschitz opti-mization: algorithms, implementations and applications, Kluwer Academic Publishers, 1996.
[39] Prékopa A., Az optimalizáláselmélet kialakulásának történetér®l, Alkalmazott Matematikai Lapok 4 (1978) 165-191.
[40] Prékopa, A., On the development of optimization theory, The American Mathematical Monthly 87 (1980) 527-542.
[41] Prékopa, A., Stochastic programming, Kluwer Academic Publishers, 1995.
[42] Prékopa A., Rapcsák T. és Zsua I., Egy új módszer sorbakapcsolt tározó-rendszerek tervezésére, Alkalmazott Matematikai Lapok, 2 (1976) 189-201.
[43] Prékopa, A., Rapcsák, T. and Zsua, I., Serially linked reservoir system design using stochastic programming, Water Resources Research 14 (1978) 672-678.
[44] Rapcsák T., Autóbuszok er®átviteli láncának optimális méretezése mechanikus sebességváltó esetén, Alkalmazott Matematikai Lapok 4 (1978) 229-243.
[45] Rapcsák T., Lineáris programozási modell egy tereprendezési feladat megol-dására, Alkalmazott Matematikai Lapok 7 (1981) 99-105.
[46] Rapcsák, T., A linear programming model for the optimal levelling of an irrigation surface, European Journal of Operational Research 13 (1983) 369-373.
[47] Rapcsák, T., The optimal power transmission of buses in case of a mechanical speed gear, Advances in Management Studies 2 (1983) 1-22.
[48] Rapcsák, T. and Thang, T.T., On nonlinear coordinate representations of smooth optimization problems, Journal of Optimization Theory and Applications 86 (1995) 459-489.
[49] Rapcsák, T., Smooth nonlinear optimization in Rn, Kluwer Academic Publishers, 1997.
[50] Rapcsák, T., Variable metric methods along geodesics, in: New trends in mathematical programming, eds.: F. Giannessi, S. Komlósi and T. Rapcsák, Kluwer Academic Publishers (1998) 257-275.
[51] Rapcsák, T., Mechanikai egyensúly és egyensúlyi rendszerek, Új utak a magyar operációkutatásban; In memoriam Farkas Gyula, szerk.: Komlósi Sándor és Szántai T., Dialóg Campus Kiadó (1999) 32-42.
[52] Rapcsák, T., Martos Béla optimalizáláselméleti munkásságának méltatása az Egerváry-emlékplakett átadása alkalmából, Alkalmazott Matematikai Lapok 23 (2006) 1-4.
[53] Roberts, A.W. and Varberg, D.E., Convex functions, Academic Press, New York and London, 1973.
[54] Rockafellar, R.T., Convex analysis, Princeton University Press, Princeton, New Yersey, 1970.
[55] Roos, C., Terlaky, T. and Vial, J.-Ph., Theory and algorithms for linear opti-mization. An interior point approach, Wiley, Chichester, UK, 1997.
[56] Shapiro, A., Semidenite programminng: optimality conditions and stability, Encyclopedia of Optimization, eds: C.A. Floudas and P.M. Pardalos, Kluwer Academic Publishers 5 (2001) 138-143.
[57] Spivak, M., A comprehensive introduction to dierential geometry I-V, Publish or Perish, Berkley, 1979.
[58] Stahl J., Optimumszámítás, Budapesti Közgazdaságtudományi Egyetem, Aula Kiadó, 1992.
[59] Udriste, C., Convex functions and optimization methods on Riemannian manifolds, Kluwer Academic Publishers, 1994.
[60] Ujvári, M., A szemidenit programozás alkalmazásai a kombinatorikus opti-malizálásban, Egyetemi jegyzet, ELTE Eötvös Kiadó, 2001.
[61] van der Waerden, B.L., Aufgabe 45, Iber. Deutsch. Math.-Verein 35 (1926) 117.
[62] Winston, W.L., Operációkutatás, Módszerek és alkalmazások, Aula, 2003.
[63] Zalai E., Matematikai közgazdaságtan, KJK KERSZÖV, Budapest, 2000.
eddig megjelentek:
BEVEZETÉS A SZTOCHASZTIKUS PROGRAMOZÁSBA Hujter Mihály
5:
PERFEKT GRÁFOK ÉS ALKALMAZÁSAIK
Etienne de Klerk
6– Cornelis Roos
7– Terlaky Tamás
8:
A kötetek megrendelhet ő k az AULA könyvesboltjában:
1093 Budapest, F ő vám tér 13-15. Telefon: (36)-482-8771
1 Miskolci Egyetem Matematikai Intézete, Alkalmazott Matematika Tanszék, e-mail: matente@gold.uni-miskolc.hu
2 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Építéskivitelezés Tanszéke, e-mail: klafszky@ekt.bme.hu
3 Budapesti Corvinus Egyetem Operációkutatás Tanszéke, e-mail: komaromi@bkae.hu
4 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematikai Intézete, Differenciálegyenletek Tanszék, Operációkutatási Csoport, e-mail: deak@math.bme.hu
5 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematikai Intézete, Differenciálegyenletek Tanszék, Operációkutatási Csoport, e-mail: hujter@math.bme.hu
6 Department of Combinatorics and Optimization, University of Waterloo, Waterloo (ON), Canada, edeklerk@math.uwaterloo.ca; http://www.math.uwaterloo.ca/~edeklerk
7 Department of Information Systems and Algorithms, T.U. Delft, Delft, The Netherlands, C.Roos@ewi.tudelft.nl;
http://www.isa.ewi.tudelft.nl/~roos
8 Department of Computing and Software, McMaster University, Hamilton (ON), Canada, terlaky@mcmaster.ca;
http://www.cas.mcmaster.ca/~terlaky
9Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematikai Intézete, Differenciálegyenletek Tanszék, e-mail:
szantai@math.bme.hu