I. Numerikus időjárási és csatolt modellek: történeti áttekintés, osztályozás, főbb jellemzők, felhasználóbarát
I.2. A hidro-termodinamikai egyenletrendszer alakja, lezárási hipotézisek
I.2.4. Lezárási hipotézisek
aholC1,C2és C3 korrekciós tagok, mígK [m2s–1] a turbulens diffúziós együttható, ami a dimenzióanalízis segítségével:
(I.47.) ,
aholC4egy újabb korrekciós tag.
A legfontosabb kormányzó-egyenletek felírása után röviden tekintsük át a lezárási hipotéziseket!
I.2.4. Lezárási hipotézisek
A meteorológiai állapothatározók átlagértékeire felírt egyenletekben megjelennek – új ismeretlenként – a második momentumok. Ezek meghatározására két lehetőség van. Vagy a már ismert mennyiségek alapján parametrizáljuk őket, vagy megoldjuk a második momentumok időbeli változására felírt egyenleteket. Ebben az esetben azonban megjelennek a harmadik momentumok is az újabb prognosztikai egyenletekben. Ismét több lesz az ismeretlen, mint a megoldásra váró egyenlet.
Az alkalmazott egyenletrendszer lezárásakor az ismeretlenek és a megoldásra váró egyenletek száma azonos. Attól függően, hogy milyen típusú meteorológiai állapothatározókat (milyen rendű momentumokat használunk fel) a parametrizációk során beszélhetünk első-, másod és magasabb rendű lezárási hipotézisekről. Elsőrendű lezárási hipotézisek során a turbulens áramokat (második momentumok) az átlagos mennyiségekkel (első momentumok) parametrizáljuk az átlagokra felírt egyenletekben. Másodrendű lezárási hipotézisek esetén megoldjuk a második momentumokra felírt egyenleteket is. Az egyenletekben megjelenő harmadik momentumokat az átlagok és a második momentumok alapján parametrizáljuk. Gyakran találkozunk még az ún. másfeles (1,5-rendű) lezárási hipotézisekkel. Itt a második momentumokra felírt egyenletek közül csak néhányat oldunk meg: legtöbbször a turbulens kinetikus energia egyenletet, illetve a turbulens kinetikus energia disszipációs egyenletét, s ezek ismertében parametrizáljuk a turbulens keveredést, illetve a magasabb rendű momentumokat.
Vannak lokális és nem lokális lezárási hipotézisek. Lokális esetben a turbulens keveredést az adott rácscella állapotjelzői határozzák meg. A nem-lokális lezárási sémák alapfeltételezése, hogy a nagy örvények gyorsabban
„szállítanak”, mint ahogyan a kis örvények „kevernek”. Itt a keveredés azt jelenti, hogy egy-egy kis örvény csak a felette és az alatta levő rácstérfogatba viszi az adott tulajdonságot, míg a szállítás azt fejezi ki, hogy egy vizsgált rácstérfogatból egy tőle távoli rácstérfogatba jut az adott tulajdonság, ahogy a szökőkútból „az ég felé tör a vízsugár”.
Ezt a feltevést a megfigyelések is bebizonyították. A transilient elmélet (transilient – latinul: átugrik, átsiklik) a nem lokális lezárás legáltalánosabb formája (Stull, 1988). Az elmélet a PHR minden egyes alrétege között engedélyez keveredést.
Meteorológiai és áramlástani feladatokban általában az 1. és az 1,5. rendű lezárási hipotéziseket alkalmazzák. A következőkben ezek közül mutatjuk be a legfontosabbakat. Az egyszerűség kedvéért itt is horizontálisan homogén és izotróp turbulencia feltételezésével dolgozunk. A vertikális turbulens áramok parametrizációjával foglalkozunk.
Hasonló elvek szerint modellezhetők a horizontális áramok is. A lezárási hipotézisekről részletesen olvashatnak Stull (1988), Lajos (2004), Foken (2008), Lohász és Régert (2010) munkáiban.
I.2.4.1. A turbulens áramok
Tekintsük azFsturbulens áramot, ami nem más, mint az adott tulajdonság (s) felületegységen időegység alatt átáramló mennyisége (I.13. ábra). Matematikailag a vertikális sebesség (w) és az s tulajdonság kovarianciája:
(I.48.) .
A felső vesszővel jelölt mennyiségek most is az átlagértékektől vett pillanatnyi eltérést, a fluktuációt jelölik. A felülvonás a Reynolds-féle átlagolás jele ( ). Számításaink során – első közelítésként – feltételezzük, hogy az átlagos vertikális sebesség nulla ( ). Az egyszerűség kedvéértulegyen a horizontális szélsebesség. Az általánosan alkalmazott jelölések szerint az impulzus (τ), a szenzibilis (H) és a látens hőáram (LE), valamint a nyomanyag-áram (Fc) alakja:
(I.49.)
, , ,
(I.50.)
, , ,
(I.51.)
, ,
(I.52.)
, ,
aholLa fázisátalakulási hő, a Kármán-féle konstans,za magasság (az aktív felszín, vagy az ún. kiszorítási rétegvastagság (d) felett), , , , a dinamikus sebesség, hőmérséklet, specifikus nedvesség és koncentráció.
Az egyes tulajdonságokra (impulzus, szenzibilis és látens hő, nyomanyag) vonatkozó turbulens diffúziós együtthatók és a stabilitástól függő univerzális függvények rendre: és , ahol a dimenziónélküli magasság, ahol a Monin–Obukhov-féle hossz alakja:
(I.53.) .
Az adott (s) tulajdonság átlagos profiljának az ismeretében, a hasonlósági elmélet alapján:
(I.54.) ,
ahol az univerzális függvények integrál alakja.
Gyakorlati számításokban a szélsebesség és a potenciális hőmérséklet különbség ismeretében a gradiens Richardson-szám felhasználásával határozzuk meg a Monin–Obukhov-féle hossz értékét iterációs eljárással (Horváth et al., 1998; Weidinger et al., 2000; Ács és Kovács, 2001),
(I.55.) ,
majd az univerzális függvények integrált alakjának ismeretében számítjuk ki az egyes turbulens áramokat. Itt a stabilitási paraméter,ga nehézségi gyorsulás.
I.13. ábra. A turbulens kicserélődés sematikus képe. Profil-fluxus kapcsolatok.
I.2.4.2. Elsőrendű lezárások
Itt a turbulens áramokat a meteorológiai állapotjelzők átlagértékeivel, illetve gradienseivel parametrizáljuk.
Az ellenállási elméletet a felszínközeli rétegben használják. A felszín ( ) felett z1 magasságban az adott tulajdonság (s) vertikális árama (Fs) arányos a szélsebességgel ( ) és azstulajdonság magasságszerinti
változásával ( ):
(I.56.) ,
ahol Csaz arányossági tényező. A felszínközeli réteg modelljében – állandó turbulens áramok feltételezésével – az aktív felszín magassága (ahol a modellbeli széksebesség nullává válik) a kiszorítási rétegvastagság (d) feletti z0magasság (d+z0).
A leggyakrabban használt lokális lezárási módszer a K-elmélet, ami a molekuláris viszkozitás analógiáján alapul.
A turbulens áram arányos a turbulens diffúziós együtthatóval és az adott tulajdonság gradiensével:
(I.57.) .
A turbulens diffúziós együttható meghatározására több módszer ismert. Dolgozhatunk a hasonlósági elmélet feltételezésével (I.48.–I.55.) amikorKsértéke a stabilitástól függő univerzális függvények értékétől függ:
(I.58.) .
Használhatjuk az ún. keveredési út hipotézist is:
(I.59.) ,
ahol az adott tulajdonságra jellemző keveredési út, ami függ a légköri stabilitástól a felszín feletti magasságtól és az adott kicserélődő mennyiségtől (tulajdonságtól). Neutrális esetben a felszínközeli rétegben a keveredési út arányos a felszín feletti magassággal, míg felette a keveredési rétegben általában a Blackadar-féle parametrizáció alapján
(I.60.) ,
ami a magasság növekedésével egy állandó értékhez ( ) tart.
A nem-lokális keveredés a labilis nappali határréteg sajátja. Ennek megértéséhez tekintsük azstulajdonság időbeli változására vonatkozó prognosztikai egyenletrendszert, ami a következő mátrix-egyenlet formájában írható föl:
(I.61.) ,
ahol , az adott tulajdonság értéke a j-edik és ak-adik rétegben, ajéskréteg közötti keveredést leíró tag; a keveredési mátrixjk-adik eleme (Weidinger és Bordás, 2007). A konvektív határrétegetjmaxrétegre bontva ( )-es keveredési mátrixot kapunk. A transilient elmélet alkalmazásának fő akadálya, hogy a mátrix minden eleme nullától különböző, s nem tudjuk egzakt módon, elméleti alapon megadni azokat. E mellett eltörpül az a tény, hogy az egyenletrendszer numerikus megoldása jelentős számítógép kapacitást igényel.
I.14. ábra. A Blackadar-féle (a) és az aszimmetrikus (b) konvektív keveredési modell (ACM). A nyilak vastagsága arányos a keveredési hányaddal (Pleim és Chang, 1992).
Mezoskálájú modellekben (pl. MM5, lásd Ács et al., 2006) elterjedten alkalmazzák a Blackadar (1979) által kifejlesztett nem lokális keveredési modellt (I.14.a. ábra). A modell lényege, hogy a talajközeli rétegben különböző méretű, és élettartamú – különböző magasságokig emelkedő – örvények, illetve termikek jelenlétét feltételezi. A fel- és leáramlás szimmetrikusan zajlik, a konvektív feláramlások (csóvák) biztosítják a passzív szennyeződés keveredését (szállítását) a talajközeli réteg és a konvektív határréteg különböző alrétegei között. Ez a modell nem engedélyezi a keveredést a szomszédos rétegek között – kivéve a talajközeli és a felette levő cellát. Így a Blackadar-féle modell hátránya, hogy pontatlanul írja le a nem talajközeli rétegben található forrásokból (2, 3, …,jmaxréteg) származó passzív szennyezőanyagok keveredését. Ezért nem alkalmazható terjedési modellekben.
Az aszimmetrikus konvektív keveredési modell (Asymmetric Convective Mixing–ACM, Pleim és Chang, 1992) a vertikális aszimmetriára épül (I.14.b. ábra). E modell-közelítés létjogosultságát a konvektív határréteg nagy örvény modelljei (LES) is igazolták már az 1980-as éveiben (Wingaard és Brost, 1984).
A számítások azt is megmutatták, hogy a Rayleigh-Bernard konvekcióval ellentétben, a konvektív PHR-t a gyors, de kis területekre kiterjedő feláramlás (termikek) és a nyomási mező kormányozta, nagy területre kiterjedő lassú leáramlás jellemzi (I.15.b. ábra), tehát a turbulens szállítási folyamatok aszimmetrikusak. Az ACM modellben a Blackadar-féle modellel ellentétben a leáramlás lokális jelegű, ülepedés-szerű; kaszkád formájában írható le.
I.1. táblázat. Passzív szennyezőanyag turbulens keveredésének szimmetrikus és aszimmetrikus modellje, a koncentráció-profil időbeli változását leíró egyenletek alakja az egyes (1, 2, ..., j, ..., jmax) szinteken.
ACM modell Blackadar-féle modell
j= 1
j
j = jmax
A Blackadar-féle és az ACM modell prognosztikai egyenletrendszerét azI.1. táblázattartalmazza, aholjaz adott vertikális szint száma,qja passzív szennyezőanyag koncentrációja, aj-edik szint helyzete a modell vertikális ( ) koordináta-rendszerében, a rétegvastagság , a vertikális föláramlási arány, míg az ACM modellj-edik szintjére vonatkozó vertikális leáramlási arány:
(I.62.) .
A gyakorlatban a lokális és a nemlokális sémák együttes alkalmazásával várhatunk jó eredményt a határrétegben lejátszódó konvektív folyamatok leírásában.
I.2.4.3. Másfeles (1,5) rendű lezárások
Mind a légköri modellekben, mind a numerikus megoldókban elterjedten alkalmazzák ezt a lezárási módot. A második momentumokra felírt egyenletek közül általában a turbulens kinetikus energiaegyenletet és az energiadisszipációs egyenletet (I.44. és I.46.) oldják meg.
Abban az esetben, ha a turbulens kinetikus energia-egyenletben az energiadisszipációt (ε) parametrizáljuk, akkor elég ezzel az egy egyenlettel kiegészíteni az átlagokra felírt egyenletrendszert. (Erre alapvetően a planetáris határrétegnek a mérnöki alkalmazásokhoz viszonyított egyszerű geometriája miatt van szükség.) Ekkor a turbulens diffúziós együtthatót a keveredési út (l) és a turbulens kinetikus energia négyzetgyökével (b) modellezzük (Kolmogorov-féle parametrizáció):
(I.63.) ,
ahol számítási állandó.
Általában együtt oldják meg a turbulens kinetikus energiára (ezt b2mellett gyakran jelölik k-val, illetve E-vel is) és az energia disszipáció (ε) időbeli változására vonatkozó egyenletet. Ez az ún. k-ε lezárás (Richards és Hoxey, 1993; Lohász és Régert, 2010; Davidson, 2011). Gyakran találkozunk vele mind a mezoskálájú meteorológiai modellekben, mind az áramlástani megoldókban. Itt a turbulens örvények skálaparamétere:
(I.64.) .
Áramlástani megoldókban alkalmazzák ak-ωlezárási hipotézist is, ahol ω a specifikus disszipáció (vagy a turbulencia frekvenciája):
(I.65.) .
Így a turbulens kinetikus energia egyenlet mellett a másik egyenlet ω időbeli változását adja meg. Ennek az áramlástani megoldókban a falmelletti áramlás (falfüggvények) pontos megadásában van jelentősége, amikorkés ε is nullához tart.
A légköri modellekben ezt a problémát megkerüljük, hiszen itt a felszín közeli rétegben a turbulens áramok állandóságával számolunk. Ennek ára, hogy a modellbeli szélprofil nem a felszínen, hanem ahogy korábban már említettük az0érdességi magasság szintjén, illetve komplex felszínek esetén a kiszorítási rétegvastagsággal (d) megemelt szinten (z0+d) válik nullává.