A konvex Farkas-tétel

Mielőtt kimondanánk a konvex Farkas-tételt, egy egyszerű szeparációs tételt mutatunk be, amelynek bizonyítása a legtöbb szakirodalomban (pl. [2]) megtalálható.

2.66. Tétel. Legyen U ⊆Rⁿ konvex halmaz és w ∈ Rⁿ egy adott pont, amelyre w /∈ U. Ekkor létezik egy {x:a^Tx=α} elválasztó hipersík, amelyre: a^Tw≤α, valamint a^Tu≥α mindenu∈ U-ra, deU nem részhalmaza a hipersíknak, vagyis létezik olyanu¯∈ U, amelyre a^Tu > α.¯

Most már készen állunk a konvex Farkas-tétel bizonyítására. Az itt bemutatott bizo-nyítás a [42, 46] könyvekben található bizobizo-nyítások egyszerűsített változata.

2.67. Tétel (Farkas). Tekintsük a (CO) konvex optimalizálási feladatot, és tegyük fel, hogy a Slater-regularitási feltétel teljesül. A következő

f(x) < 0

g_j(x) ≤ 0, j = 1, . . . , m x ∈ C

(2.13)

rendszernek akkor és csak akkor nincs megoldása, ha létezik olyan y = (y1, . . . , ym) ≥ 0 vektor, amelyre

f(x) + Xm

j=1

yjgj(x)≥0 minden x∈ C esetén. (2.14) Mielőtt bizonyítanánk ezt a fontos tételt, teszünk egy megjegyzést. A (2.13) és (2.14) rendszereketalternatív rendszereknekhívjuk, azaz közülük pontosan az egyiknek van meg-oldása.

Bizonyítás: Ha a (2.13) rendszernek van megoldása, akkor (2.14) nem teljesülhet erre a megoldásra. Ez a tétel triviálisan következő iránya, amely mindenféle regularitási feltétel nélkül is fennáll.

Az ellenkező irány bizonyításához tegyük fel, hogy (2.13)-nek nincsen megoldása. De-finiáljuk azU ∈R^m+1 halmazt a következőképpen (u= (u0, . . . , um)):

U ={u:∃x∈ C, amelyref(x)< u0, gj(x)≤uj haj ∈Jr, gj(x) =uj haj ∈Js}. AzU halmaz tehát azokat a jobboldali vektorokat tartalmazza, amelyekre a 2.14 rendszer megoldható. Vegyük észre, hogy a szinguláris feltételeket – mivel úgyis mindig egyenlő-séggel teljesülnek – eleve egyenlőegyenlő-séggel követeltük meg.

A Slater-feltételeknek köszönhetően a szinguláris függvények lineárisak, így az U hal-maz nyilván konvex és a (2.13) rendszer megoldhatatlansága miatt nem tartalhal-mazza az origót. Innen a 2.66 tétel alapján létezik szeparáló hipersík, amelyet egy megfelelő (y0, y1, . . . , ym) vektor és α= 0 ily módon definiál:

Xm

j=0

y_ju_j ≥0 mindenu∈ U esetén (2.15)

és valamely u¯∈ U esetén

Xm

j=0

yju¯j >0. (2.16)

A tétel bizonyítását az alábbi pontok igazolásával fejezzük be:

I. Először bebizonyítjuk, hogy y0 ≥0 és yj ≥0minden j ∈Jr esetén.

II. Belátjuk, hogy (2.15) fennáll u= (f(x), g1(x), . . . , gm(x)) esetén, ha x∈ C. III. Megmutatjuk, hogy y0-nak pozitívnak kell lennie.

IV. Teljes indukció segítségével belátjuk, hogy y_j >0fennállhat minden j ∈J_s esetén.

I. Először megmutatjuk, hogy y0 ≥0 ésyj ≥0 mindenj ∈Jr esetén. Indirekt tegyük fel, hogy y0 < 0. Legyen (u0, u1, . . . , um) ∈ U tetszőleges. A definíció miatt (u0 + λ, u1, . . . , um)∈ U mindenλ ≥0mellett. Innen (2.15) alapján

λy0+ Xm

j=0

yjuj ≥0 mindenλ ≥0mellett.

Elég nagy λ esetén a bal oldal negatív lesz, ami ellentmondás, tehát y0-nak nem-negatívnak kell lennie. A többi yj, j ∈ Jr nemnegativitása hasonló módon látható be.

II. Belátjuk, hogy

y₀f(x) + Xm

j=1

y_jg_j(x)≥0 minden x∈ C mellett. (2.17) Ez abból következik, hogy mindenx∈ C és minden λ >0 esetén

u= (f(x) +λ, g₁(x), . . . , g_m(x))∈ U, így

y0(f(x) +λ) + Xm

j=1

yjgj(x)≥0 minden x∈ C mellett.

Innen λ→0 esetén éppen az állítást kapjuk.

III. Megmutatjuk, hogy y0 > 0. Már tudjuk, hogy y0 ≥ 0. Indirekt tegyük fel, hogy y₀ = 0. Innen (2.17) alapján

X

j∈Jr

y_jg_j(x) + X

j∈Js

y_jg_j(x) = Xm

j=1

y_jg_j(x)≥0 mindenx∈ C esetén.

A feladat Slater-reguláris, így létezik egyx^∗ ∈ C⁰ ideális Slater-pont is, amelyre gj(x^∗) = 0ha j ∈Js,

ahonnan azonnal kapjuk, hogy X

j∈Jr

yjgj(x^∗)≥0.

Mivel yj ≥ 0 és gj(x^∗) <0 minden j ∈ Jr mellett, ezért yj = 0 minden j ∈ Jr-re.

Ebből adódik, hogy

X

j∈Js

yjgj(x)≥0 minden x∈ C esetén. (2.18) A szeparációs tétel (2.16) pontja alapján van olyan x¯ ∈ C, u¯j = gj(¯x), j ∈ Js, amelyre fennáll, hogy

X

j∈Js

yjgj(¯x)>0. (2.19)

Mivel az x^∗ ideális Slater-pont C relatív belsejében van, ezért létezik olyan x˜ ∈ C vektor és 0< λ <1, amelyekre x^∗ =λ¯x+ (1−λ)˜x. Felhasználva, hogy gj(x^∗) = 0 minden j ∈Js esetén, és hogy a szinguláris feltételek lineárisak, ezt kapjuk:

0 = X

j∈Js

yjgj(x^∗) = X

j∈Js

yjgj(λ¯x+ (1−λ)˜x) =

=λX

j∈Js

yjgj(¯x) + (1−λ)X

j∈Js

yjgj(˜x)>(1−λ)X

j∈Js

yjgj(˜x). (2.20)

Az utolsó egyenlőtlenség (2.19)-ből következett. A kapott egyenlőtlenség, (1−λ)X

j∈Js

yjgj(˜x)<0, ellentmond (2.18)-nek, tehát bebizonyítottuk, hogy y₀ >0.

A (2.17) egyenlőtlenségety0 >0-val osztva és újyj := _y^yj₀,j ∈J változókat bevezetve kapjuk, hogy

f(x) + Xm

j=1

yjgj(x)≥0 mindenx∈ C mellett. (2.21) Végül megmutatjuk, hogy minden j ∈Js esetényj pozitívvá tehető.

IV. A J_s halmaz elemszámára vonatkozó teljes indukcióval megmutatjuk, hogy y_j lehet pozitív minden j ∈Js esetén. Ha Js =∅, akkor készen vagyunk. Ha |Js|= 1, akkor az eddig bizonyított összefüggések alapján a

gs(x)<0

gj(x)≤0, j ∈Jr (2.22)

x∈ C

rendszernek nincs megoldása, kielégíti a Slater-feltételt, és így létezik olyanyˆ∈R^m−1 vektor, amelyre teljesül, hogy

g_s(x) +X

j∈Jr

ˆ

y_jg_j(x)≥0 mindenx∈ C esetén, (2.23) aholyˆj ≥0mindenj ∈Jr-re. A (2.23) egyenlőtlenség elég nagy pozitív többszörösét a (2.21) egyenlőtlenséghez adva gs(x) együtthatóját pozitívvá tehetjük.

Az általános indukciós lépés hasonlóképpen alakul. Feltesszük, hogy|J_s|=k esetén érvényes az állítás, s ebből kiindulva bebizonyítjuk, hogy |Js| = k + 1 esetén is fennáll. Legyen s∈Js, |Js\ {s}|=k. Az előbbiekhez hasonlóan kapjuk, hogy a

g_s(x)<0

gj(x)≤0, j ∈Js\ {s}

gj(x)≤0, j ∈Jr (2.24)

x∈ C

rendszernek nincs megoldása, kielégíti a Slater-feltételt, és az indukciós feltevés sze-rint létezik olyan yˆ∈R^m−1, amelyre

gs(x) + X

j∈Jr∪Js\{s}

ˆ

yjgj(x)≥0 minden x∈ C esetén, (2.25) ahol yˆj > 0 minden j ∈ Js-re, és yˆj ≥0 minden j ∈ Jr-re. A (2.25) egyenlőtlenség elég nagy pozitív többszörösét a (2.21) egyenlőtlenséghez adva megkapjuk a kívánt

nemnegatív együtthatót. 2

Végül kicsit többet is bizonyítottunk, mint maga az állítás volt. Beláttuk, hogy minden szinguláris feltétel szorzója szigorúan pozitívvá tehető.

2.68. Példa. [Farkas-tétel]

1. Tekintsük a következő konvex optimalizálási feladatot:

minx x² ≤0

x∈R.

Ez a feladatnem Slater-reguláris.

A következő

x < 0 x² ≤ 0

rendszernek nincs megoldása, de minden y > 0 esetén az f(x) = x+yx² kvadratikus függvénynek két zérushelye van (l. a 2.17 ábrát). Így nincs olyany≥0, amelyrex+yx² ≥0 minden x∈Resetén, tehát ebben az esetben a Farkas-tétel nem érvényes.

−_2y¹

−¹_y

−_4y¹

2.17. ábra. A 2.68 példában szereplő első függvény.

2. Tekintsük a következő konvex optimalizálási feladatot:

min 1 +x x²−1≤0

x∈R.

Ez a feladat Slater-reguláris (a 0 ideális Slater-pont). Az alábbi 1 +x < 0

x²−1 ≤ 0 rendszernek nincs megoldása. Ha y= ¹₂, akkor a

g(x) =x+ 1 +y(x²−1) = 1

2x²+x+1 2 kvadratikus függvénynek (l. 2.18 ábra) csak egy zérushelye van, így

−3 −1 1

2.18. ábra. A 2.68 példában szereplő második függvény.

1

2x²+x+1

2 ≥0 mindenx∈R esetén.

2.19. Feladat. Legyen A egy m×n-es mátrix és b∈R^m adott vektor. A 2.67 konvex Farkas-tétel felhasználásával bizonyítsuk be, hogy a következő alternatív rendszerek közül pontosan az egyik oldható meg:

(I) Ax≤b, x≥0, vagy

(II) A^Ty≥0, y ≥0, b^Ty <0.

2.20. Feladat. Tekintsük azA∈R^m×n,B∈R^k×nmátrixokat és aza∈R^m,b∈R^kvektorokat.

Megfelelő átalakítások után a 2.67 konvex Farkas-tétel felhasználásával határozzuk meg az Ax≤a, Bx < b, x≥0

egyenlőtlenségrendszer alternatív rendszerét.

2.21. Feladat. Legyen A∈R^m×n,c∈Rⁿ ésb∈R^m. A 2.67 konvex Farkas-tételt felhasználva bizonyítsuk be a lineáris optimalizálásra vonatkozó Goldman–Tucker-tételt:

Ha a

min©

c^Tx:Ax=b, x≥0ª primál és a

max©

b^Ty:A^Ty+s=c, s≥0ª

duál feladatnak létezik optimális megoldása, akkor létezik olyan megoldás is, amelyrex^∗optimális megoldása a primál feladatnak, (y^∗, s^∗) optimális megoldása a duál feladatnak, és

x^∗+s^∗ >0.

Az ilyen megoldásokat szigorúan komplementárisnak nevezzük.

2.22. Feladat. Keressük meg azt a h magasságú ésr sugarú hengert, amelynek térfogata lega-lábbV és felszíne minimális.

A feladat alapján a következő optimalizálási feladatot írhatjuk fel:

p^∗ := min 2πr²+ 2πrh a következő feltétel mellett:

πr²h≥V, r >0, h >0.

1. Mutassuk meg, hogy a fenti feladatot átírhatjuk a következő formába:

p^∗ = min 2π¡

e^2x1 +e^x1+x2¢ , az alábbi feltétel mellett:

ln µV

π

¶

−2x1−x2 ≤0, x1 ∈R, x2 ∈R.

2. Bizonyítsuk be, hogy ez az új feladat olyan konvex optimalizálási feladat, amely kielégíti a Slater-feltételt.

3. A Farkas-tétel segítségével mutassuk meg, hogy az optimalitás feltétele: r= ¹₂h=¡_V

2π

¢¹₃ . Segítség: A feladat ekvivalens a következő rendszer megoldhatatlanságának igazolásával:

2π¡

e^2x1 +e^x1+x2¢

< 6π µV

2π

¶²₃

ln µV

π

¶

−2x1−x2 ≤ 0, x1 ∈R, x2 ∈R.

In document OPERÁCIÓKUTATÁS No. 5. (Pldal 79-85)