értékének meghatározásához paraméter identifikációt végeztem. Az alumínium elektrolit kondenzátorokat váltakozó áramú hálózatban is használják, így a modellek alkotóelemeinek meghatározását a mért impedancia spektroszkópia érték alapján határoztam meg.
Az impedancia vektormennyiség, így hossza mellett fázisa is jellemzi azt. A jelen munka során feldolgozott adatsor csupán az impedancia vektor(ok) hosszát tartalmazza. Ebből következően a kiválasztott modell komplex impedancia átviteli függvényéhez történő illesztés nem lehetséges. Ezért az áramköri kapcsolás eredő impedanciájának, mint valós számsíkra képező függvénynek a megállapításával nyílik lehetőség a függvényben szereplő paraméterek meghatározására.
Az eredő impedanciát a frekvencia függvényében leíró összefüggés olyan modell, amelyhez lineáris regresszióval történő illesztés nem valósítható meg, hiszen nem írható fel
meghatározott különböző függvények lineáris kombinációja. Ebben az esetben nemlineáris regresszió alkalmazása az egyik járható út, ugyanakkor a probléma megoldására egyszerű megoldást kínálnak az evolúciós stratégiák.
A genetikus algoritmus a biológiai evolúcióhoz hasonlóan a természetes kiválasztódás alapján működik, így az egyes megoldások – melyek jobbak, mint másikak – túlélnek, míg a rosszabb eredményt szolgáltató megoldások az evolúció – algoritmikus szempontból:
iterációk – során kihalnak. Az egyedfejlődés során létrejövő populációkban a különböző megoldásokat a kromoszómák képviselik, amelyeknek jóságát az úgynevezett fitnesz értékük jelzi. Az algoritmus konvergenciáját biztosítja a minden iterációban egyre nagyobb fitnesz értékű kromoszómákkal rendelkező populációk kifejlődése.
Implementálás lépései:
1. Kezdeti populáció előállítása Ciklikus végrehajtási szekvencia
2. Populáció kromoszómáinak kiértékelése fitnesz értékeik meghatározásával 3. Elitizmus: a legjobb kromoszómák új populációba történő áthelyezése
4. Új populáció kitenyésztése a maradék kromoszómákon végrehajtott műveletekkel Ciklikus végrehajtási szekvencia vége
A kezdeti populáció előállítása a populáció egyedeit reprezentáló n számú kromoszóma véletlenszerű generálásával történik. A kromoszóma elemei a gének, amik jelen esetben a helyettesítő áramköri kapcsolás paraméterei (pl.: ESR, RLC, ESL, stb.). Az algoritmus megkívánja, hogy a véletlen számok generálása bizonyos határok között történjen, azaz ún.
keresési tereket kell megadni az egyes paraméterekre vonatkozóan.
Az algoritmus keresési tereit fizikai mérések alapján és tapasztalati úton határoztam meg a saját modell esetén. Ilyen fizikai mérés és számítás eredménye például az anód és a katód fólia kapacitásának intervalluma. Ismert az anód fólia mérete (pl.: 46 mm x 3100 mm) és felületi kapacitása (pl.: 0,41 μF/cm2), amelyből kiszámítható a kapacitás közelítő értéke (gyártó 5-10 %-os felületi kapacitás szórással gyártja a fóliát). Hasonlóan számolható a katód fólia kapacitás is.
A fentiek miatt a szimulációkban használt keresési terek valós tartományban vannak,
A véletlen számok generálása a kezdeti populáció számára akkor kielégítő, ha az egyes nagyságrendek szerint felosztott tartomány minden intervallumába azonos valószínűséggel generálódik véletlen szám. Ehhez az egyenletes eloszlással rendelkező generált számok eloszlását transzformálni kell logaritmikus egyenletes eloszlásúvá. A transzformációt az (5.1) függvénnyel lehet elvégezni.
Aebx
xlog = (5.1)
A képletben szereplő A és b paraméterek a megadott keresési tartományok alsó és felső határának ismeretében számíthatók, amelyek az (5.2) és (5.3) képletekkel vannak definiálva.
y0
y0 és y1 sorrendben a logaritmikus egyenletes eloszlású véletlen számok generálási intervallumának alsó és felső határa.
A létrehozott populáció egyedeinek a rátermettségének kiértékelése a következő lépés. A rátermettsége az egyes egyedeknek vagy kromoszómáknak a fitnesz értékük kiszámításával végezhető el. A fitnesz értékek meghatározásához egy fitnesz függvényt kell definiálni, amit mindig az adott problémára vonatkozóan kell megtenni. A fitnesz függvényt úgy kell meghatározni, hogy a legkisebb hibát szolgáltató megoldás esetén legyen a legnagyobb, míg a nagyobb hibát jelentő megoldások esetén kicsi értéke legyen. A meghatározáshoz alkalmazott képlet az (5.4) egyenlettel van definiálva.
A Fi fitnesz függvény számlálójában a legkisebb hibanégyzet összeggel rendelkező kromoszóma hibaösszege található (Errbest), míg a nevezőben az n kromoszóma közül az i-edik kromoszóma hibaösszege található. A függvény a legkisebb hibanégyzet összeggel rendelkező kromoszóma (azaz best=i) esetén a maximális, 100 értéket adja, míg az ettől eltérő esetekben ennél kisebb értéket, méghozzá a hibanégyzet összeg nagyságával fordított arányban egyre kisebb fitnesz értékeket.
A hiba számítása az egyes kromoszómákra (5.5), a kromoszóma génjeinek az impedancia függvénybe történő behelyettesítésével történik minden egyes frekvenciára vonatkozóan, az egyes frekvenciákon kapott hibák négyzeteinek összege pedig a teljes becslés hibanégyzet összegét adják (5.6).
2 Az új populáció előállítása az előző populációból történik. Az implementálási lépéseknél bemutatott felosztás szerint a 3. és 4. pontok az új populáció generálásának lépései. Ez alapján, az elitizmus során az n darab kromoszómából kiválasztott legjobb m darab kromoszóma az új populáció első m eleme. Ez a művelet egyszerűen a fitnesz értékek sorba rendezését követően végezhető el a kromoszómáknak az m darab legnagyobb értékig történő, változtatás nélküli áthelyezésével, másképpen másolásával.
A maradék kromoszómákon ezt követően a keresztezés és a mutáció műveletének végrehajtása történhet meg. A műveletek végrehajtáshoz a kromoszómák kiválasztása úgynevezett szelekcióval történik. A szelekció ebben az esetben a „tournament-selection”
nevű eljárás alapján kerül megvalósításra. A kiválasztás során általunk meghatározott mennyiségű véletlen szám kerül generálásra a populáció méretében maximalizálva a generált szám értékét. Ezt követően a véletlen szám által megadott sorszámú kromoszómák kerülnek kiválasztásra és ezek közül a megoldások közül a legjobb fitnesz értékű lesz az, amelyen a keresztezés és mutáció művelete végrehajtódhat. A keresztezéshez két kromoszóma kell, így a szelekció mindig két kromoszóma kiválasztásáig tart.
A keresztezés és a mutáció is csak egy bizonyos Pc és Pm valószínűséggel következik be az adott kromoszómapáron. Ha egy kromoszómapáron nem következett be kereszteződés, akkor a mutáció sem fog, azaz a kromoszómapár változtatás nélkül átmásolásra kerül az új populációba, akárcsak az elitizmussal kiválasztott kromoszómák. A kiválasztott kromoszómák között a keresztezés művelete valós értékű algoritmus esetén (5.7) egyenlet szerint tehető meg.
)
A (5.7) az úgynevezett heurisztikus keresztezés operátor, amelyben az xi a kromoszóma i.
génjét jelöli, a felső indexben található szám pedig a keresztezendő kromoszómákat azonosítja, az α pedig egy egyenletes eloszlású véletlen szám. A műveletet elvégezve egy utód jön létre, azonban az is előfordulhat, hogy a keresztezés során valamely gén értéke a keresési intervallumon kívülre esik. Ebben az esetben újra el kell végezni az eredeti két
)
β értéke korábban generált α felhasználásával:
Az utódon a mutáció műveletének elvégzése Pm valószínűséggel következik be, viszont ha nem kerül sor mutációra, akkor az utód kromoszóma az új populációba kerül. A mutáció a keresztezéshez hasonlóan minden xi génre megtörténik (5.10) képlet alapján.
δ
amelyben a δ értéke felírható a (5.11) képlet alapján, amelynek keresési intervalluma (5.12) definiált. szempontból. Az iterációk általában vagy egy n számú populációig tartanak, vagy a kiértékelést követően valamilyen szempont szerint tekinthető a populáció megfelelőnek. Ilyen szempont lehet például a populáció legjobb egyedének a hibaértéke, amely egy adott korláttal elfogadásra kerülhet.
A genetikus algoritmus futási beállításai a következőek voltak:
• az algoritmus n = 2000 populációig futott
• a végeredményként elfogadott kromoszóma hibaösszege - azaz minden frekvencián az eltérés összesítve - 0,75 Ω.
• a „tournament-selection” 3 véletlenszerűen kiválasztott kromoszóma közül választotta ki a legjobbat a keresztezés és mutáció műveletre
• az elitizmus során minden populációból a 2 legjobb került átmásolásra az új populációba
• a keresztezés Pc=0,8, míg a mutáció Pm=0,25 valószínűséggel került elvégzésre
A fenti leírásnak megfelelően első lépésben az adott modell génjeinek keresési tereit kell meghatározni. Ehhez vagy a fizikai rendszer viselkedésének, működésének ismeretében lehet megállapításokat tenni és/vagy a meglévő adatsor alapján számításokat végezni. A paraméter identifikáció alapja egy 400 V, 4700 µF-os (B43564-es széria) kondenzátor impedancia spektroszkópia mérés. A munkám során megvizsgáltam a 3.7, 3.18, 3.19, 3.20 és 3.22-es modelleket a paraméterillesztés és a feszültség és áram igénybevétel szempontjából.
A kondenzátor esetében névleges kapacitás ismert, de az impedancia értékeiből szintén meg lehet állapítani az (5.13) képlet alapján a kapacitás megközelítő értékét, hiszen a kis frekvenciákon (pl.: 20 Hz) mért impedanciák esetében a kapacitív impedancia meghatározó.
) (
1
2 2
2 Z ESR
C= −
ω (5.13)
A kondenzátor induktivitás értékéről intuitív módon feltételezhető, hogy viszonylag kicsi értékről van szó. A kapacitásérték meghatározásához hasonlóan megközelítő induktivitás érték számítható a nagy frekvencián mért impedanciák felhasználásával. A magas frekvenciás tartományban az induktív impedancia releváns, így az induktivitás megbecsülhető a (5.14) képlet alapján.
2 2 2
ω ESR
L= Z − (5.14)
Az ellenállások értékére a kondenzátor rezonancia frekvenciájának értékéből lehet következtetni. A mérési értékek görbéjének minimumpontja mutatja valós ellenállás értékét.
Ez az érték felbontató két részre. A két ellenállás közül a soros ellenállás érték Ohm alatti tartományba kell, hogy essen, míg az L-C tagokkal párhuzamos ellenállás nagy Ohm értékű tartományban várható értékkel rendelkezik. Ez a párhuzamos ellenállás jelképezi a kondenzátor belső kisülését, értéke kb. 100/C [MΩ].
5.1.1 Standard modell vizsgálata
A fentiek alapján a következőek lettek a kiszámított keresési intervallumok, standard modell (3.7-es ábra) esetében:
• ESR: 0,01 – 0,1 Ω
• RLC: 104 – 106Ω
• C: 0,004 – 0,005 F
• ESL: 5·10-9 – 10-8 H
A standard modell eredő impedanciája az (5.15) képlettel írható fel.
C R ESL R
ESR Z
LC LC
ω ω + + +
= 1 (5.15)
Az algoritmus futtatása után a paraméterek értékei a következőek lettek:
• ESR: 17,1 mΩ
• RLC: 3,0147·105 Ω
• C: 4436 µF
• ESL: 5,9·10-9 H
A fenti paraméterekkel kapott, illetve a mért Z görbe látható az 5.1-es ábrán.
5.1. ábra Mért (piros színű, 20 °C-os környezeti hőmérséklet esetén) és kiszámított (zöld színű) Z értékek görbéje a frekvencia függvényében
A göbék összehasonlításához ki lett számítva a korrelációs érték is, amely a standard modell esetében 0,9997 (Az érték 10 futtatás átlagértéke).
5.1.2 Gasperi modelljének vizsgálata
A 3.19-es ábrán bemutatott modell a leginkább alkalmazott a tudományos cikkekben. A modell eredő impedanciája felírható az (5.16) képlettel.
ω ω M COXLCRLC
R ESR C
Z = + + +
1
1 (5.16)
Keresési intervallumok a modell paramétereire vonatkozóan:
• ESR: 0,01 – 0,1 Ω
• RLC: 107 – 1010 Ω
• CM: 0,004 – 0,005 F
• COX: 0,01 – 0,1 F
Az algoritmus futás alatti beállításai megegyeztek a standard modell esetén bemutatott feltételekkel. Futtatás után a paraméterek értékei a következőek lettek:
• ESR: 11,9 mΩ
• RLC: 1,03·108Ω
• CM: 4878 µF
• COX: 36277 µF
A fenti paraméterekkel kapott görbe, illetve a mért Z görbe látható az 5.2-es ábrán.
5.2. ábra Mért (piros színű, 20 °C-os környezeti hőmérséklet esetén) és kiszámított (zöld színű) Z értékek görbéje a frekvencia függvényében
A göbék összehasonlításához ki lett számítva a korrelációs érték is, amely a Gasperi modell
5.1.3 Venet standard modelljének vizsgálata
A 3.20-as ábrán bemutatott modellt Venet dolgozta ki. A modell eredő impedanciája felírható az (5.17) képlettel.
ω
Keresési intervallumok a modell paramétereire vonatkozóan:
• ESR: 0,01 – 0,1 Ω
• RLC: 104 – 106 Ω
• CM: 0,004 – 0,005 F
• Rb: 0,01 – 0,1 Ω
• ESL: 5·10-9 – 10-8 H
Az algoritmus futás alatti beállításai megegyeztek a standard modell esetén bemutatott feltételekkel. Futtatása után a paraméterek értékei a következőek lettek:
• ESR: 12,5 mΩ
• RLC: 9,053·104 Ω
• CM: 4277 µF
• Rb: 14,5 mΩ
• ESL: 16,26·10-9 H
A fenti paraméterekkel kapott görbe, illetve a mért Z görbe látható az 5.3-as ábrán.
5.3. ábra Mért (piros színű, 20 °C-os környezeti hőmérséklet esetén) és kiszámított (zöld színű) Z értékek görbéje a frekvencia függvényében
A göbék összehasonlításához ki lett számítva a korrelációs érték is, amely a Venet standard