5. Feladat. Egy eSports bajnokság egyik regionális döntőjén 10 csapat vesz részt. A TI–
ra a legjobb négy csapat jut be, továbbá az első három helyezett részesül helyezéstől függő pénzjutalomban.
(a) Hányféle sorrend alakulhat ki a 10 csapat között, ha nincs holtverseny?
(b) A pénzjutalmak kiosztása hányféleképpen történhet meg?
(c) Hány különböző lehetséges kimenetele van a továbbjutóknak?
Megoldás.
(a) Tíz csapatotsorba állítani
10·9·8. . .2·1 = 10!
különböző módon lehet.
(b) Pénzjutalmat csak az első három kap, és a nyeremények különbözőek. A 10 csapatból 3–at kiválasztani éssorba állítani összesen
10·9·8 különböző módon lehet.
(c) A kiválasztott 4 továbbjutónál nem számít a sorrend, ezért ez 10·9·8·7
4! =
10 4
lehetséges kimenetel.
6. Feladat. Pálinka főzéséhez vettünk 10 kg cukrot egykilós kiszerelésben. Mikor lemértük azokat, azt tapasztaltuk, hogy 4 közülük kevesebb, 6 pedig nehezebb volt, mint1kg. Találomra kiválasztva 3 cukrot, mennyi a valószínűsége a következő eseményeknek?
(a) A=Pontosan egy könnyebb, mint 1 kg.
(b) B =Legalább kettő könnyebb, mint 1 kg.
(c) C =Legfeljebb kettő nehezebb 1 kg–nál.
Megoldás. A 10 cukorból 3darabot kell kiválasztani, a sorrend nem számít, tehát 10
3
azösszes esetek száma.
(a) Ekkor a 4 csomag könnyebb cukorból 1–et és a 6 nehezebb közül 2–t kell kiválasztani, ezért akedvező esetek száma
4 és így a keresett valószínűség
P(A) = kedvező esetek száma összes esetek száma =
4
(b) A legalább kettő könnyebb választása azt jelenti, hogy vagy pontosan kettő, vagy pontosan három könnyebbet választunk. Ezért, az előző feladat alapján kapjuk, hogy
4
a kedvező esetek száma. Tehát a keresett valószínűség:
P(B) =
(c) A legfeljebb kettő nehezebb választása az jelenti, hogy vagy pontosan 0, vagy pontosan 1, vagy pontosan 2nehezebbet választunk. Ezért ebben az esetben egyszerűbb a komple-menter esemény
C =Mindhárom nehezebb, mint 1kg.
segítségével meghatározni a keresett valószínűségét:
P(C) = 1−P(C) = 1−
7. Feladat. Egy disznóvágás során a böllérnek kitöltenek 5 pohár vodkát és 10 pohár vizet, azonban a poharak összekeverednek. A böllér negyedóránként legurít egyet, hogy bátorságot gyűjtsön a disznó leöléséhez. Mennyi a valószínűsége a következő eseményeknek?
(a) A=Elsőre vizet iszik.
(b) B =Először vizet, de másodjára vodkát iszik.
(c) C =Másodikra vodkát iszik.
(d) D=Először vizet, vagy másodjára vodkát iszik.
Megoldás.
(a) Összesen15pohár van és egyet választ, így az összes esetek száma 15. A kedvező esetben a 10pohár vizet tartalmazó közül választ egyet, ez10 lehetőség. Ezért
P(A) = 10
15 ≈0,667.
(b) A 15 pohárból kettőt választ, a sorrend számít, így az összes esetek száma 15·14. A kedvező esetben először a 10vizes pohár (B ⊂A), majd az5 vodkás pohár közül választ, így a kedvező esetek száma 10·5. Ezek alapján
P(B) = 10·5
15·14 ≈0,238.
(c) Az összes esetek száma most is 15·14. A kedvező eset bekövetkezhet úgy, hogy elsőre vizet iszik és másodjára vodkát, azaz ha aB esemény bekövetkezik , ami 10·5eset, vagy ha elsőre és másodikra is vodkát választ, ez5·4 lehetőség. Így
P(C) = 10·5 + 5·4
15·14 ≈0,333.
Megjegyzés. Vegyük észre, hogy B =A∩C, azonbanP(B) = P(A∩C)= P(A)·P(C),
azA és a C események hatással vannak egymásra.
(d) MivelD=A∪C, és B =A∩C, így a szita formula alapján P(D) = P(A∪C) = P(A) + P(C)−P(A∩C) = 2
3+ 1 3− 5
21 ≈0,762.
Teljes eseményrendszer. Ha azA1, A2, . . . események páronként diszjunktak és uniójuk kiadja a teljes eseményteret, akkor azA1, A2, . . . események teljes eseményrendszert alkotnak (T.E.R.).
8. Feladat. A Lich King legyőzésekor 10%–os eséllyel lehet a legendary kardját lootolni, ami sajnos egy szerveren csak egyszer esik. Mennyi a valószínűsége a következő eseményeknek?
(a) A=Legfeljebb háromszor kell legyőzni, hogy megszerezzük a kardot.
(b) B =Legalább tizenegy alkalom kell, hogy megszerezzük a kardot.
(c) Legalább hány alkalommal kell a Lich Kinget legyőznünk, hogy legalább 90%–os eséllyel lootoljuk a legendary kardját?
Megoldás. JelöljeAi azt az eseményt, hogy azi-edik alkalommal esik a kard először és egyben utoljára is. Az Ai események nyilván páronként diszjunktak, teljes eseményrendszert alkotnak.
Mivel a legendary kard 10%–os eséllyel, azaz p= 0,1 valószínűséggel, véletlenszerűen esik, így P(Ai) = (1−p)i−1p , i∈N.
(a) Ekkor
A=A1∪˙A2∪˙A3, ahol ∪˙ a diszjunkt egyesítést jelöli. Ezért
P(A) = P(A1) + P(A2) + P(A3) = 0,1 + 0,9·0,1 + 0,92·0,1 ≈0,271. (b) Ebben az esetben
B =A11∪˙A12∪˙A13∪˙ . . . , így
P(B) = ∞ i=11
0,9i−1·0,1 = ∞
k=0
0,9k+10·0,1
= 0,910·0,1· ∞ k=0
0,9k = 0,910·0,1· 1
1−0,9 = 0,910 ≈0,348. Megjegyzés. Vegyük észre, hogy a B esemény átfogalmazható:
B =Az első tíz alkalom során nem tudjuk megszerezni a kardot.
Annak a valószínűsége, hogy nem tudjuk megszerezni a kardot 0,9, így a függetlenség miatt
P(B) = 0,910.
(c) Legyen a szükséges alkalmak száma n, azaz n olyan, hogy
n−1
i=1
0,9i−1·0,1<0,9≤ n
i=1
0,9i−1·0,1. A (b) rész alapján
n i=1
0,9i−1·0,1 = 1− ∞ i=n+1
0,9i−1·0,1 = 1−0,9n, innen kapjuk, hogy
0,9≤1−0,9n 0,9n≤0,1 n·ln 0,9≤ln 0,1
n≥ ln 0,1
ln 0,9 ≈21,854.
Ezért legalább 22 alkalommal kell a Lich Kinget legyőznünk, hogy legalább90%–os eséllyel lootoljuk a legendary kardját.
Videók
Események
1. Feladat. Határozzuk meg a következő kísérletek esetén az elemi eseményeket és a H ese-ményteret.
(a) Szabályos pénzérmét egyszer feldobunk.
(b) Szabályos dobókockával egyszer dobunk.
(c) A 7 és8 óra között a hídra felhajtó autók száma.
(d) A hídon közlekedő autók követési ideje.
(e) Egy adott esemény első bekövetkezése.
Megoldás.
Kísérlet Elemi események Eseménytér
(a) {fej}, {írás} H ={fej, írás}
(b) {1}, {2}, {3}, {4}, {5},{6} H ={1,2,3,4,5,6} (c) az autók száma: n∈N0 H⊂N0 véges
(d) t∈R H ⊂R
(e) n∈N H ⊂N
2. Feladat. Határozzuk meg egy szabályos dobókockával való dobás esetén az alábbi összetett eseményeket.
(a) A=Páros számot dobunk.
(b) B =Páratlan számot dobunk.
(c) C =2–nél nagyobb számot dobunk.
(d) A∩B
(e) A∪B (f) A∩C (g) C
Megoldás.
(a) {2,4,6} (b) {1,3,5}
(c) {3,4,5,6}
(d) ∅, a lehetetlen esemény (e) H, a biztos esemény (f) {4,6}
(g) {1,2}
3. Feladat. Adjunk meg egy pénzérme
(a) háromszori (b) n-szeri
feldobása esetén egy teljes eseményrendszert (T. E. R.–t).
Megoldás.
(a) Például az
A3 =Három fejet dobunk.
A2 =Két fejet, egy írást dobunk.
A1 =Egy fejet, két írást dobunk.
A0 =Három írást dobunk. események T.E.R–t alkotnak.
A3 A2 A1 A0
H
(b) Az
Ak =k darab fejet dobunk, k = 0,1, ..., n események T.E.R.–t alkotnak.
4. Feladat. Egy évfolyam hallgatói közül egyet kiválasztva megnézzük, hogy hány kurzus-felvétellel tudja teljesíteni a tárgyait. Jelölje An azt, hogy a Kalkulust az n-edik felvétel során teljesítette, tehát példáulA3az az esemény, hogy a tárgyat a harmadik kurzusfelvételkor sikerült abszolválnia. Hasonló módon jelölje Bn azt, hogy a Lineáris algebrához pontosan n kurzusfel-vétel szükséges, Cn pedig az az esemény, hogy a Valószínűségszámítás az n-edik alkalommal sikerül. Formalizáljuk a következő eseményeket:
(a) a Kalkulust az első, a Lineáris algebrát a második felvételkor sikerül teljesíteni, (b) a Kalkulus sikerül elsőre, de a Valószínűségszámítás nem,
(c) a három közül valamelyik kurzust sikerül az első alkalommal teljesíteni, (d) a három közül valamelyik kurzust nem sikerül az első alkalommal teljesíteni,
(e) a Kalkulushoz és a Valószínűségszámításhoz összesen négy felvétel szükséges.
Megoldás.
(a) A1∩B2
(b) A1\C1
(c) A1∩B1∩C1
(d) A1∩B1∩C1
(e) (A1∩C3)∪(A2∩C2)∪(A3∩C1)
5. Feladat. Egy fiókban lévő 7 fehér és 3 kék zokniból 3–at kiválasztunk. Adjunk meg egy teljes eseményrendszert, és vizsgáljuk az elemi események számát aszerint, hogy visszatevéses, illetve visszatevés nélküli modellt használunk. A visszatevéses modellben tekintsük külön esetnek azt is, amikor a kihúzott zoknik sorrendje számít.
Megoldás.
Az
Ak=k db kéket húzunk, k= 0,1,2,3
T. E. R.–t alkotnak.
Az elemi események száma:
• visszatevéses modell esetén
(a) ha számít a sorrend, 10·9·8 (b) ha nem számít a sorrend, 10
3
.
• visszatevés nélküli modell esetén103.
6. Feladat. A fiókban található 20 zokni közül 3 fehér. Addig húzunk a zoknik közül visszate-véssel, amíg nem húzunk fehéret. Adjunk meg egy T.E.R–t, és határozzuk meg, hogy az ebben szereplő összetett eseményeket hány elemi esemény alkotja.
Megoldás. Az
Ak=k–adik alkalommal húzunk először fehéret, k = 1,2, ...
események T.E.R–t alkotnak. Az Ak elemszáma
|Ak|= 17k−1·3.
7. Feladat. Egy hedge fund három cégbe fekteti pénzét, melyek rendre 19%, 25% illetve 28%
valószínűséggel mennek tönkre az elkövetkező öt évben. Annak az esélye, hogy az első és a második cég is csődbe megy, 1
20; annak a valószínűsége, hogy az első és a harmadik is elveszti a vagyonát, 1
10; és annak a valószínűsége, hogy a második és a harmadik is becsődöl, 1
10. Annak az esélye, hogy mindhárom vállalat csődbe megy, 2%. Mennyi a valószínűsége, hogy
(a) az első vagy a második vállalat csődbe megy?
(b) az első becsődöl, de a harmadik nem?
(c) pontosan két vállalat megy csődbe, és közöttük lesz a harmadik?
(d) legalább két vállalat becsődöl?
(e) egyik vállalat sem megy csődbe?
Megoldás.
(a) 0,39 (b) 0,09 (c) 0,16 (d) 0,21 (e) 0,51
8. Feladat. Legyenek A és B olyan események, melyek valószínűsége 0,7 illetve 0,8. Ezen információ birtokában meg tudjuk–e határozni egyértelműen a két esemény
(a) uniójának (b) metszetének
a valószínűségét? Ha nem, akkor adjunk alsó és felső korlátot ezekre a valószínűségekre. A megoldást illusztráljuk Venn–diagrammal is.
Megoldás.
(a) 0,8≤P(A∪B)≤1 (b) 0,5≤P(A∩B)≤0,7 Ha P(A∪B) = 0,8., akkor
P(A∩B) = P(A) = 0,7 B
A
AmennyibenP(A∪B) = 1, akkor
P(A∩B) = 0,5
A A∩B B
Kombinatorikus valószínűség
9. Feladat. Anna, Bori és Cili véletlenszerűen leülnek egy padra.
(a) Hány lehetséges kimenetel van?
(b) Mennyi a valószínűsége, hogy Anna és Bori a pad két szélén ül?
(c) Mennyi a valószínűsége, hogy Anna és Cili egymás mellé ül?
Megoldás.
(a) 3! (b) 1
3 (c) 2
3
10. Feladat. Anna, Bori, Cili, Dóri és Emma véletlenszerűen leülnek egy padra.
(a) Hány lehetséges kimenetel van?
(b) Mennyi a valószínűsége, hogy Anna és Bori a pad két szélén ül?
(c) Mennyi a valószínűsége, hogy Anna és Dóri között pontosan ketten vannak?
(d) Mennyi a valószínűsége, hogy Anna, Cili és Emma egymás mellett ül?
Megoldás.
(a) 5! (b) 3·2!
5! (c) 2·2!·3!
5! (d) 3·3!·2!
5!
11. Feladat. Véletlenszerűen választunk egy valódi ötjegyű számot (azaz az első számjegy nem lehet nulla).
(a) Mennyi a valószínűsége, hogy a számjegyek különböző páratlan számok?
(b) Mennyi a valószínűsége, hogy a számjegyek között vannak azonosak?
Megoldás.
(a) 5!
9·104 (b) 9·104−9·9·8·7·6 9·104
12. Feladat. Egy étteremben 9 vendég összesen 3 sört, 4 pohár vörösbort és 2 pohár fehérbort rendelt. A pincér véletlenszerűen osztja ki az italokat.
(a) Mennyi a valószínűsége, hogy mindenki azt kapja, amit kért?
(b) Mennyi a valószínűsége, hogy a söröket jól, de legalább egy bort tévesen oszt ki?
Megoldás.
(a) 3!·4!·2!
9! (b) 3!·4!·4!·2! + 3!·4!·2!·4 + 3!·4!·4·3 9!
13. Feladat. Többször feldobunk egy szabályos dobókockát. Mennyi a valószínűsége, hogy (a) az első 6–os a negyedik dobásra jön ki?
(b) az első 6–os az n–edik dobásra jön ki?
(c) az első négy dobásban van legalább egy 6–os?
(d) az első n dobásban van legalább egy 6–os?
(e) Határozzuk meg azt a legkisebbn értéket, amire az
A=Az első n dobásban van legalább egy 6–os esemény valószínűsége legalább 0,9.
Megoldás.
(a) 53 64 (b) 5n−1
6n
(c) 64 −54 64 (d) 6n−5n
6n
(e) 13
14. Feladat. A háromszori pénzfeldobás kísérletében határozzuk meg a következő események valószínűségét:
(a) A=Három fejet dobunk.
(b) B =Dobunk fejet is, írást is.
(c) C =Pontosan két fejet dobunk.
(d) D=Legfeljebb két fejet dobunk.
(e) E =Legalább két fejet dobunk.
Megoldás.
(a) 1
8 (b) 6
8 (c) 3
8 (d) 7
8 (e) 4
8
15. Feladat. A rendelkezésünkre álló 20 csavar közül 16 jó és 4 selejt, ezek közül visszatevés nélkül, véletlenszerűen húzunk 2–t. Határozzuk meg az elemi események számát, majd számít-suk ki a következő események valószínűségét:
A2 =Két selejtet húzunk.
A1 =Pontosan egy selejtet húzunk. A0 =Nem húzunk selejtet.
Megoldás.
Ha számít a sorrend Ha nem számít a sorrend
Az alaphalmaz elemeinek száma 20· 19
20 2
P(A2) 4·3
20·19
4·3 20·19
P(A1) 2·4·16
20·19
2·4·16 20·19
P(A0) 16·15
20·19
16·15 20·19
16. Feladat. A rendelkezésünkre álló 20 csavar közül 16 jó és 4 selejt, ezek közül véletlenszerűen húzunk 5–öt. Határozzuk meg, hogy hány elemi esemény alkotja az alaphalmazt és számítsuk ki a következő események valószínűségét abban az esetben, ha a modell visszatevés nélküli és nem számít a sorrend, illetve, ha a modell visszatevéses és számít a sorrend:
A=5 selejtet választottunk.
B =2 selejtet és 3 jót választottunk.
Megoldás.
Visszatevés nélkül, Visszatevéssel, nem számít a sorrend számít a sorrend
Az alaphalmaz elemeinek száma
20 5
205
P(A) 0 45
205
P(B) 15·14·6
19·18·17
10·43 55
17. Feladat. A rendelkezésünkre álló 10000 csavar közül 500 selejt, ezek közül véletlenszerűen húzunk 10–et. Számítsuk ki az
A=Pontosan 3 selejtet húzunk
esemény valószínűségét amennyiben a modell visszatevés nélküli és nem számít a sorrend, illetve, ha a modell visszatevéses és számít a sorrend.
Megoldás.
Visszatevés nélkül, Visszatevéssel, nem számít a sorrend számít a sorrend
P(A)
18. Feladat. A 32 lapos magyar kártyából visszatevés nélkül húzunk 6 lapot. Mennyi a való-színűsége, hogy
(a) pontosan 2 ászt húztunk?
(b) pontosan 3 pirosat, 2 zöldet és 1 makkot húztunk?
(c) legalább 1 ászt húztunk?
(d) legalább 1 pirost vagy legalább 1 ászt húztunk?
Megoldás.
19. Feladat. A 32 lapos magyar kártyából visszatevéssel húzunk 6 lapot. Mennyi a valószínű-sége, hogy
(a) pontosan 2 ászt húztunk?
(b) pontosan 3 pirost, 2 zöldet és 1 makkot húztunk?
(c) legalább 1 ászt húztunk?
(d) legalább 1 pirost vagy legalább 1 ászt húztunk?
Megoldás.
20. Feladat. Egy szakkörön a 9 tanulót, akik között van egy testvérpár, beosztunk egy 4 fős, egy 3 fős és egy 2 fős csoportba.
(a) Hányféleképpen tehetjük ezt meg?
(b) Határozzuk meg az
A =A testvérpár azonos csoportba kerül esemény valószínűségét.
Megoldás.
(a) 9
4
· 5
3
(b) 7
2
· 5
3
+ 7
4
·3 + 7
4 9
4
· 5
3
21. Feladat. A rendelkezésünkre álló csavarok 5%–a selejt. Visszatevéssel addig húzunk a csavarok közül, amíg nem találunk selejtet. Mennyi a valószínűsége, hogy
(a) 8–adikra, (b) i–edikre
húzunk először selejtet?
Megoldás.
(a) 0,957·0,05 (b) 0,95i−1·0,05
22. Feladat. Egy villanykörte várható élettartama 30.000 kapcsolás.
(i) Mennyi az
A=A villanykörte 30.000–nél több kapcsolást bír ki esemény valószínűsége?
(ii) Határozzuk meg azt a legkisebbn értéket, amire a
B =A villanykörte n–nél több kapcsolást bír ki esemény valószínűsége legalább 1
2. Megoldás.
(i)
1− 1 30.000
30.000
(ii) 21
23. Feladat. (de Méré) Az A vagy a B eseménynek nagyobb a valószínűsége?
A=Egy kockával való 4–szeri dobás után lesz legalább egy 6-os dobás.
B =Két kockával való 24–szeri dobás után lesz legalább egy dupla 6-os dobás.
Megoldás. P(A)>P(B).
24. Feladat. Az üzemünk termelésének néhány adatát az alábbi táblázat foglalja össze.
H K Sze Cs P Σ
db 1.000 1.200 1.250 1.200 1.100 5.750
selejtek száma (%) 5 4 2 3 6
A heti össztermékből kiválasztva
(a) egy tetszőleges terméket, mennyi a valószínűsége, hogy kedden gyártották?
(b) egy tetszőleges terméket, mennyi a valószínűsége, hogy selejt?
(c) öt tetszőleges terméket visszatevéssel, mennyi a valószínűsége, hogy ezekből pontosan kettő selejt?
(d) egy selejt terméket, mennyi a valószínűsége, hogy azt szerdán gyártották?
Megoldás.
(a) 1.200 5.750 (b) 225
5.750
(c) 5
2
225 5.750
2
1− 225 5.750
3
(d) 25 225
25. Feladat. A vizsgán lehetségesen szereplő 100 kérdésből a hallgató n–re tudja a választ. A vizsgán ebből a 100–ból két kérdést kap, véletlenszerűen. Tegyük fel, hogy a hallgató megbukik, ha nem tud mind a két kérdésre válaszolni.
(a) Mennyi a valószínűsége, hogy átmegy?
(b) Határozzuk meg azt a legkisebb n értéket, amire a hallgató legalább 0,8 valószínűséggel átmegy.
Megoldás.
(a) n(n−1)
100·99 (b) 90
26. Feladat. Tekintsük az előző feladatban leírt szituációt, azzal a különbséggel, hogy a hall-gató akkor bukik meg, ha egyik kérdésre sem tud válaszolni.
(a) Mennyi a valószínűsége, hogy átmegy?
(b) Határozzuk meg azt a legkisebb n értéket, amire a hallgató legalább 0,8 valószínűséggel átmegy.
Megoldás.
(a) 1−(100−n)(99−n) 100·99
(b) 55
Kvízek
A csoport
Feladat. A Dota2 játékban pontosan 37 strength–es, 37 agility–s és 42 intellect–es hős van.
Random Draft játékmódban ezen hősök közül a gép kisorsol 50–et véletlenszerűen egy random poolba és ebből tudunk választani a játék elején pontosan egy hőst.
(a) Mekkora a valószínűsége, hogy pontosan 20 intellect–es hős van a poolban?
(b) Hány olyan pool van, amiben van agility–s hős?
(c) A három kedvenc hősünk Luna, Meepo és Axe. Mekkora a valószínűsége, hogy mindhár-man ott vannak a poolban?
Astrength–es hősök közül 12–vel, azagility–s hősök közül 14–gyel és azintellect–es hősök közül 26–tal még sosem játszottunk, azokat nem ismerjük.
(d) Mekkora az esélye, hogy apoolban legfeljebb két hős van, amit ismerünk?
B csoport
Feladat. A World of Warcraft játék The Burning Crusade kiegészítőjének egyik raidje Karaz-han volt. Ez egy 10 játékosra, 3 szerepre (2 tank, 3 healer és 5 dps) kialakított kihívás. Egyik este épp 10–en gyűltünk össze, és kitaláltuk, hogy elmegyünk Karazhanba. A 10 játékos között volt 3 druid, 3 warrior, 2 priest, 1 mage, és 1 warlock. A druidok a 3 szerep (tank, healer, dps) bármelyikét képesek betölteni, de egyszerre csak egyet, a warrior nem lehet healer, a priest nem lehet tank, a mage és a warlock csak dps lehet. Hányféle szereposztással mehettünk be Karazhanba?
C csoport
Feladat. Egy gyorsétteremben hamburger, gofri és tzatziki kapható. A tulajdonos egy pénteki napon a rendeléseket összesítve a következőket tapasztalta. Hamburgert 32–en, gofrit 17–en, tzatzikit szintén 32–en rendeltek. Hamburgert és gofrit 9–en, gofrit és tzatzikit 12–en rendeltek.
Pontosan kétféle ételt háromszor annyian rendeltek, mint háromfélét.
(a) Hány olyan megrendelő volt, aki hamburgert rendelt, de tzatzikit nem?
(b) Minden ötödik vásárló kapott egy ajándékkupont. Az utolsó vásárló kapott?
(c) Annak az esélye, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott vásárló evett hamburgert, lehet–e 50%–nál kisebb?
D csoport
Feladat. Az Eldritch Horror című asztali társasjátékban a tesztek kimenetelét kockadobásokkal döntjük el. A karakter adott tulajdonsága (erő, befolyás, tudás, kitartás, észlelés) és a módosítók határozzák meg, hogy hány kockával dobhat egy teszt során. Egy teszt akkor sikeres, ha legalább az egyik kockával sikert, azaz 5–öst vagy 6–ost dobunk.
(a) Mekkora a valószínűsége, hogy Akachi Onyele a 3–es tudásával, módosítók nélkül teljesít egy tudástesztet?
Harci találkozások során egy karakternek erőtesztet kell tennie egy szörny ellen. Ahány sikert dobunk, a szörny annyit veszít életpontjaiból, ha minden életpontját elveszti, akkor legyőzetett.
(b) Mennyi a valószínűsége, hogy a 4–es erejű Mark Harrigannal, akinek a duplacsövű sörétes puskája 4–gyel megnöveli erejét és emellett minden 6–os dobás két sikernek számít, egy harci találkozás során legyőzzük a Dark Young szörnyet, akinek 5 életpontja van és 3–mal csökkenti hősünk erejét?
Kvízek megoldása
A kedvező esetek száma:42 20
74 30
. Tehát a keresett valószínűség
kedvező
(b) Megszámoljuk hány olyan pool van, amiben nincs agility–s hős, és ezt kivonjuk az összes
esetből:
(c) A komplementer esemény (egyik sincs benne) valószínűséget meghatározva
1− hős van, azaz vagy egy sem, vagy pontosan egy, vagy pontosan kettő van apoolban, ezért
64
B csoport
Feladat megoldása. Dps mindenki lehet, így csak a tank és healer szerepeket kell kiosztani.
Tankból csak 2 kell, így előbb ezeket választjuk ki. Csak warrior és druid lehet tank, így a lehetséges esetek:
• Tank: 0 warrior, 2 druid, ami 3
– Ekkor a 3 healer szerepre marad 1 druid 2 priest, azaz éppen 3 karakter, ebből kell 3–at választani, ez
3 3
eset. Ezért ekkor ez összes lehetőség 3
• Tank: 1 warrior, 1 druid, ami 3
– Ekkor a 3 healer szerepre marad 2 druid 2 priest, azaz 4 karakter, ebből kell 3–at választani, ez
4 3
eset. Ezért ekkor ez összes lehetőség 3
• Tank: 2 warrior, 0 druid, ami 3
– Ekkor a 3 healer szerepre marad 3 druid 2 priest, azaz 5 karakter, ebből kell 3–at választani, ez
5 3
eset. Ezért ekkor ez összes lehetőség 3
Tehát ez összesen 3
különböző esetet jelent.
1 pt
2 pt
3 pt
C csoport
Feladat megoldása. A Venn–diagram segítségével a következő egyenleteket kapjuk:
H
G T
a
e
d
c f g
5e−21
44−5e
9−e
e−4 41−5e 12−e
b
1. a+b+d+e = 32 2. d+e+f +g = 17 3. b+c+e+f = 32 4. d+e = 9
5. e+f = 12 6. d+b+f = 3e
Ezért 4. d=9−e
5. f =12−e,és így
6. (9−e) +b+ (12−e) = 3e b=5e−21
1. a+ (5e−21) + 9 = 32 a=44−5e 2. 9 + (12−e) +g = 17
g =e−4
3. (5e−21) +c+ 12 = 32 c=41−5e (a) A diagram alapján
a+d= (44−5e) + (9−e) = 53−6e (b) Összesen
a+b+c+d+e+f+g = (44−5e)+(5e−21)+(41−5e)+(9−e)+e+(12−e)+(e−4) = 81−5e vásárló volt, ami nem osztható 5–tel, tehát az utolsó nem kaphatott ajándékkupont.
(c) Annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott vásárló evett hamburgert kedvező
összes = 32 81−5e. Ez az érték akkor kisebb mint 0,5 ha
32
81−5e < 1
2 17>5e
81−5e
32 >2 17
5 > e 81−5e >64
azaz, ha e ≤ 3. Azonban b = 5e−21 nem lehet negatív, így e ≥ 5. Ezért a vizsgált valószínűség nem lehet 1/2–nél kevesebb.
1 pt
2 pt
3 pt
D csoport
Feladat megoldása.
(a) Összes esetek száma 63.
Rossz esetek (a dobás 1, 2, 3 vagy 4) száma 43.
Így annak a valószínűsége, hogy a dobássorozat sikeres:
1− 43 63 .
(b) Összesen4 + 4−3 = 5 kockával dobunk. Ezért az összes lehetőség száma65.
A kedvező esetek száma a legalább 5 sikert tartalmazó dobások száma. Mivel a 6–os dobások dupla sikernek számítanak, ezért a 6–os dobások száma alapján haladunk.
• 0 db 6–os és 5 db 5–ös
• 2 db 6–os esetén a maradék 3 kockából még legalább 1 darab5–öst kell dobni.
Összese 53 db olyan 3–hosszú dobássorozat van, amiben nincs 6–os, és 43 db olyan amiben nincs 5–ös sem, így 53 −43 olyan 3–hosszú dobássorozat van, amiben van 5–ös, de nincs 6–os. Ezért ekkor
5
le-het(nek), azaz
5 k
·55−k eset adódik.
Tehát a kedvező esetek száma 5 Így a keresett valószínűség
ζ 65 .
1 pt
2 pt
3 pt