IV. EGY PARCIÁLIS ALGEBRÁN ALAPULÓ LOGIKAI NYELV
4. Igazság
(1 ) <p Lj egy igaz mondata a < $ , < iQ, j 0» modellre vonatkozóan akkor és csak akkor, ha
V? 6 Ct és h(v?) = { 0 j,
ahol C szintaktikus kategória család, melyet < A , Fy, Xg, S, t> ^ p generált, és h egy L J -re vonatkozó denotáció hozzárendelés.
(2) p Kj — érvényes az L]-ben akkor és csak akkor, ha p igaz mondat a Kj modell- osztály minden tagjára vonatkozóan.
1.5 Röyidúések
Legyen a e Cat<T e > és ^ 77 e Catt ц
Ü l ' b ;
V a r ] =
13
a ( T 17) ;? A í) ^ n r v - l r j ) ; Г ->r? = 1 r V77 ;
f o T ? =
(7
f V 77 ) Л (1
77 V f ) .2. MÁSODRENDŰ LOGIKA U 2 )
2.1 Típusok
A másodrendű logika típusainak halmaza megegyezik az Lj nyelv típusainak halmazával.
2.2 Szintaxis
Primitiv szimbólumok:
L-) szimbólumainak halmaza tartalmazza az összes Lj-beli szimbólumot, és azonkívül:
Vk < n e e > — megszámlálható sok n argumentumú függvényváltozó jelet;
Vfc <n e t> — megszámlálható sok n argumentumú reláció változó jelet .
Rövidítések
Var7 - az összes r típusú változójel halmaza, ahol r e T s £ t $ ; ConT — az összes r típusú konstans jelek halmaza,
Szintaktikus operációk
Az L j primitiv szimbólumok sorozatain értelmezett J< O n > *^ < l n > '^ 2 '^ 3 '^ 4 °Perációk ugyanazok, mint az Lj nyelvben.
L2 , azaz a másodrendű logika nyelve egy
L2 alapkifejezések halmaza .
rendszer, ahol
(1) A az a legkisebb halmaz , amelyre X e A, és zárt az összes J<O n >" *< l n > ^ 2 ' J3, operációkra nézve minden n természetes számra;
i i ) Г= £ <0,n>, < l,n > , 2, 2, < n , r > : 0<n<co és r e T ^ t ^ J
<T , <n,e,t » kategória a kötött reláció változókat tartalmazza.
(6) S az egy halmaz, amely az összes következő sorozatokat tartalmazza:
n db
minden r e £t j típusra.
(7) R az identitás reláció az A-n.
L j szintaktikailag egyértelmű nyelv.
2.3 Szemanjika
E és I halmazok, valamint a denotációk halmazai ugyanazok, mint az Ц esetében.
J az E-re vonatkozó értékhozzárendelések halmaza, ahol j e J egy olyan függvény, melynek értelmezési tartománya (n, r) rendezett párok halmaza, ahol n természetes szám,
r e T^£ t } típus és valahányszor (n, r) egy ilyen rendezett pár, j ( n, r) e Dr e J ;
n,r ,
j x az egy j függvény, ahol
(1) j (n,r) = X , ahol X 6 DT £ I ;
(2) j (m,a) = j(m ,a) minden (n ,r)-tói különböző (m,o) párra, ahol u e T ^ f t } .
a2 típus hozzárendelő függvény
02 ( r ) = T , ha T e T 02 (< T ,t> ) - т , ha r e T \ [ t } , B a jelentések halmaza ugyanaz, mint esetében.
Az L2 nyelv modelljeinek K-> osztálya:
L-> modelljei
< < B , G^,, f ^ p , < i0, j0> > -ahol a nemüres E, I, J halmazokra
(1) < B ,G v f >
' 7e r egy Fregei interpretáció az L2-re E, I, J -re és 0 2-re vonatkozóan.
i i ) I ugyanolyan, mint Ц esetében: I = £ i0 J ; J az E-re vonatkozó értékhozzá
rendelések halmaza.
(3) A referencia pontot itt is a szokásos < i, j> pár helyett csak j-val fogjuk jelölni.
(4) Valahányszor Cn T e Conr és j , j ’ e J , akkor f{Cn T ) ü ) - f ( C n ^ ) .
J/alahányszor Vn T e Varr , j e J , n természetes szám és r e £ t J f(Vn , r M =j<n’r) e D r,E4 •
(5) A G <q G< | G2, G3 szemantikus operációk j referencia pontnál való kiértékelése hasonló módon történik, mint az Lj -ben.
G<4,r > (a’b) Ü) = n , T
akkor és csak akkor, ha van egy olyan j , hogy
b (j =
ha a eM < T r > E J J b e és r e T s ^ .
2.4 Igazság
igaz mondatának, és K2 érvényes mondatának definíciói az adhatók meg.
nyelvben leírt módon
3. OMEGA REND U LO G IK A (L ы )
Az omega rendű logikát a X-kalkulus segítségével fogjuk felépíteni.
3.1 L œ típusai
típusainak halmaza az a legkisebb T halmaz, amelyre
(1) e, t e T j
(2) ha a, ß e T , akkor < a, ß> e T ; ahol e, t különböző entitások, és egyik sem rendezett pár.
3.2 Szintaxis
primitiv szimbólumai:
[, ], - , \ , Vn t , Cn T minden n természetes számra és r e T típusra.
Xf — függvény absztrakton Vn r — n-edik r típusú változó;
C — n-edik t típusú konstans .
Szintaktikus operációk
Legyenek JQ, Jj, J<2 r> T e T -re azok az operációk, melyek mindegyike két argumentumú.
Ezek a primitiv szimbólumok sorozatain vannak értelmezve:
J 0( f . 4 ) = [fr?] ; J i(r .îî) = [r = rî] , J<2,r > ^ .^ = tXr f *»] •
Rövidítések
VarT ConT Xr
az összes r típusú változójelek halmaza;
az összes r típusú konstans jelek halmaza.
Conr U VarT
Lw , azaz az omega rendű logika nyelve egy
rendszer, ahol
(1) A az a legkisebb halmaz, amely tartalmaz minden Xr те T halmazt, és zárt a JQ, J j , t> °Perációkra nézve;
(2) Г= { 0. 1, < 2 ,r> :r e T J;
(3) Ey -k a J -k megszorítása az A-ra;
(4) Д = T U ( Ш x T) ;
(5) minden r e T -re XT = Conr Varr és X^p r> ■= Varr (6) S egy halmaz, mely az összes következő sorozatokat tartalmazza:
< Fo ’ <Cf. r > . a . r >
< F 1> r. r, t >
<f<2,o> ’ < T « a > » T, <C7,r» i ahol a r e T .»
(7) R az identitás reláció az A-n.
3.3 Szem antika
Az E és I halmazok ugyanazok, mint az Lj és L2 nyelvekben.
Az E, I és г típussal kapcsolatos denotációk halmaza:
és ha a, T e T , akkor
De,E,I = E ;
°t,E ,I = i * * № 1 í
D< a ,r > .E ,l" (Dr,E,l) CT'EJ •
Az E-re vonatkozó érték hozzárendelések J halmaza olyan j függvényeket tartalmaz, hogy r 6 T -re és (n,r) párra
j(n,r) 6 DT Eд .
j n J érték hozzárendelés az L^-ben ismertetett módon definiált.
jelentések halmaza; a
В - L / M г I I теТ T'E '1'J típus hozzárendelő függvény:
° J T)
— nyelv modelljeinek KGJ osztálya
modelljei:
< B »Gr l > e r < i0J 0» • ahol a nemüres E, 1, J halmazokra
(1) <B.G,y, f > e p egy Fregei interpretáció az Lw -га. E, I.J -r e é s -ra vonatkozóan;
(2) J az E-re vonatkozó érték hozzárendelések halmaza ;
(3) A referencia pontot itt is a szokásos < i, j> pár helyett csak j-vel fogjuk jelölni;
(4) Valahányszor Cn T e ConT és j , j ' e J , akkor f (Cn r )(j) = f(Cn r)(j) ; valahányszor V n T e VarT j e J , 0<n<co és r e T ,
f(V n,r) = e Dr,E,I ; (5) Minden a . b e B , j e J , a, r e T , 0<n<co esetén
G0(a.b)(j) = a(j)(b(j)) .
ha a e M < a r > E I J és b e M ^ ; (a,b) (j) = l 0 l akkor és csak akkor, ha a(j) = b(j) ;
G<' 2 i7->(a’b)(j)
az egy p függvény a DT £ I 'n úgy> Ь°8У minden x e Dr,E,I "re P (x) = b (jx ) .n,r
Megjegyzés:
Legyen < fi) <10 , ] 0» е К ш mint fent.
Legyen g egy jelentés hozzárendelés az L^-ra;
h egy denotáció hozzárendelés az L^-ra.
Ekkor:
(1) Ha f e C o n T , akkor h(f) e D ^ j és g(f)(j) = g(f)(j’) minden j , j ’ e J -re;
(2) Ha f 6 VarT , akkor h(f) e Dt E j ;
(3) Ha f e C a b T> i és f e Cat , , akkor h([f 17]) = h(f)(h(i?)) ;
(4) Ha f , 77 e Cat7 L , akkor h([f=T7]) = [ 0] , akkor és csak akkor, ha h(J) = h(i7) ; (5) Ha f 6 Catr L , akkor h(Xa V n ff f) az egy p függvény a -n úgy, hogy
’ n,o
minden x e DQ E j -re p(x)=g(M (jx ) .
Rövidítések:
x e ^ Var ; у ф e Catf , ; о г те T ;
re T 7 l ’L'co
V x i / ) = [ À x ^ = À x [ x = x ] ] ; 1 * = [ * = Y ß ß ] , ahol ß = V0it ;
' P W = Y ß [ * = [ [ ß v ] = [ ß m , ahol ß = VQ < t t> ;
V + Ф =
7 (<M 1 I
p ) ;‘PV \£/ ; 3 x (£ = l Vx"Ji / ? .
3.4 Igazság
L œ igaz mondatai és Кш érvényes mondatai ugyanúgy definiálhatók, mint az Lj nyelvben.
IV. EGY PARCIÁLIS ALGEBRÁN ALAPULÓ LOGIKAI NYELV
A programozási nyelvek általában rendelkeznek azzal a sajátossággal, hogy az operátorok nem mindenütt vannak értelmezve. Ezért ha matematikai logikai eszközökkel akarjuk a prog
ramozási nyelvek szemantikáját leírni, akkor a parciális függvényeket is kezelni tudó logikára lenne szükség.
Ilyen parciális algebrákon alapuló logikával foglalkozik Németi I. a ’Parciális algebrák és absztrakt modellelmélet” cimü tanulmányában [3]. Az itt közölt parciális algebrákon alapuló logikai nyelv egy fragmentumát fogjuk az univerzális grammatika eszközeivel megadni.
A logikai nyelv megadása előtt két új fogalom definiálása szükséges:
Egy n-argumentumú parciális függvény az A-n egy olyan ф leképzés, hogy ( 3 H £ A n) 0 : H —> A,
ahol A egy tetszőleges nemüres halmaz.
Egy parciális algebra az egy <A»0-y>,ep rendszer, ahol A egy nem üres halmaz, Г tet
szőleges halmaz, és minden уеГ -га ф^ egy parciális függvény az A-n.
Egy parciális algebrákon alapuló logikai nyelv jele: Lp
1. A Z Lp TÍPUSAI
T = £e;t < n ,e,e> : (Kn<co J , ahol
e — létező dolgok, vagy entitások típusa;
t — igazságértékek típusa;
< n,e,e> — n-argumentumú parciális függvények típusa;
e,t — különböző halmazok, egyik sem rendezett pár.
2. S Z IN T A X IS
Az Lp nyelv alapkifejezéseinek halmaza
X = Var U Con U PFn U H Í
h (т) = 31 г :
J5 operációkra nézve minden 0<n<co-ra;
(2) Г = { <0,n> , 1,2, 3, 4, 5, : 0<п<со J :
(7) R az identitás reláció az A-n .
Ezek a kikötések az I.fejezetben lévő egyértelműsített nyelv definíciója értelmében definiálnak egy egyértelműsített nyelvet.
Lp szintaktikailag egyértelmű nyelv.
2.5 Megjegyzés
(1) Con UVar£= Cat„ ■ e, Lp ;
(2) Ha f e C a t ^ r , - « ^ i Ч 1 1 , С , С / , J ^ p és. 771 : e Cat„ c , L p1 minden 0<i<n-ra, akkor
f (T?l...^17) e Cate, Lp i (3) Ha T .o e Cat„ . , akkor
e’ Lp
т = о e Catf 1 ; (4) На те Cat„ e , L p1 , akkor
31 r e Catt . ; ii Lp (5) Ha f, p e Catt 1 , akkor
Lp
f V P e Catt L ; Lp (6) Ha f e Catt 1 , akkor
’ p
"I f e Catt L ; ч Lp
(7) Ha tje C a t^ j e > ^ és f e Catt ^ , akkor 3 г? t e Catt L
b Lr>
3. SZEM ANTIKA
Legyen E az entitások halmaza.
Legyen I a lehetséges világok halmaza egyelemű.
1 = Ы •
jelentések halmaza ugyanolyan módon definiált.
Az Lp nyelv modelljeinek Kp osztálya
Lp modelljei:
f( c n,e)(j) = f(c n,e)(j’) i
ha Vn e e Var j e J , és n természetes szám, f(Vn,eKÍ) =j(n,e) e E.
(5) Szemantikus operációk
(a) Ha a e M < n e e > j és bj, bn e Me E I J , akkor
G<0,n > (a’ b l» • • • * bn№) = a(j)(b1(j), . . . , bn (j)) ; (b) Ha a, b e Mg £ j j , akkor
G1(a,b)ü)= [ 0 1
akkor és csak akkor, ha a(j) és b(j) létezik és a(j) = b(j) ;
(c) Ha a e Mg £ j j , akkor
G2(a)(j) = [ t f } akkor és csak akkor, ha a(j) létezik ; (d) Ha a, b e Mt £ j j , akkor
G3(a,b)(j) = [ £ f j
akkor és csak akkor, ha vagy a(j) = [ 0 j , vagy b(j) = [ 0 j ; (e) Ha a e Mj £ j j , akkor
G4(a)(j) = Щ akkor és csak akkor, ha a(j)=J0f ;
(f) Ha a e Mg £ j j és b e Mt £ j j , akkor Gs (a,b)(j) = {t i \
akkor és csak akkor, ha van egy olyan jx n,e és x e De £ j , hogy
b ( £ V W .
4. IG AZSÁG
Lp igaz mondatai és Кp érvényes mondatai ugyanúgy definiálhatók, mint az Lj nyelvben.
IRODALOMJEGYZÉK
[1 ] R. Montague: Universal Grammar. Theoria 36:373—98 ( 1970)
[2] R. Montague: The Proper Treatment o f Quantification in Ordinary English Approaches to Natural Language: Proceeding of the 1970 Stanford Workshop on Grammar and Semantics (1973)
[3] Németi L: Parciális algebrák és absztrakt modellelmélet ( 1976)
[4] H.Andreka, T.Gergely, I.Németi: Easily comprehensible mathematical logic and its model theory (1975)
[5] H.Andreka, T.Gergely, LNémeti: On Universal algebraic construction o f logics.
Studia Logica. 1977
Ugyanez megjelent még: BANACH Center for Math. 1973.
Logis Semster’73
[6] J.A.Goguen, J.B.Thatcher, E.G.Wagner, J.B.Wright: Some Fundamentals of Order--Algebraic Semantics (June 1976) UCLA
[7] J.A.Goguen: Initial Algebra Semantics and Continuous Algebras (1977) JACH
[8] G.Frege: Uber Sinn und Bedeutung. Zeitschrift fur Philosophie und philosophische Kritik 100:25-50(1982)
[9] S-A.Kripke: Semantical analysis o f modal logic. LNormal modal propositional calculi, ZMLGM9. (1963)
[10] P.J.Hayes: Logic o f actions, Machine Intelligence N .6. N.Y. (1971)
[11] J.A.Makowski: On the axiomatic theory of modeltheoretic languages Logic Semester’73 BANACH Center for Math. (1973)
[ 12] P.M.Cohn: Universal Algebra (1975)
[13] Z.Markusz, M.Szöts: On semantics o f programming languages defined by universal algebraic tools
Mathematical Logic in Computer Science, Salgótarján, Hungary (1978)
1 3 0 / 1 982 B a r a b á s M i k l ó s - T ő k é s S z a b o l c s : A l é z e r p r i n t e r k é p a l k o t á s h i b á i é s o p t i k a i k o r r e k c i ó j u k
1 3 1 / 1 9 8 2 R G -I I/ KN V VT " S z i s z t e m ü u p r a v l e n i j a b a z a n i d a n n ü h i.
i n f o r m a c i o n r . ü e s z i s z t e m ü " S z b o r n i k n a u c s n o - i s z s z l e - d o v a t e l ' s z k i h r a b o t r a b o c s e j g r u p p ü R G - I I K N W T , B p . 1 9 7 9 . T o m I .
1 3 2 / 1982 R G - I I / KN WT T o m I I . 1 3 3 / 1 9 8 2 R G - I I KNWT T o m I I I .
1 3 4 / 1 9 8 2 K n u t h E l ő d - R ó n y a i L a j o s : Az SDLA/SLT a d a t b á z i s l e k é r d e z ő n y e l v a l a p j a i / o r o s z n y e l v e n /
1 3 5 / 1 9 8 2 N é h á n y f e l a d a t a t e r v e z é s - a u t o m a t i z á l á s t e r ü l e t é r ő l Ö r m é n y - m a g y a r k ö z ö s c i k k g y ű j t e m é n y
136 / 1982 S o m l ó J á n o s : F o r g á c s o l ó m e g m u n k á l á s o k f o l y a m a t a i n a k o p t i m á l á s i é s i r á n y í t á s i p r o b l é m á i
1 3 7 / 1 9 8 2 KGST 1 - 1 5 . 1 . S z a k b i z o t t s á g 1 9 7 9 . é s 8 0 . é v i e l ő a d á s a i
1 3 8 / 1 9 8 2 K o v á c s L á s z l ó : S z á m i t ó g é p - h á l ó z a t i p r o t o k o l l o k f o r m á l i s s p e c i f i k á l á s a é s v e r i f i k á l á s a
1 3 9 / 1 9 8 2 O p e r á c i ó s r e n d s z e r e k e l m é l e t e 7 . v i s e g r á d i t é l i i s k o l a
1 4 0 / 1 9 8 3
1 4 1 / 1 9 8 3
1 4 2 / 1 9 8 3
O p e r a t i o n R e s e a r c h S o f t w a r e D e s c r i p t i o n s ( V o l . l . ) S z e r k e s z t e t t e : P r é k o p a A n d r á s é s K é r i G e r z s o n Ngo The K h a n h : P r e f i x - m e n t e s n y e l v e k é s e g y s z e r ű d e t e r m i n i s z t i k u s g é p e k
P i k i e r G y u l a : D i a l ó g u s s a l v e z é r e l t i n t e r a k t i v g é p é s z e t i CAD r e n d s z e r e k e l m é i . é t i é s g y a k o r l a t i m e g f o g a l m a z á s a