Kevert stratégiák, minimax tétel

Ezt a következ˝oképpen önthetjük mátrixjáték formába. Holmes a sorjátékos, a döntése Dover (D-vel jelölt) sor, vagy Canterbury (C-vel jelölt sor). Moriarty oszlopjátékos, ugyan-ezen stratégiákkal. Nem nyilvánvaló viszont, mik legyenek a kifizetési mátrix elemei. Az egyszer˝uség kedvéért tegyük fel, hogy Holmesnak életben maradni éppen annyit ér, mint Moriartynak holtan látni ˝ot. (Kés˝obb láthatjuk majd, hogy jóval általánosabb értékek esetén is nagyjából hasonló a helyzet.)

A megoldás a véletlen lehet, már amennyiben elhisszük, hogy még Moriarty sem ké-pes hatékonyan megjósolni, melyik oldalára esik egy feldobott érme. Ha Holmes Dovert és Canterburyt egyaránt 1/2−1/2 eséllyel választja, akkor Moriarty bármely, ett˝ol független választása esetén nulla lesz a várható kifizetése. Másrészt Moriarty is dobhat érmét, és ezzel elérheti, hogy Holmes kifizetése legfeljebb nulla. Mivel ezek egybeesnek, a 1/2−1/2 való-szín˝uség˝u véletlen választásnál jobb stratégia nem is adható. Vegyük észre, hogy ez hasonló gondolatmenet, mint amit a nyeregpontnál alkalmaztunk, csak a stratégiák mások, megen-gedjük a tiszta stratégiákkeverését.

8.3. Kevert stratégiák, minimax tétel

Általában tegyük fel, hogy a sorjátékos egyx= (x₁, . . . ,x_m)vektor segítségével, míg az osz-lopjátékos egyy= (y₁, . . . ,y_n)vektorral választja meg a játékát, azaz a sorjátékosx_i valószí-n˝uséggel választja meg azi-edik sort, míg az oszlopjátékosy_j-vel a j-edik oszlopot. Ekkor a sorjátékos várható nyereménye:

Definíció: Egy vektort sztochasztikusnak nevezzünk, ha a komponensei nem negatívak és összegük egy. Egy sztochasztikus vektor által definiált stratégiát (azaz fordulóról fordulóra független választást a komponensek, mint valószín˝uségek szerint) hívunkkevert stratégiának.

Speciálisan a tiszta stratégiák olyan kevert stratégiák, ahol a vektor egyik komponense egy, az összes többi pedig nulla.

Az el˝oz˝oekhez hasonlóan látható, hogy egyxkevert stratégiát választva a sorjátékos vár-ható nyereménye legalább min_yxAy, aholysztochasztikus vektor. A sorjátékos természetesen egy olyan x^∗ sztochasztikus vektort igyekszik találni, melyre az el˝oz˝o érték a lehet˝o legna-gyobb. Hasonlóan egy y kevert stratégia mellett az oszlopjátékos garantáltan nem veszít

c Pluhár András, SZTE c www.tankonyvtar.hu

36 8. FEJEZET. MÁTRIXJÁTÉKOK

többet átlagosan, mint max_xxAy, aholxsztochasztikus vektor, célja pedig ezen érték minima-lizálása. A két érték jelentéséb˝ol nyilvánvaló, hogy

miny xAy≤max

x xAy

Sokkal meglep˝obb, hogy az egyenl˝oség általában is elérhet˝o, azaz vannak olyanx^∗, y^∗ szto-chasztikus vektorok, melyekre

miny x^∗Ay=max

x xAy^∗.

Ez az egyenl˝oség az ún.minimax tétel.¹ x^∗ és y^∗ rendre a sor és az oszlopjátékos optimális stratégiája, hisz az általuk garantáltnál jobb eredmény nem érhet˝o el. Az állítás formája emlékeztethet bennünket a dualitásra, és valóban, igazából ekvivalensek, bár ez távolról sem nyilvánvaló.

20. Tétel. (minimax) Minden m×n-es A mátrixra van olyan x^∗m-dimenziós sztochasztikus sorvektor és olyan y^∗n-dimenziós sztochasztikus oszlopvektor, melyekre

miny x^∗Ay=max

x xAy^∗,

ahol a minimumot az összes n-dimenziós sztochasztikus oszlopvektoron, míg a maximumot az összes m-dimenziós sztochasztikus sorvektoron vesszük.

Bizonyítás: Az els˝o észrevétel, hogy min_yxAy=min_j∑^m_i=1a_{i j}x_i.² Ez azt jelenti, hogy a sorjátékos egyx kevert stratégiájára van az oszlopjátékosnak olyantisztastratégiája, amely optimális számára. Ezt a következ˝oképp láthatjuk be: Legyen t =minj∑^m_i=1a_{i j}x_i. Ha y

így persze a min_yxAy≥t is igaz. Másrészt mivel azok azyvektorok, amelyeknek egy kom-ponense egy, a többi nulla, sztochasztikus vektorok is egyben, így

miny xAy≤

A fenti észrevétel nagyban egyszer˝usíti a dolgunkat, mert a sorjátékos optimális straté-giájának meghatározásánál csak az oszlopjátékos tiszta stratégiáit kell figyelembe vennünk.

1Másképpen max_xmin_yxAy=min_ymax_xxAy, aholx,ysztochasztikus vektorok.

2Az el˝o tisztán algebrai bizonyítást a minimax tételre Loomis adta. Az itt közölt bizonyítás Gale, Kuhn és Tucker eredménye, melyben Loomis elgondolásait és azer˝os dualitás tételtötvözik.

8.3. KEVERT STRATÉGIÁK, MINIMAX TÉTEL 37

A következ˝o fontos lépés annak felismerése, hogy bár ez a probléma nem lineáris programo-zási feladat, röviden LP, de ekvivalens egy ilyen feladattal.

max z Analóg módon, az oszlopjátékos optimális stratégiáját leíró

min max

LP feladattal. Vegyük észre, hogy a (∗∗) és (∗ ∗ ∗) egymás duálisai, és mindkett˝onek van lehetséges megoldása. Így az er˝os dualitási tétel szerint a (∗∗)-nak van egy z^∗, x^∗₁, . . . ,x^∗_m optimális megoldása, a (∗ ∗ ∗)-nak van egy w^∗, y^∗₁, . . . ,y^∗_n optimális megoldása úgy, hogy z^∗=w^∗. Mivelz^∗=min_yx^∗Ay,w^∗=max_xxAy^∗, a tételt beláttuk.

Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a minimax tétel bizonyítása egyben algoritmust is ad az optimális stratégiák kiszámolására. (Neumann eredeti bizonyítása a Brouwer-fixponttételt

c Pluhár András, SZTE c www.tankonyvtar.hu

38 8. FEJEZET. MÁTRIXJÁTÉKOK

használta, így az nem konstruktív.) Borel 3×3-as és 5×5-ös mátrixokra belátta a minimax tételt, de nem tudta túltenni magát azon a paradox jelenségen, hogy a játékosnaknem szár-mazik el˝onye abból, ha a kevert stratégiáját titokban tartja. (És persze hátránya sem abból, ha ezt közli.) Valószín˝uleg ez a tényleg meglep˝o eredmény gátolta meg abban, hogy bizonyítsa a tételt általánosan is.

A közös v=z^∗=w^∗ érték az A mátrixjáték értéke.³ Az A mátrixjáték igazságos, ha v=0, ésszimmetrikus, haa_{i j} =−a_{i j}.

Vegyük észre, hogy a szimmetrikus játék esetén maga az Amátrixferdén szimmetrikus, azazA^T =−A. Továbbáa_i,i=0 mindeni-re.

21. Következmény. Egy ferdén szimmetrikus mátrixjáték igazságos. Ha az x optimális stra-tégiája a sorjátékosnak, akkor az x^T egy optimális stratégiája az oszlopjátékosnak.

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy a játék szimmetrikus. A 20. tétel szerint létezik x^∗ vektor, amely optimális stratégiája a sorjátékosnak. Válassza az oszlopjátékos azx^∗vektor transzpo-náltját. Ezzel a sorjátékos várható kifizetése

x^∗Ax^∗T =

azaz a sorjátékos maximális kifizetése nem lehet nullánál nagyobb. Ha az oszlopjátékos egy optimális y^∗ stratégiáját vesszük, teljesen hasonlóan adódik, hogy a sorjátékos az y^∗ transzponáltját használva elérheti, hogy ne fizessen rá a játékra. A20. tételb˝ol tudjuk, hogy a játéknak van valamilyenvértéke. Mivel egyik félnek sem lehet pozitív várható nyereménye,

avcsak nulla lehet.