Az emberi (pl. szennyezés) tevékenységek hatásának detektálása és a környezet változá-sának (pl. klímaváltozás) megfigyelése fontos részét képezik a bioszféra mint összetett rendszer elemzésének. Feltesszük, hogy egy abiotikus változás a populáció-rendszer para-métereire gyakorol valamilyen hatást, ekkor egyidejűleg akarjuk becsülni a folyamatot és a paraméterek változását, megfigyelve bizonyos indikátorpopulációk denzitását. A prob-léma megoldásának fontos része a megfigyelhetőség, amely ebben a kontextusban azt jelenti, hogy egy vagy több (de nem az összes) állapotváltozó megfigyeléséből az egész populáció-rendszer állapotfolyamata elvben egyértelműen visszanyerhető (anélkül hogy konstruktív módszert adnánk a folyamat meghatározására). Amint egy létező egyensúly körüli lokális megfigyelhetőség igazolást nyer, szükség van az állapotfolyamat becslésé-nek konstruktív módszerére, e célból pedig egy segédrendszert, ún. megfigyelőrendszert alkalmazhatunk. Ezt a megfigyelt adatokból állíthatjuk össze, és a teljes állapotfolyamat-hoz exponenciális sebességgel konvergáló becslést ad. Ekkor, ha emberi tevékenységből származó környezeti zavar (pl. szennyezés) jelentkezik a rendszerben, ez megváltoztat-hatja a populáció-rendszer modelljének paramétereit, amit e paraméterekhez hozzáadott ismeretlen (konstans vagy időtől függő) paraméterek segítségével fejezhetünk ki.
Két esetet különböztethetünk meg, az első esetben bizonyos biológiai paraméterek kapcsán (ismeretlen) additív konstansok jelenlétét feltételezzük, és megfigyelésekből be-csüljük mind az ismeretlen paramétereket, mind a populáció-rendszer megoldását. A második esetben bizonyos biológiai paraméterek ismert dinamika szerint változnak, ame-lyet egy kiegészítő, ún. exorendszer ír le.
A következőekben ezt a két esetet tekintem át egy megfigyelőrendszer kialakításán és numerikus példán keresztül. Ha a fenti folyamatbecslési eljárást a populációdinamikát és exorendszert egyaránt tartalmazó összetett rendszerre alkalmazzuk, akkor nemcsak az állapotváltozók, de az abiotikus zavarokat jelző ismeretlen konstansok aszimptotikus becslésére is módszert adunk.
7.1.1. Megfigyelő konstruálása egy rendszerben bekövetkező ismeretlen kör-nyezeti változás esetén
A modell feltételezése szerint az adott ökoszisztémában egyrészt az adott élőhelyen több, egymással kölcsönhatásban levő populáció van jelen, másrészt egy abiotikus (nem bioló-giai jellegű) környezet.
Ez utóbbi klímabeli változásoknak (pl. évszakok) és/vagy emberi hatásoknak (mint pl. szennyezések) van kitéve, amelyek bizonyos rendszerparaméterek megváltozásában nyilvánulnak meg. A ragadozó-préda modellek esetében feltesszük, hogy az abiotikus paraméterek referenciaértéke ismeretlen (konstans) értékre változik. A változás hatá-sát egy kis additív értékkel (zavarral) írjuk le bizonyos modellparaméterekben, amelyet w ∈ R -rel jelölünk. A következő példa azt illusztrálja, hogy a rendszer részleges meg-figyeléséből hogyan nyerhetjük vissza a teljes populáció-rendszer állapotfolyamatát és becsülhetjük az ismeretlen zavarokat a vonatkozó megfigyelői rendszer konstruálásával és megoldásával. Az első esetben mindegyik Malthus-i paraméterben, míg a második esetben a kölcsönhatási paraméterekben engedünk meg abiotikus zavaró hatást.
Tekintsük az alábbi populáció-rendszert, melyet egy w-re vonatkozó triviális egyen-lettel egészítettünk ki:
˙
x1 =x1(a1+c1w−b11x1−b12x2)
˙
x2 =x2(a2+c2w+b21x1−b22x2+b23x3)
˙
x3 =x3(a3+c3w−b32x2−b33x3)
˙ w= 0
(7.1.1.1)
ahol ai, bij, ci >0minden i, j = 1, 2, 3esetén.
Világos, hogy ha x∗ >0 az eredeti (w= 0 melletti) rendszer aszimptotikusan stabil egyensúlya, akkor az(x∗,0) a fenti rendszer egyensúlyát szolgáltatja.
A (7.1.1.1) rendszer mindkét (x, w) komponensének, vagyis az állapotfolyamat és az ismeretlen paraméter becsléséhez feltesszük, hogy a két zsákmányfaj denzitását figyeljük meg:
y=h(x) = (x1−x∗1, x3−x∗3).
Ekkor a h megfigyelési függvény és a (7.1.1.1) rendszer egyensúlybeli linearizációja:
C=
( 1 0 0 0 0 0 1 0
)
, A=
−b11x∗1 −b12x∗1 0 c1x∗1 b21x∗2 −b22x∗2 b23x∗2 c2x∗2 0 −b32x∗3 −b33x∗3 c3x∗3
0 0 0 0
. (7.1.1.2)
Egyszerűen adódik, hogy rang[C|CA|CA2|CA3]T = 4. Ekkor a rendszer lokálisan megfi-gyelhető az egyensúly környezetében, és egy megfelelő megfigyelő rendszer konstruálható.
Egy példán keresztül vizsgálható az az eset is, amikor valamilyen környezeti hatás lép fel minden fajközi kölcsönhatási paraméterben. Ekkor a rendszer a következő alakot ölti:
˙
x1 =x1(a1−b11x1 −(b12+c12w)x2)
˙
x2 =x2(a2+ (b21+c21w)x1−b22x2 + (b23+c23w)x3)
˙
x3 =x3(a3−(b32+c32w)x2−b33x3)
˙ w = 0
(7.1.1.3)
ahol ai, bij, cij >0 minden i, j = 1, 2, 3. esetén.
Ahogy az előző esetben is, itt is x∗ > 0 esetén (x∗,0) a rendszer egyensúlya lesz.
Ismét a két zsákmánypopulációt megfigyelve adódik
y=h(x) = (x1−x∗1, x3−x∗3).
Ekkor a linearizációból adódó C =
( 1 0 0 0 0 0 1 0
) ,
A=
−b11x∗1 −(b12+c12w)x∗1 0 −c12x∗1x∗2 (b21+c21w)x∗2 −b22x∗2 (b23+c23w)x∗2 c21x∗1x∗2+c23x∗2x∗3
0 −(b32+c32w)x∗3 −b33x∗3 −c32x∗2x∗3
0 0 0 0
(7.1.1.4) mátrixokból ismét azt kapjuk, hogy rang[C|CA|CA2|CA3]T = 4. Felhasználva Lee és Markus eredményeit, adódik a megfigyelhetőség, és egy megfelelő megfigyelő rendszer ismét megkonstruálható [56].
7.1.2. Megfigyelő exorendszerrel leírt környezeti változások esetén
Ebben a szakaszban egy olyan populáció-rendszerhez tervezünk megfigyelőt, ahol fel-tesszük, hogy az abiotikus környezetben folyamatos változás van valamilyen dinamikus törvényszerűség szerint, amelyik érinti a populáció-rendszer bizonyos paramétereit.
Az abiotikus folyamat lehet például egy ipari üzemből származó szennyezés, egy sze-zonális hőmérsékletingadozás, vagy globális éghajlatváltozásból származó monoton nö-vekvő hőmérsékleti trend.
A következő példában az egyes eltérő dinamikákat eltérő differenciálegyenletekkel írjuk le. A helyzetet egy összetett megfigyelési rendszer írhatja le, amely az abiotikus rendszert egy exorendszerként ábrázolja.
Feltehető, hogy α és δ ismert pozitív konstansok, és a külső rendszer
˙
w1 =αw2
˙
w2 =−δw1 (7.1.2.1)
alakú. Ez olyan periodikus változást ír le, amely a zsákmány és ragadozó közötti inter-akció együtthatóit az alábbiak szerint befolyásolja:
˙
x1 =x1(a1−b11x1−(b12+c12w1)x2)
˙
x2 =x2(−a2+ (b21+c21w1)x1 −b22x2+ (b23+c23w1)x3)
˙
x3 =x3(a3−(b32+c32w1)x2−b33x3)
˙
w1 =αw2
˙
w2 =−δw1,
(7.1.2.2)
ahol az összes paraméter pozitív. Legyen továbbra isx∗ >0a rendszer aszimptotikusan stabil egyensúlyi pontja. Mivel a nulla stabil egyensúlyi pontja a (7.1.2.1) rendszernek,
ezért (ld. pl. Isidori, 1995) az (x∗,0) a (7.1.2.2) stabil egyensúlya. Ezzel az észrevétellel azy=h(x) = (x1−x∗1, x3−x∗3)az előző példákhoz hasonlóan és Sundarapandian (2002) 8. tételét felhasználva a rendszer megfigyelőjét konstruálhatjuk.
Tegyük fel most, hogy a zsákmánypopuláció reprodukciós rátája és a ragadozók kiha-lási rátája a hőmérséklettel növekedő. Az ilyen abiotikus hatást leíró, összetett rendszer az alábbi lehet:
˙
x1 =x1(a1+c1w−b11x1−b12x2)
˙
x2 =x2(−a2−c2w+b21x1−b22x2+b23x3)
˙
x3 =x3(a3+c3w−b32x2−b33x3)
˙
w =α(1−δw),
(7.1.2.3)
ahol az összes paraméter pozitív.
Mivel w∗ := 1/δ aszimptotikusan stabil egyensúlya a w˙ =α(1−δw) egyenletnek, az (x∗, w∗) egyensúly Ljapunov-stabil lesz a (7.1.2.3) rendszerre nézve. Így az y =h(x) = (x1−x∗1, x3−x∗3) megfigyelés esetén megfelelő megfigyelőt tudunk konstruálni.
A fenti eredmények az ökoszisztémák monitorozási módszertanának továbbfejlesztését adták környezeti változás esetén. Az alkalmazott módszertan nem csak a populáció álla-potfolyamatának becslésére szorítkozik, vagy rendszermodell konstansaiban (belső növe-kedési rátában vagy predációs rátában) bekövetkezett változások detektálására alkalmas, hanem lehetővé teszi adott abiotikus tényezőkben bekövetkező folytonos változások (pl.
ipari szennyezés, klímaváltozás) biológiai hatásának vizsgálatát.
A populáció-rendszer ismeretlen megoldásának megkeresése egyértelműen ekvivalens a vizsgálati időtartam kezdeti értékére vonatkozó információ birtoklásával, ezért a meg-figyelő kezdeti értékét tetszőlegesen, de az egyensúlyhoz közel választjuk.
A fenti megközelítés természetesen kiterjeszthető a bemutatott egyszerű ökoszisztéma-modellen túl komplexebb modellekre, így nem Lotka-Volterra típusú modellekre is, ilyen pl. az erőforrás – termelő – elsődleges fogyasztó rendszer, ld.
Shamandy (2005).
Valós gyakorlati alkalmazás során a modell diszkrét idejű kiterjesztése is szükséges lehet, például diszkrétidejű nemlineáris megfigyelő tervezésére ld. pl. Sundarapandian (2005).