J ELLEMZŐK ÉS JELEK

A rendszerekben lejátszódó folyamatok mérhető mennyiségeit fizikai mennyiségeknek nevezzük, melyek nem csak fizikai, hanem kémiai, biológiai, technikai vagy gazdasági folyamatokat is jellemezhetnek. A további vizsgálataink során nem foglalkozunk a mennyiség valódi, csak annak absztrakt (matematikai) tartalmával. Egy változó valamely fizikai mennyiségnek egy alkalmas mértékegységben kifejezett számértékét jelenti. Egy változó egy fizikai mennyiség matematikai leírása.

A tulajdonságot kifejező jellemzők általában egyértékűek, idetartoznak a különböző geometriai adatok, valamint az anyagjellemzők, úgy, mint például a viszkozitás, villamos vezetőképesség vagy a fajhő [29].

Fizikai állapoton az anyagi rendszer sajátosságainak – fizikai jellemzőinek – összességét értjük. Két elemi rendszer fizikai állapota azonos, ha a megfelelő fizikai jellemzőik értéke az adott időpillanatban páronként egymással megegyeznek.

A fenti definíció alapján kijelenthető, hogy az ilyen fizikai jellemzők értékei csakis attól az állapottól függenek, amelyben a vizsgált időpontban az elemi rendszer található, és független attól a folyamattól, amelyen keresztül az elemi rendszer az adott állapotba jutott. Ezért a fizikai jellemzőket állapotjelzőknek is nevezhetjük [18].

Egy rendszer valamely fizikai jellemzője extenzív, ha értékét az elemi rendszerben mérhető értékek összességeként kapjuk meg. Például az aerodinamikai vizsgálatoknál alkalmazott extenzív jellemzők például a tömeg, a térfogat vagy a mozgásmennyiség.

Intenzívnek tekintjük a fizikai jellemzőt, ha az nem rendelkezik az elemi rendszerek szerinti összegezhetőség tulajdonságával. Intenzív fizikai jellemző például a nyomás és a hőmérséklet.

Egy extenzív jellemző térfogategységre vonatkoztatott értékét az adott extenzív mennyiség sűrűségének nevezzük. Ilyen például a tömegsűrűség (jele: ρ), melyet egyszerűen „csak” sűrűségnek szokás nevezni. Az egyéb extenzív jellemző térfogategységre vonatkoztatott értéke esetén a „sűrűség” szó elé oda kell írni az illető extenzív jellemzőt is – például: „energiasűrűség”.

Egy extenzív jellemző tömegegységre vonatkoztatott értékét a kérdéses extenzív jellemző fajlagos értékének nevezzük. Ilyen jellemző például a „fajlagos térfogat” – vagy egyszerűen „fajtérfogat” –, ami nem más, mint az egységnyi tömegű anyag térfogata. A korábban alkalmazott műszaki mértékegységrendszerben a fajlagos értékeket a tömegegység helyett súlyegységre vonatkoztatták.

Az extenzív jellemzők sűrűségei és fajlagos értékei már egyértelműen intenzív mennyiségek. A kettő közti kapcsolatról pedig kimondhatjuk, hogy egy extenzív mennyiség sűrűsége az adott mennyiség fajlagos értékének és a rendszer (tömeg)sűrűségének szorzataként határozható meg [18].

A fizikai jellemzők – az esetleges különleges tartományoktól eltekintve – a térben folytonosan oszlanak meg. Az ilyen térbeli megoszlásokat gyűjtőnéven fizikai tereknek nevezzük. A fizikai jellemzők részben skaláris (például nyomás) részben vektoriális (például gyorsulás) jellegűek. Ennek megfelelően, mint már azt matematikából tudott,

beszélhetünk skalár-, és vektorterekről. A fizikai terek általában az időben is változnak, ezért általános formában matematikailag az

  

^{; f x;y;z;}



f

f  r  (1.1)

alakban írható fel, ahol f skalár-, vagy vektormennyiséget is jelölhet.

Homogén a fizikai tér, ha az adott f jellemző térbeli megoszlása egyenletes, azaz az (1.1) egyenlet az

   

 f f

f  r;  (1.2)

alakot veszi fel. Ha az f fizikai jellemző megoszlása térben változik, akkor inhomogén.

Stacionárius vagy stacioner fizikai térről akkor beszélünk, ha az f jellemző térbeli megoszlása időben nem változik, azaz

    

^{f f x y z}



f

f  r;  r  ; ; . (1.3)

Az f jellemző időbeni változása esetén instacioner a fizikai tér. Kvázistacioner fizikai térről akkor beszélünk, ha az f jellemző időben változik, de ezt a változást – relatív nagysága miatt – elhanyagolhatjuk.

A skalártereket szintfelületekkel (szintvonalakkal) jellemezzük, amelyek a tér azon pontjainak halmaza, amelyekben az f fizikai változó értéke azonos (például az izobárok az állandó nyomású pontokat magukban foglaló felületek vagy görbék).

A skalárterek hely szerinti változásának jellemzésére egy vektormennyiséget, a gradiens vektort használjuk, amelynek x; y és z komponensei a leírt fizikai mennyiség x; y és z irányú változásának rohamosságával, sebességével arányosak:

       

Egy adott pontbeli gradiens vektor

– a skalártér legrohamosabb változásának irányával párhuzamos;

– a skalártér növekedésének irányába mutat;

– hossza egyenesen arányos a változás rohamosságával;

– merőleges a szintfelületre (szintvonalra).

A vektorterek helyszerinti változását kétféleképpen jellemezhetjük. A divergencia a vektortér – adott pontbeli – forrásosságát jellemző skaláris érték, meghatározása az alábbiak szerint történik:

 

z

Pozitív értékű divergencia esetén azt mondjuk, hogy a pontban forrás van, negatív divergencia esetén pedig nyelőről beszélünk.

A rotáció vektor a vektortér – adott pontbeli – örvényességét mutatja meg:

 

^{r i j k}

Az olyan vektorteret, amelynek rotációja azonosan nulla, örvénymentesnek, vagy másképpen konzervatívnak nevezzük. Minden örvénymentes vektortérhez rendelhető egy olyan ^{ }

 

^r; skalár–vektor függvény, amelyből a vektorteret leíró vektor–vektor függvényt gradiens képzéssel nyerhetjük, azaz:

 

r; grad

 

r;

f  . (1.7)

Ezt a φ(r;τ) függvényt az adott tér potenciálfüggvényének (például sebességi potenciálnak) nevezzük. Ezért az örvénymentes vektortereket potenciálos tereknek is szokás nevezni.

Egy jel a változó azon részének matematikai leírása, amely a vizsgálataink számára lényeges információt hordozza.

Egy f jel folytonos idejű jel (FI jel), ha a τ idő minden valós értékére értelmezett, azaz:

 

R

 f  

f . (1.8)

Bizonyos típusú jelek csak a (független) idő τi diszkrét értékeire értelmezettek, azaz akkor arra az esetre szorítkozunk, amikor a diszkrét időnek csak az egész értékei fordulnak elő. Az f diszkrét idejű jel (DI jel) megadásának módja

 

Z

 f i

f _i . (1.9)

A mérnöki gyakorlatban a k-adik diszkrét időpontra a k-adik ütem elnevezést is használjuk.

A τ  R, illetve a τ_i  Z megadását gyakran elhagyjuk, mert az f(τ) illetve a f(τ_i) jelölés vagy a szövegkörnyezet is egyértelműen mutatja, hogy folytonos vagy diszkrét idejű jelről van-e szó. Egy diszkrét idejű DI jel gyakran egy folytonos idejű FI jel által meghatározott. Gyakori eset, amikor a f(τ_i) diszkrét idejű értékek egy f(τ) folytonos idejű jel értékei (mintái) a τ = τ_i időpontokban. Az esetek többségében a mintavétel egyenletes, azaz:





_i  ₀ i , (1.10)

ahol ∆τ az adott mintavételi periódusidő, illetve τ₀ a kezdeti idő, amely a műszaki gyakorlatban általában zérusértékűnek vesszük fel [27].

Általános esetben nehéz, felesleges vagy lehetetlen egy olyan FI jelet értelmezni, amelyből a DI jel származtatható. Például a kockadobás eredményei egy diszkrét idejű jelet határoznak meg, ahol k a dobás sorszáma, nincs értelme annak a kérdésnek, hogy mennyi a kockadobás „eredménye” két dobás között.

Amikor valóságos technikai folyamatokat modellezünk, gyakran alkalmazunk DI modellt FI folyamatra vagy fordítva.

Egy f jel folytonos értékű, ha annak értéke – esetleg bizonyos megszorításokkal – bármilyen valós vagy komplex szám. Ilyen megszorítás lehet, hogy f csak valós és pozitív értékű lehet, vagy nem lehet nagyobb egy felső, illetve kisebb egy alsó korlátnál.

Gondoljunk például a hőmérsékletre, amely – mint az köztudott – 0 K (–273 ^oC) alatti értéket nem vehet fel.

Egy f jel diszkrét értékű, más néven kvantált, ha csak bizonyos a₀; a₁; a₂; ... valós vagy komplex értékeket vehet fel. Ezek az a_i értékek lehetnek tetszőlegesek vagy követhetnek bizonyos szabályszerűséget. Például a kockadobás esetében:

Z i i i

a_i  1 6  . (1.11)

Bizonyos mennyiségek eleve diszkrét értékűek (például darabszám), másokat folytonos értékűeknek tekintünk (sebesség, hőmérséklet). Az utóbbiak mért értékei is diszkrét értékűek a mérés módja és a kerekítés által meghatározottan.

Mind a folytonos értékű, mind a diszkrét értékű jel lehet folytonos idejű vagy diszkrét idejű. A folytonos idejű és folytonos értékű jeleket szokásos analóg jeleknek, a diszkrét idejű és diszkrét értékű jeleket szokás digitális jeleknek nevezni.

Folytonos idejű Diszkrét idejű

Folytonos értékű

Diszkrét értékű

1.1 ábra: A jelek alapvető típusai [18] alapján

Egy jelet determinisztikus jelnek nevezünk, ha értéke a vizsgálat során minden időpontban ismert vagy meghatározható, azaz a jel (kielégítő pontossággal) megismételhető folyamatot ír le.

Ha nem tudjuk a jelet megismételni, mert az azonosnak tűnő eljárás különböző eredményekre vezet, akkor a jelet sztochasztikus jelnek nevezzük. A sztochasztikus jelek leírására a valószínűség-számítás fogalmait és egyenleteit, elsősorban a valószínűség–sűrűség függvényeket alkalmazzuk.

A mérnöki gyakorlatban sokszor egy adott jel egy-egy determinisztikus és sztochasztikus jel összege. Tipikus eset, amikor a hasznos jelet determinisztikusnak, a hozzá adódó zajt viszont sztochasztikus jelként írjuk le. Ezek szétválasztása (a zaj kiszűrése) statisztikai módszerekkel lehetséges [27].

A folyamatnak determinisztikus vagy sztochasztikus jelként történő leírása lehet kényszerű, de lehet választásunk következménye is. A fizikából ismert, hogy sok jelenséget leírhatunk determinisztikusan és statisztikusan is.

In document Rendszertechnika (Pldal 11-15)