IV. Eszközök, taneszközök
IV.2. IT eszközök a matematikatanulás szolgálatában
Mindenképpen gondolni kell az internetes keresők, a szövegszerkesztők, táblázatkezelők és a grafikus szer-kesztők használatára, bár az egyes tanuló számára is elérhető eszközpark (személyi számítógép, aktív tábla, táblagép, okos telefon, stb.) olyan gyorsan bővül, hogy ez az írás elavul, mire megjelenik.
Az IT eszközök előnyei másként jelentkeznek, ha atanáregy probléma kapcsán előzetes vizsgálatokat végez, egy hagyományos órára feladatlapot készít elő, valamely programot szemléltetésre használja az órán, illetve ha a tanulók valamely program segítségével oldanak meg geometriai feladatokat.
Tanulói felhasználásban különösen a megoldások megsejtésénél és a diszkusszió során térül meg az eszköz megismerésére fordított idő és energia: egy-egy számítás, vagy szerkesztés elvégzése, egy-egy feladattípus megoldása más adatokkal, paraméterértékekkel. (Egy pontot megfogva és elmozgatva könnyen megvizsgál-hatók a lehetséges esetek, nem kell mindig újabb és újabb ábrákat készíteni; egy tipikus pont megszerkesz-tése után megrajzoltatható a pont pályája, stb.)
Ha egy feladatot IT eszközökkel akarunk megoldani, akkor adódik egy olyan járulékos tennivaló is, amely nélkülük nem lenne: a feladatot át kell fogalmazni. Az átfogalmazás sokféle lehet a megoldási mód, a felhasználható ismeretek, a didaktikai célok szerint. Vannak feladatok, amelyeknél az átfogalmazás maga a „megoldás”, vagyis az IT eszköz számára le-fordított feladat már nagyon egyszerű. Ilyen feladatokat frontális osztálymunkában érdemes megbeszélni és egy rá épülő feladatot önálló munkára adni.
Az IT alkalmazás járulékos haszna, hogy természetessé válik a különböző megoldások keresése és összeha-sonlítása, mert az IT eszközök nem egyformán támogatják mindegyik megoldást.
Az IT eszközök használata csak a többi módszertani megoldással együtt szolgálja a helyes matematikai szemlélet kialakítását. A leghasznosabb az lenne, ha egy bizonyos begyakorlási idő után a tanulók maguk eldönthetnék, hogy mikor, mennyire veszik igénybe az IT eszközöket. (Problémamegoldás közben kipróbál valamit, megfigyeli, majd megpróbálja bebizonyítani.) Az IT eszközökkel való feladatmegoldás lehetőséget ad a különböző mélységű és nehézségű megközelítésre, differenciálásra.
IV.2.1. Dinamikus geometria program felhasználása a geometria tanításában
Bármelyik elérhető program (Cabri, Euklidesz, GeoGebra, . . . ) használatát könnyű megtanulni, de nagyon fontos felhívni a tanulók figyelmét azokra a vonásokra, amelyekben különbözik a dinamikus geometria a szokásos papír-ceruza környezettől. A legfontosabb, hogy minden alakzatot a program által felismerhető formában kell meghatározni. Említésre méltó például, hogy egy pont akkor van egy alakzaton, vagy akkor van közös pontja két alakzatnak, ha közvetlenül vagy közvetve így jött létre; egy szög nagyságát vagy egy szakasz hosszát csak akkor tudjuk megadni, ha azokat már létrehoztuk; egy egyenes két pontja ugyan meghatároz egy szakaszt, de ekkor is külön meg kell szerkeszteni a szakaszt, hogy a program tudomást vegyen róla.
Különösen a bevezető időszakban érdemes a parancsokat megszűrni, a tanulók szintjének megfelelően be-állítani. Azoknál a feladatoknál, amelyeknél nemcsak rajzolgatást, vak próbálgatást, hanem geometriailag megalapozott tudatos szerkesztést várunk el a tanulóktól, csak azokat a parancsokat bocsássuk a tanulók rendelkezésére, amelyekre ténylegesen szükségük van, és amelyek geometriai hátterét ismerik. Ha példá-ul a felezőmerőleges szerkesztése a feladat, vagy egy pont tükrözése egy egyenesre, akkor a Szakaszfelező merőleges, illetve aTengelyes tükrözés parancsot zárjuk ki a menüből.
Engedjük, hogy a tanulók önállóan birkózzanak meg a feladatokkal, de a feladatoknak alkalmazkodniuk kell a tanulók tudásszintjéhez, egyszerre kell kihívást tartalmazniuk és a sikeres megoldással kecsegteti. A következő feladatsor 11–12 éves tanulók dinamikus geometriai programmal való ismerkedéséhez készült.
Különböző programokat használva több alkalommal ki is próbáltuk. A cél, hogy a geometriai ismeretrend-szer és a programhasználat párhuzamosan fejlődjön.
Végezd el az alábbi szerkesztéseket a program segítségével! Gondold meg, próbáld ki, hogy melyik feladat oldható meg könnyebben a füzetben körzővel és vonalzóval, és melyik megy könnyebben a programmal! Fi-gyeld meg, hogy hol kell sorrendet változtatni, pontosabban fogalmazni a program használatakor! A táblázat megfelelő helyére írd le, hogy mit csináltál és mit tapasztaltál. Ha valami érdekességet tapasztalsz, készíts a képernyőről másolatot (hard copy) az Alt-Print Screen billentyűkombináció segítségével és illeszd be ebbe a dokumentumba a Ctrl-V billentyűkombinációval!
1. feladat:
Szerkessz egyAésB végpontú szakaszt!
Vegyél fel a szakaszon kívül egyE pontot!
Nevezd el a pontokat, vagy változtasd meg a nevüket, ha a program már elnevezte!
Rajzolj azE ponton át azAB szakasszal párhuzamos degyenest!
Mozgasd aB pontot és figyeld meg az ábra változásait!
Mozgasd azApontot és figyeld meg az ábra változásait!
Mozgasd azE pontot és figyeld meg az ábra változásait!
2. Feladat:
Szerkessz egyAB szakaszt.
Szerkeszd meg azABszakasz felezőmerőlegesét aSzakaszfelező me-rőlegesparancs használata nélkül.
Mozgasd azA, majd a B pontot. Ha a felezőmerőleges nem mozdul el, akkor szerkeszd meg újra, mert valami nem jól sikerült!
Végezd el a szerkesztést a Szakaszfelező merőleges parancs fel-használásával is!
3. Feladat:
Vegyél fel három (A,B, ésC)alappontot!
Szerkessz olyan paralelogrammát, ahol A és B szomszédos, A és C átellenes csúcsok! Ellenőrizd, hogy paralelogramma marad-e, ha az alappontokat mozgatod!
Rejtsd el a szerkesztési segédvonalakat!
Mérd meg az oldalak hosszát és a szögek nagyságát!
4. Feladat:
Rajzolj egyABC háromszöget és vastagítsd meg az oldalait!
Szerkeszd meg a háromszögAK,BM ésCN magasságvonalait!
Szerkeszd meg a magasságvonalak metszéspontját!
Mozgasd a háromszög egyik csúcsát, és figyeld meg, mikor lesz a ma-gasságvonalak metszéspontja a háromszögön kívül, mikor lesz a há-romszögön, illetve mikor lesz belül.
5. Feladat:
Rajzolj egyAB szakaszt, szerkeszd meg a felezőpontját.
Rajzolj egyAB átmérőjű,O középpontú kört.
Vegyél fel egyD pontot a körön és mozgasd ezt a pontot.
Rajzold meg az AD ésBD szakaszt, jelöld meg az ADB szöget és mérd meg.
6. Feladat:
Vegyél fel két pontot:A-t ésB-t és szerkessz egyAközéppontú kört, amely átmegy aB ponton.
Vegyél fel a körön egyC pontot.
Szerkeszd meg aC pontbeli érintőt a körhöz.
Mozgasd aC pontot.
Módszertani feladat: Keressen olyan feladatot, amelynek megoldásához most már eleget tudnak a tanulók!
Írjon hozzá segítséget!
IV.2.2. Miért is szinusz- vagy koszinuszgörbe a síkkal elmetszett hengerpalást pereme kiterítés után?
A varrónők vagy a bádogosok számára írt könyvekben, honlapokon az alábbihoz hasonló segédletek talál-hatók:
Kép forrása: Szabásminták http://blog.megyeridomonkos.hu/
A szabásminta úgy is előállítható, hogy egy egyenes körhengert ferdén elmetszünk egy síkkal, majd kite-rítjük.
Innen már csak egy „lépés” annak megmutatása, hogy a szabás vonala egy transzformált szinusz- vagy egy koszinuszfüggvény grafikonja. Az egyszerűbb számolás kedvéért a henger sugarát egységnyinek választjuk.
A hengert egy alkotója mentén felvágjuk. Ez nálunk éppen az a kontúralkotó, amelyhez a metszet legma-gasabb pontja tartozik. Kiterítés után egy 2πszélességű idomot kapunk. Ezért egy2πhosszúságú szakaszt felmérünk azxtengely pozitív felére az origóból indulva.
Egy tetszőleges alkotó helyét a kiterített idomon úgy keressük meg, hogy a henger alapkörén megnézzük, hogy mekkora szöggel fordult el a kiválasztott alkotó a kontúralkotóhoz képest. Ez azxszög ívmértékben mérve éppen a vizsgált alkotó kiterítés utánixkoordinátája. Az (x; 0) pontban merőlegest állítunk azx tengelyre és rámérjük az elmetszett alkotónak az alapvonal és a metsző sík közé eső szakaszát. A kiterítést dinamikus geometria programmal rajzoltuk, hogy elég legyen egyetlen alkotóra elvégezni az eljárást és a mértani hely parancs segítségével kirajzoltathassuk a görbét. Ez a görbe azf(x) =h+ tgϕ·cosxfüggvény grafikonja, aholhaz jelzi, hogy a sík az alapvonaltól milyen magasságban metszi a henger forgástengelyét, ϕpedig a metsző síknak az alapkör síkjával bezárt szöge. A bizonyítás az ábráról leolvasható.
IV.2.3. Rózsaablak is vizsgálható dinamikus geometriai programmal
Háttérként beolvassuk a kiválasztott mintát a Tools, Special Object Tools, Insert Image parancssorozattal.
Mi a rose_window.jpg képet töltöttük be a blogol.hu/plkz/mclub oldalról.
Megvizsgáljuk a képet, és amikor annak a szimmetriáját, szerkezetét felfedezni véljük, akkor a sejtésnek megfelelő alakzatokat rárajzoljuk és igazoljuk (vagy elvetjük) a feltevést.
Ezekkel a játékokkal a műalkotások elemzésében és a program használatában, valamint a szimmetriák tanulmányozásában is elmélyedhetnek a tanulók.
Irodalomjegyzék
[1] Ambrus Gabriella, Munkácsy Katalin, Szeredi Éva, Vásárhelyi Éva, Wintsche Gergely (2013). Mate-matika módszertani példatár. URL: tankonyvtar.ttk.bme.hu/pdf/160.pdf
[2] Arnold, V. I., 1987. Katasztrófaelmélet, Tankönyvkiadó, Budapest
[3] Bruner, J. S. 1974. Új utak az oktatás elméletéhez. Gondolat Kiadó, Budapest
[4] Ceglédi István 2011. A matematika tanításának pedagógiai – pszichológiai vonatkozásai. EKF ttk URL: http://www.tankonyvtar.hu/en/tartalom/tamop425/0038_matematika_Cegledi1/index.html [5] Chomsky, Noam 1985. Generatív Grammatika. Európa Kiadó, 1985. Wilhelm von Humboldt
váloga-tott írásai. Európa Kiadó
[6] Chomsky, Noam 1995. Mondattani szerkezetek, Nyelv és elme. Osiris–Századvég [7] Filep László 1985. Játékelmélet, Tankönyvkiadó, Budapest
[8] Gerőcs László 1998. A Fibonacci-sorozat általánosítása. Scolar Kiadó [9] Gyapjas Ferenc 1973. Csoportelmélet, Tankönyvkiadó, Budapest [10] Hársing Lajos 1988. Tangram. Garabonciás Könyvkiadó, Budapest [11] Lendvai Ernő 1975. Bartók és Kodály harmóniavilága. Zeneműkiadó
[12] Lovász László – Pelikán József – Vesztergombi Katalin 2006. Diszkrét matematika. Typotex Kiadó [13] Rényi Alfréd 2004. Ars Mathematica. Typotex Kiadó
[14] Skemp, R.R 1975. A matematikatanulás pszichológiája. Gondolat Kiadó [15] Szász Gábor 1978. Hálóelmélet, Tankönyvkiadó, Budapest
[16] Szederkényi Antal 1977. Topológia, Tankönyvkiadó, Budapest
[17] Szeredi Éva 2011. Geometria mozgásban. Az egybevágósági transzformációk tanításának egy új módszere. URL: http://dea.lib.unideb.hu/dea/bitstream/2437/122079/10/Szeredi-Eva-PhD-dolgozat_titkositott.pdf
[18] Sztrókayné Földvári Vera 1968. Mátrixok – Általános iskolai szakköri füzetek. Tankönyvkiadó, Buda-pest
[19] Török Judit 1984. Fibonacci-sorozat, Középiskolai szakköri füzet, Tankönyvkiadó, Budapest
[20] Vásárhelyi Éva 2007. Fogalomalkotás és reprezentációk. URL:
http://dl.dropbox.com/u/100162898/vasar/repr.pdf
[21] Vigassy Lajos 1970. Projektív geometria, Tankönyvkiadó, Budapest [22] Vilenkin, N. Ja.,1988. A végtelen kutatása, Tankönyvkiadó, Budapest [23] Wickmann, Dieter 1999. Bayes-statisztika. ELTE Eötvös Kiadó
65