Az emelés és vetítés egy másik sikeres alkalmazása irányított gráf kör-poliéderének, vagyis az irányított körök karakterisztikus vektorai konvex burkának a részleges jellemzése. Ezt a feladatot ismét gyakorlati probléma sugalmazta, mégpedig acélhengerm ˝uvek mindennapi tevékenységének az ütemezése. Egy hengerm ˝u izzó acéltömböket hengerel lemezzé. A napi prog-ram összeállítása abból áll, hogy kiválasztják a hengerlésre kerül˝o tömböket, és felállítják a hengerlési sorrendet. A tömbök sorrendje er˝osen befolyásolja mind a termelési processzus efficienciáját, mind a végtermék, vagyis a leme-zek min˝oségét. Ha a program összeállítását ketté lehetne osztani
tömbkivá-lasztási és a kiválasztott tömbök sorbarendezési feladatára, az els˝ot hátizsák-feladatként, a másodikat pedig utazóügynök-feladatként lehetne kezelni. Ez azonban nem járható út, ugyanis ha a tömbkiválasztás nem veszi tekintetbe a sorbarendezés követelményeit, akkor a kiválasztott tömbök halmazának sorbarendezési feladata könnyen megoldhatatlanná válhat. A kombinált fel-adat paradigmája viszont az olyan utazó ügynök esete, aki nem köteles min-den helységbe ellátogatni, de ahová ellátogat, ott díjat kap; ennek folytán olyan minimális összköltség ˝u túrát kíván összeállítani, amelyben a befolyó díjösszeg elér egy kit ˝uzött minimumot. Ezt a feladatot a díjbeszed˝o utazó ügynök (prize collecting traveling salesman) problémájának [7] kereszteltük, heurisztikus megoldási módszereket dolgoztunk ki rá, majd szoftvert állí-tottunk össze, amely gyakorlati alkalmazást nyert: az LTV Cleveland Works acélhengerm ˝uveknél 1989-t˝ol kezd˝od˝oen több mint tíz évig ezzel a szoftver-rel állították össze a napi termelési menetrendet [13].
Az e feladat által sugalmazott elméleti probléma abból áll, hogy adott irányított gráf körpoliéderét jellemezzük. Minthogy ez jelenlegi eszköze-inkkel elérhetetlen, megközelít˝o jellemzésre törekszünk, vagyis a vizsgált poliéder lapjainak legfontosabb családjait igyekszünk felfedezni. Kiindu-lópontul az az észrevétel szolgálhat, hogy ha feladatunkat az adott gráf Hamilton-köreire korlátozzuk, a jól ismert utazó ügynök problémáját kap-juk, amely az utolsó ötven évben intenzív és fölöttébb sikeres vizsgála-tok tárgyát képezte. Ennek eredményeképp, ha az utazó ügynök poliéde-rének, vagyis a megoldások konvex burkának a teljes jellemzésével nem is rendelkezünk, számos lapcsaládot ismerünk, amelyek összessége elég jól megközelíti a szóban forgó poliédert ahhoz, hogy sok száz változós felada-tokat sikeresen tudjunk megoldani (lásd pl. [23]-at). Persze, ha a feladatot ki-terjesztjük a Hamilton-körökr˝ol tetsz˝oleges körökre, egészen más poliédert kapunk, amelyre az utazó ügynök poliéderének lapmeghatározó
egyenl˝ot-lenségei egyszer ˝uen nem érvényesek. Felmerül azonban a kérdés, lehet-e azt a rengeteg ismeretet, amellyel az utazó ügynök poliéderér˝ol rendelkezünk, valamilyen módon hasznosítani az irányított gráf körpoliéderének a vizsgá-latában. A válasz az, hogy igenis lehet, mégpedig emelés és vetítés útján.
Jelöljük P-vel a G = (N, A) irányított gráfra definiált utazóügynök-poliédert, vagyis a Dantzig, Fulkerson és Johnson [21] megfogalmazásában,
P :=conv{x∈ {0,1}A:x(i, N(i)) = 1, i∈N x(N(j), j) = 1, j ∈N
x(S, S) ≤ |S| −1, ∀S⊂N, 2 ≤ |S| ≤n−1
aholx(i, N(i)) :=∑
(xij:j∈N), x(N(j), j) =∑
(xij :i∈N), ésn=|N|.
Itt a két els˝o feltételcsoport megoldáshalmaza egymást nem érint˝o kö-rökG-t feszít˝o uniója, míg az utolsó egyenl˝otlenség-rendszer a résztúrákat, vagyisn-nél rövidebb köröket zárja ki. Jelöljük továbbá PK-val aG-re de-finiált körpoliédert, vagyis aGirányított körei karakterisztikus vektorainak konvex burkát [14]:
PK :=conv{x∈ {0,1}A:x(i, N(i)) < 1, i∈N x(N(i), i)−x(i, N(i)) = 0, i∈N
n∑−1
i=1
∑n
j=i+1
xij ≥ 1 x(k, N) +x(ℓ, N)−x(S, N\S) ≤ 1,
∀S⊂N, 2≤ |S| ≤n−2, k∈S, ℓ∈N\S}.
Itt az els˝o három feltételcsoport megoldáshalmaza egymást nem érint˝o kö-rök nem üres uniója, míg az utolsó egyenl˝otlenségcsoport kizárja az egynél
több kör unióját (ha ugyanis a megoldás K1 és K2 csúcshalmazú köröket tartalmaz, akkor megszegi azS =K1,k∈K1,ℓ∈K2által definiált egyen-l˝otlenséget, minthogyx(k, N) = 1,x(ℓ, N) = 1ésx(S, N\S) = 0).
A kérdés, amelyre választ keresünk, a következ˝o. Tegyük fel, hogy az αx≤α0egyenl˝otlenségP-nek egy lapját definiálja. Lehetséges-e ebb˝ol vala-milyen módon egy vagy többPK-ra érvényes lapdefiniáló egyenl˝otlenséget kapni? A válasz pozitív, és a módszer ismét csak az emelés és vetítés egy vál-tozataként adódik. Ezúttal az emelés vagy b˝ovített megfogalmazás abból áll, hogyGminden csúcsához hozzáadunk egy hurkot, vagyis azxij élváltozók halmazátyihurokváltozókkal egészítjük ki. AG-b˝ol tehátGH := (N, A∪H) lesz, aholH a hurkok halmaza, és a magasabb dimenziós térben aP-b˝olPH lesz, a kör és hurkok poliédere:
PH :=conv{(x, y)∈ {0,1}A∪H :
x(i, N(i)) +yi = 1, i∈N x(N(j), j) +yj = 1, j∈N
x(N, N) ≥ 2 x(S, N\S) +yk +yℓ ≥ 1,
∀S⊂N, 2≤ |S| ≤n−2, k∈S, ℓ∈N\S}.
Itt az egyenletek biztosítják azt, hogy a megoldás aGHminden csúcsára vagy a megfelel˝o hurkot, vagy egy bemen˝o és egy kimen˝o élt tartalmaz;
tehát a megoldás egymást nem érint˝o körök és hurkok uniója. Az els˝o egyenl˝otlenség biztosítja, hogy a megoldás nem csupán hurkokból áll, míg a többi egyenl˝otlenség szerepe a megoldásban el˝oforduló körök számát egyre korlátozni.
Els˝o lépésünk tehát az lesz, hogy aP-re érvényes lapdefiniálóαx ≤α0 egyenl˝otlenségb˝ol a PH-ra érvényes lapdefiniáló αx + βy ≤ α0 egyen-l˝otlenséget állítsunk el˝o. Ez egy, a poliéderes kombinatorikában jól ismert feladattípusnak, az úgynevezett lapemelésnek (facet lifting) speciális esete.
Ha e speciális esett˝ol eltekintünk, és P-t mint egy általános PH poliéder-nek az x-et tartalmazó altérre való korlátozásaként fogjuk fel (vagyis P -t az yi = 0 egyenletek révén kapjuk PH-ból), akkor jól ismert módszer [31, 33, 34] áll rendelkezésünkre aβi koefficiensek el˝oállítására. A baj csak az, hogy ez a módszer általában minden koefficiens kiszámítására egy 0-1-es programozási feladat megoldását igényli. A bennünket érdekl˝o speciális esetben viszont az alábbi eredmény folytán ez a feladat aránylag könnyen megoldható [8]:
8. tétel.Legyenαx≤α0P-re érvényes, lapdefiniáló egyenl˝otlenség. Minden k∈N indexre legyenFkazon{i, j} ⊂N párok halmaza, amelyekre létezik olyanx∈P, hogyαx=α0ésxik=xkj= 1.
(i) Haαx+βy≤α0érvényesPH-ra, akkor
βk≤min{αik+αkj−αij :{i, j} ∈Fk}, k∈H.
(ii) Haαx+βy≤α0érvényesPH-ra és
βk= min{αik+αkj−αij :{i, j} ∈Fk}, k∈H, akkorαx+βy≤α0 PHegy lapját definiálja.
E tétel felhasználásával sikerült aP minden ismert lapdefiniáló egyen-l˝otlenségére zárt képlet alapján el˝oállítani a PH megfelel˝o lapdefiniáló egyenl˝otlenségét. Ez utóbbiak tehát ma már mind ismertek.
Második lépésünk abból áll, hogy egy a PH poliéderre érvényes lap-definiáló egyenl˝otlenségb˝ol megfelel˝o egyenl˝otlenséget nyerjünk aPK poli-éderre. Ezt viszont vetítés útján érhetjük el [14].
9. tétel.Legyenαx+βy≤α0 PH-ra érvényes, lapdefiniáló egyenl˝otlenség.
PK-ra érvényes, lapdefiniáló egyenl˝otlenség.
Így tehát emelés és vetítés útján mindazon ismereteket, amelyeket az irá-nyított gráfra definiált utazóügynök-poliéderre vonatkozólag az utolsó har-minc évben szereztünk, sikerült az irányított gráf körpoliéderére átültetni.
Irodalomjegyzék
[1] E. Balas: An Additive Algorithm for Solving Linear Programs with 0-1 Variables.
Operations Research, 13,1965, 517–596.
[2] E. Balas: Intersection Cuts – A New Type of Cutting Planes for Integer Program-ming.Operations Research, 19, 1971, 19–39.
[3] E. Balas: Integer Programming and Convex Analysis: Intersection Cuts from Ou-ter Polars.Mathematical Programming, 2,1972, 350–382.
[4] E. Balas: Disjunctive Programming: Properties of the Convex Hull of Feasible Points. MSRR #348, Carnegie Mellon University, July 1979. Megjelent mint fel-kérésre írott cikk, G. Cornuéjols és W.R. Pulleyblank el˝oszavával,Discrete Applied Mathematics, 89,1998, 1–44.
[5] E. Balas: Disjunctive Programming.Annals of Discrete Mathematics, 5,1979, 3–51.
[6] E. Balas: Disjunctive Programming and a Hierarchy of Relaxations for Discrete Optimization Problems.SIAM J. on Algebraic and Discrete Methods, 6,1985, 466–
486.
[7] E. Balas: The Prize Collecting Traveling Salesman Problem.Networks, 19,1989, 621–636.
[8] E. Balas: The Prize Collecting Traveling Salesman Problem: II. Polyhedral Results.
Networks, 25,1995, 199–216.
[9] E. Balas:A szabadság vonzásában.Vince Kiadó, Budapest, 2002.
[10] E. Balas, S. Ceria, G. Cornuéjols: A Lift-and-Project Cutting Plane Algorithm for Mixed 0-1 Programs.Mathematical Programming, 58,1993, 295–324.
[11] E. Balas, S. Ceria, G. Cornuéjols: Mixed 0-1 Programming by Lift-and-Project in a Branch-and-Cut Framework.Management Science, 42,1996, 1229–1246.
[12] E. Balas, R. J. Jeroslow: Strengthening Cuts for Mixed Integer Programs.European J. of Operational Research, 4,1980, 224–234.
[13] E. Balas, C. H. Martin: Combinatorial Optimization in Steel Rolling.Proceedings of the DIMACS/RUTCOR Workshop on Combinatorial Optimization in Science and Tech-nology (COST), Rutgers University, April 1991.
[14] E. Balas and M. Oosten: On the Cycle Polytope of a Directed Graph.Networks, 36, 2000, 34–46.
[15] E. Balas and M. Perregaard: A Precise Correspondence Between Lift-and-Project Cuts, Simple Disjunctive Cuts, and Mixed Integer Gomory Cuts for 0-1 Program-ming.Mathematical Programming B, 94,2003, 221–245.
[16] E. Balas and W. R. Pulleyblank: The Perfectly Matchable Subgraph Polytope of a Bipartite Graph.Networks, 13,1983, 495–518.
[17] E. Balas, W. R. Pulleyblank: The Perfectly Matchable Subgraph Polytope of an Ar-bitrary Graph.Combinatorica, 7,1989, 321–337.
[18] R. E. Bixby, M. Fenelon, Z. Gu, E. Rothberg and R. Wunderling: Mixed-Integer Programming: A Progress Report. In: M. Grötschel (ed.): The Sharpest Cut.
SIAM/MPS, 2004, 309–326.
[19] C. E. Blair: Two Rules for Deducing Valid Inequalities for 0-1 Programs.SIAM J.
of Applied Math., 31,1976, 614–617.
[20] S. Ceria and G. Pataki: Solving Integer and Disjunctive Programs by Lift-and-Project. In R. E. Bixby et al. (eds.):IPCO VI, Lecture Notes in Computer Science #1412, Springer, 1998, 271–283.
[21] G. B. Dantzig, D. R. Fulkerson and S. M. Johnson: Solution of a Large-Scale Trave-ling Salesman Problem.Operations Research, 2, 1954, 393–410.
[22] J. Edmonds: Maximum Matching and a Polyhedron with 0-1 Vertices.J. Res. Nat.
Bur. Standards Sect. B, 69B,1965, 125–130.
[23] M. Fischetti, A. Lodi and P. Toth: Exact Methods for the Asymmetric Traveling Salesman Problem. In: G. Gutin, A. Punnen (eds.):The Traveling Salesman Problem and Its Variations,Kluwer, 2002, 169–206.
[24] R. E. Gomory: Outline of an Algorithm for Integer Solutions to Linear Programs.
Bulletin of the AMS, 64,1958, 275–278.
[25] R. E. Gomory: An Algorithm for the Mixed Integer Problem.Technical Report RM-2597, the RAND Corporation, 1960.
[26] P. Hall: On Representatives of Subsets.Journal of the London Mathematical Society, 10,1935, 26–30.
[27] P. L. Hammer, E. Johnson and B. Korte (eds):Discrete Optimization I-II. Annals of Discrete Mathematics, 4-5,1979.
[28] R. E. Jeroslow: Representability in Mixed Integer Programming I: Characteriza-tion Results.Discrete Applied Mathematics, 17,1987, 223–243.
[29] A. H. Land and A. G. Doig: An Automatic Method for Solving Discrete Program-ming Problems.Econometrica, 28,1960, 497–500.
[30] L. Lovász and A. Schrijver: Cones of Matrices and Set Functions and 0-1 Optimi-zation.SIAM Journal of Optimization, 1,1991, 166–190.
[31] M. W. Padberg: On the Facial Structure of Set Packing Polyhedra.Mathematical Programming, 5, 1973, 199–215.
[32] M. Perregaard: A Practical Implementation of Lift-and-Project Cuts.Paper presen-ted at the 18th International Symposium on Mathematical Programming, Copen-hagen, August 2003.
[33] L. Wolsey: Facets of Strong Valid Inequalities for Integer Programs.Operations Research, 24,1976, 367–372.
[34] E. Zemel: Lifting the Facets of 0-1 Polytopes.Mathematical Programming, 15,1978, 268–277.