3. Finsler-sokaságok holonómiájáról 15
3.8. Finsler-felületek maximális holonómiacsoporttal
Ha (M, F) egy 2-dimenziós Finsler-sokaság, akkor egy tetsz®leges p ∈M pontban az Ip indikatrix dieomorf az S1 egységkörrel, és a holonómiacsoport izomorf az S1 dieomor-zmus-csoportjának egy részcsoportjával. Egyszeresen összefügg® Finsler-felületek esetén a holonómiacsoport szükségképpen irányítástartó, így aHolp(M)izomorf az egységkör irá-nyítástartó dieomorzmusainak, azazDiff+∞(S1)-nek egy részcsoportjával. Ennek alapján egy egyszeresen összefügg® Finsler-felület holonómiacsoportja maximális, ha a topologikus lezártja megegyezik a Diff+∞(S1)-gyel.
A Diff+∞(S1) dieomorzmus-csoport Lie-algebrája az X(S1), melyben Fourier algeb-rának nevezzük azonfdtd alakú vektormez®kF(S1)rész Lie-algebráját, aholf(t)egy véges Fourier-sor, azaz egy Fourier-polinom. A Fourier algebra exponenciális képének topologi-kus lezártja által generált csoport a Diff+∞(S1).
3.8.2. Állítás. [123, Proposition 5.1] Ha az egyszeresen összefügg®(M, F)Finsler-felület egy p ∈ M pontjában a hol∗p(M) innitezimális holonómia-algebra tartalmazza az F(S1) Fourier-algebrát, akkor a holonómiacsoport topologikus lezártja izomorf a Diff+∞(S1)-gyel.
Az állítást felhasználva bizonyítható a
3.8.3. Tétel. [123, Theorem 5.2] Legyen (M,F) egy egyszeresen összefügg® síkprojek-tív, konstans nemzérus görbület¶ Finsler-felület. Tegyük fel, hogy van olyan p∈M pont, melyben az indukált Minkowski norma megegyezik az euklideszi normával, azaz F(p, y) =
=kyk, és a projektív faktor eleget tesz a P(p, y) =ckyk feltételnek, ahol c6= 0. Ekkor a p-beli holonómiacsoport lezártja megegyezik az egységkör irányítástartó dieomorzmus-csoportjával, azaz Holp(M) =Diff+∞(S1).
Amennyiben a tétel feltételeit egy Finsler-felület teljesíti, akkor annak a holonómia-csoportja maximális. Erre az esetre konkrét példákat ad az alábbi tétel, mely els®ként ír le végtelen dimenziós Finsler-típusú holonómiacsoportot.
3.8.4. Tétel. [123, Theorem 5.3] A standard Funk-metrikának, továbbá a BryantShen-féle gömbi metrikáknak a holonómiacsoportja maximális, azaz a topologikus lezártja meg-egyezik a kör irányítástartó dieomorzmus-csoportjával.
Z. Shen [86]-ban megadta a síkprojektív Randers-sokaságok klasszikációját. Megmu-tatta, hogy minden síkprojektív konstans nemzérus görbület¶ Randers-sokaság negatív görbület¶, és ezen metrikák egy konstans faktor segítségével átskálázhatók úgy, hogy a görbületükλ =−1/4legyen. Ebben az esetben az(M, F)izometrikusan leképezhet® azon Finsler-sokaságba, melyet az
Fa(x, y) =
p|y|2−(|x|2|y|2− hx, yi2) 1− |x|2 +
hx, yi
1− |x|2 + ha, yi 1 +ha, xi
(3.3) Finsler-függvény deniál aDn ⊂Rn-n, ahol=±1ésa ∈Rn valamilyen konstans vektor, melyre kak<1. Erre a metrikára vonatkozik az alábbi
3.8.5. Állítás. [108, Proposition 1.] Ha a 6= 0, akkor a (D2, Fa) Finsler-felület holonó-miacsoportja maximális, azaz a holonómiacsoport lezártja izomorf Diff+∞(S1)-gyel.
Z. Shen klasszikációs eredményét használva kapjuk az alábbi tételt:
3.8.6. Tétel. [108, Theorem 3.] Egy egyszeresen összefügg® nem-Riemann típusú sík-projektív konstans nemzérus görbület¶ Finsler-felület holonómiacsoportja maximális, azaz lezártja izomorf Diff+∞(S1)-gyel.
A tétel alapján igazolható a Randers-felületek holonómiájára vonatkozó eredmény:
3.8.7. Következmény. [108, Corollary 4.] Egy egyszeresen összefügg® síkprojektív, kons-tans λ görbület¶ Finsler-felület holonómiacsoportja
{id} triviális csoport, ha λ= 0;
SO(2) csoport, ha λ6= 0 és a metrika Riemann-típusú;
Diff+∞(S1) csoport, ha λ 6= 0 és a metrika nem-Riemann típusú.
4. fejezet
Síkbeli 3-szövetek linearizálhatósága
4.1. Bevezetés
Legyen M egy 2-dimenziós valós, vagy komplex sokaság. A D ⊂ M nyílt tartományon adott 3-szövet nem más, mint három, egymáshoz viszonyítva általános helyzet¶ sima gör-békb®l álló fóliázás. AdottWésWf3-szövetek ekvivalensek, ha van olyan dieomorzmus, melyre igaz, hogyW képe aWflesz. AdottW ésWf3-szövetek lokálisan ekvivalensekp∈
∈ M-ben, ha van olyan lokális dieomorzmus a p egy környezetében, melyre igaz, hogy W képe a Wf.
Egy 3-szövetet lineárisnak (illetve párhuzamosnak) nevezünk, ha a három fóliázás mindegyike egyenesekb®l (illetve párhuzamos egyenesekb®l) áll. Egy 3-szövetet linearizál-hatónak (illetve parallelizállinearizál-hatónak) nevezünk, ha ekvivalens egy lineáris (illetve párhuza-mos) 3-szövettel. A 3-szöveteknek mind a linearizálhatósága, mind a parallelizálhatósága igen érdekes geometriai probléma. 1924-ben H. Graf és W. Sauer bebizonyított egy tételt, mely a szövetgeometria nyelvén úgy fogalmazható meg, hogy egy lineáris W szövet pon-tosan akkor parallelizálható, ha van olyan harmadfokú algebrai görbe, melyhez asszociált szövet a W, azaz a fóliázások görbéi a harmadfokú görbe érint®egyenesei [16, p. 24].
A 3-szövetek linearizálhatósága egy igen természetes, de korántsem triviális probléma.
T.H. Gronwall 1912-ben fogalmazta meg a sejtést, miszerint egy linearizálható de nem pa-rallelizálható síkbeli 3-szövet projektív transzformáció erejéig legfeljebb egyféleképpen linearizálható, azaz legfeljebb egy olyan dieomorzmus van, mely a kérdéses 3-szövetet egy lineáris 3-szövetbe viszi át. G. Bol javasolt egy megoldási módszert, hogyan lehet a linearizálhatóság kritériumát meghatározni [17], de a számolásokat nem tudta végigvinni.
Bol megmutatta, hogy azon projektíven nem ekvivalens lineáris 3-szövetek száma, melyek ekvivalensek egy nem párhuzamosítható lineáris 3-szövettel, kisebb mint 17. 1973-ban M.A. Akivis egy moszkvai tudományos el®adásán a linearizálhatóság problémáját a Chern-konnexió segítségével újrafogalmazta. Ebben a megközelítésben a linearizálhatóság prob-lémája az an deformációs-tenzorra vonatkozó nemlineáris parciális dierenciálegyenlet-rendszer megoldhatóságára vezethet® vissza. Akivis gondolatmenetét követve V.V. Gold-berg [42]-ben meghatározta az egyenletrendszer els® integrálhatósági feltételeit.
2001-ben az Akivis által javasolt parciális dierenciálegyenlet-rendszer további vizs-gálatával [106]-ban sikerült meghatároznunk a linearizálhatóság teljes feltételrendszerét.
Megmutattuk, hogy a linearizálható de nem párhuzamosítható 3-szövetek esetében
min-den p∈ M ponthoz megadható a vektorérték¶ szimmetrikus tenzorok egy Ap ⊂ S2Tp∗ ⊗
⊗Tp algebrai részsokasága, melyre igaz, hogy az an deformációs tenzor az S2T∗⊗T -nek egy olyan szelése, mely-nek értékei A-beliek. Az A-t meghatározza a 3-szövet Chern-konnexiója. A polinomok fokszámából következik, hogy legfeljebb 15 különböz®, nem pro-jektív ekvivalens linearizációja lehet egy nem párhuzamosítható síkbeli 3-szövetnek. A feltételrendszer segítségével konkrét szövetek esetén eldönthet®, hogy az linearizálható-e vagy sem. Az A-t meghatározó polinomok megtalálhatók [107]-ben.
A polémia. 2006-ban V.V. Goldberg (a szövetgeometria elismert szaktekintélye, szá-mos szövetgeometriai könyv és tudományos cikk szerz®je) és V.V. Lychagin (a parciális dierenciálegyenlet-rendszerek nemzetközi szaktekintélye, az Orosz Tudományos Akadé-mia tagja) szintén a 3-szövetek linearizálhatóságát vizsgálta, de [44] eredményei eltértek a [106]-ban leírt eredményeinkt®l. Cikkükben anélkül, hogy állításaikat érvekkel alá-támasztották volna azt állították, hogy a 3-szövetek linearizálhatóságára vonatkozó feltételrendszerünk hiányos, illetve hibás ([43, p.171] és [44, p.70]). Mivel vannak olyan esetek, ahol a [106] és a [44] ellentétes eredményt ad, ez azt mutatja, hogy a linearizációra adott egyik feltételrendszer biztosan hibás. Ez bizonytalanságot okozott ezen a területen (lásd például [2, p.2], [3, p.2], [19, p.30], [94, p.40]).
Dönt® példa. A [106] és a [44] feltételeinek közvetlen összehasonlítása nem egysze-r¶. Bár a gondolatmenet mindkét esetben hasonló, az eszközök különböznek, továbbá a Chern-konnexió kovariáns illetve parciális deriváltjait tartalmazó formulák igen hosszúak és bonyolultak. Így az egyik, illetve másik elmélet helyességét illetve hibáját nehéz megmu-tatni. Szerencsére van egy konkrét nem párhuzamosítható 3-szövet, mely linearizációjáról a két elmélet ellentétes eredményt ad: [106] feltételei szerint ez a szövet linearizálható, míg [44] szerint nem (lásd. [106, p.2653] és [44, p.171]). [116]-ban sikerült megmutatnom, hogy létezik a kérdéses 3-szövethez a megfelel® tulajdonságokkal rendelkez® an deformációs tenzor, így a szövet linearizálható. A [117] direkt módon bizonyítja a szövet linearizál-hatóságát így téve egyértelm¶vé, hogy a [106] eredményei helyesek, a [44] eredményei pedig hibásak.
4.2. Alapfogalmak
Legyen W a páronként transzverzális irányú {F1,F2,F3} fóliázások által meghatáro-zott sima 3-szövet az M sokaságon. A {F1,F2,F3} fóliázásokat rendre horizontálisnak, vertikálisnak és transzverzálisnak nevezzük és az érint® altereiket rendreTh,TvésTtfogja jelölni. Egy 3-szövet megadása ekvivalens egy (1,1)-típusú {h, j} tenzorpár megadásával, melyek eleget tesznek az alábbi feltételeknek:
1. h2 =h, j2 =id,
2. jh=vj, aholv :=id−h,
3. Kerh,Imh, és Ker(h+id)integrálható disztribúciók.
Minden 3-szövethez egyértelm¶en létezik egy olyan ∇ lineáris konnexió, mely eleget tesz a ∇h = 0, ∇j = 0 és T(hX, vY) = 0, ∀X, Y ∈ T M, feltételeknek, ahol T a ∇ kon-nexió torziója. ∇-t a 3-szövethez tartozó Chern-konnexiónak nevezzük [70]. A W szövet linearizálható, ha van olyan zérus görbület¶ ∇L lineáris konnexió M-en, mely meg®rzi a szövetet. Egy (1,2)-típusú szimmetrikus L tenzormez®t prelinearizációnak nevezünk, ha
a ∇LXY = ∇XY +L(X, Y) konnexió meg®rzi a szövetet, azaz a fóliázás elemei a ∇L-re nézve autoparallel részsokaságok. A prelinearizációk halmazát E-vel jelöljük. Linearizá-ciónak nevezünk egy L prelinearizációt, ha a ∇L konnexió görbülete zérus. Egy L ∈ E prelinearizációt jellemezhetünk az
x(X, Y) =L(hX, hY), y(X, Y) = jL(jhX, jhY), z(X, Y) =hL(hX, jhY), tenzorokkal. Használjuk továbbá a jelölést, miszerint az x2 az (1,3)-típusú tenzor, melyre x2(X, Y, Z) := x(x(hX, hY), hZ).Hasonló értelemben használjuk azxy,x3, . . . jelölése-ket. Az egyszer¶sítés érdekében az alsó indexek egy adaptált bázisra vonatkozó kovariáns deriválást jelentenek. Ennek következtében a felcserélési formuláknál megjelenik a görbü-leti tenzor. Bevezetjük az s := 2z −y és t := 12 (x+y−2z) tenzorokat a számítás egy-szer¶sítése érdekében. A prelinearizációk E tere az {s, t, z}-vel generálható 3-dimenziós vektornyaláb M-en. Azs-et az Lbázisának nevezzük. AzLésL0 prelinearizáció pontosan akkor projektív ekvivalens, ha s=s0.
4.3. A linearizálhatóság feltétele
A síkbeli 3-szövetek linearizálhatóságának a problémája egy parciális dierenciálegyenlet-rendszer megoldhatóságának a vizsgálatára vezethet® vissza. Legyen F := Λ2T∗ ⊗T és deniáljuk a prelinearizációk terén a P1: E →F dierenciáloperátort a
P1L
(X, Y, Z) = (∇XL)(Y, Z)−(∇YL)(X, Z)+L(X, L(Y, Z))−L(Y, L(X, Z))+R(X, Y)Z formulával, ahol R a Chern-konnexió görbületét jelöli. Az Lprelinearizáció pontosan ak-kor linearizáció, ha megoldása P1-nek. Az s, t, z tenzorokra ez egy els®rend¶ parciális dierenciálegyenlet-rendszert ad, melyek kompatibilitási feltétele az
P2 =
(s22 = 2s21−ss2 + 2ss1+Rs+R2,
s11 = 2s21−2ss2+ss1+Rs+R1, (4.1) másodrend¶ dierenciálegyenlet-rendszer, melyben meglep® módon a Chern-konnexió mel-lett csak az s, azaz a projektív invariáns bázis tenzor és annak kovariáns deriváltjai jelen-nek meg. A Spencer-sorozatokat vizsgálva adódik a
4.3.2. Állítás. [107, Proposition 4.2.] A P2 nem 2−aciklikus, azaz magasabb rend¶ pro-longáltaknál új kompatibilitási feltétel megjelenése várható.
A megfelel® prolongálás és kompatibilitási feltételek vizsgálata alapján adódik, hogy amennyiben a 3-szövet Chern-konnexiója zérus görbület¶, azaz parallelizálható, akkor bármely prelinearizáció lokálisan kiterjeszthet® egy linearizációvá. Ez az eredmény össz-hangban van azzal a jól ismert ténnyel, hogy parallelizálható síkbeli 3-szövetek esetén léteznek olyan linearizációk, melyek nem projektív ekvivalensek. Abban az esetben, ha a Chern-konnexió nem zérus görbület¶ azaz a 3-szövet nem parallelizálható a parciális dierenciálegyenlet-rendszer megoldhatóságának további vizsgálatával adódik az alábbi eredmény:
4.3.5. Tétel. [107, Theorem 5.1] A Chern-konnexió és annak legfeljebb hatodrend¶ de-riváltjai segítségével megadhatók az s projektív invariánsra olyan Q1, . . . , Q7 polinomok, hogy egy nem parallelizálható 3-szövet pontosan akkor linearizálható, ha ezen polinomok-nak van közös zérushelye. Ekkor minden olyan p∈ M és L0 ∈Ep prelinearizáció esetén, melynek sp bázisa A = {Qi = 0|i = 1, . . . ,7}-beli, létezik olyan L linearizáció, melyre Lp =L0.
AzA-t deniáló polinomok vizsgálatából adódik az alábbi
4.3.6. Tétel. [107, Theorem 5.2] Egy nem parallelizálható 3-szövetnek legfeljebb 15nem projektív ekvivalens linearizációja lehet.
T.H. Gronwall által 1912-ben megfogalmazott sejtés [47], miszerint egy linearizálható de nem parallelizálható 3-szövet a síkon projektív transzformációk erejéig legfeljebb egyféleképpen linearizálható a fenti eredmény alapján azt jelenti, hogy nem parallelizál-ható 3-szövetek esetén a Q1, ..., Q7 polinomok legnagyobb közös osztójának a fokszáma legfeljebb 1.
4.4. A vitatott 3-szövet és linearizációja
2006-ban jelent meg a [44] cikk, melyben V.V. Goldberg és V.V. Lychagin 3-szövetek linearizálhatóságát vizsgálta. Eredményeik eltértek a [106] eredményeit®l. Cikkükben azt állították, hogy 3-szövetek linearizálhatóságára vonatkozó feltételrendszerünk hiányos, il-letve hibás ([43, page 171] és [44, page 70]) anélkül, hogy állításaikat érvekkel alátámasz-tották volna. A meglehet®sen agresszív kritikájuk igazolására az alábbi 3-szövetet adták példaként, melyben a W szövetet deniáló három görbesereg:
x=const, y =const, (x+y)e−x =const. (4.2) E konkrét példa szerepelt a [106]-os cikkünkben, melyben a 4.3.5 tétel alapján azt az ered-ményt kaptuk, hogy a kérdéses 3-szövet linearizálható, viszont V.V. Goldberg és V.V. Ly-chagin kés®bbi eredményei alapján a kérdéses szövet nem linearizálható. A vitatott 3-szövet vizsgálatának szentelt [116] cikkben részletesen megvizsgálom a linearizálhatóság feltételét, bizonyítom az Lan deformációs tenzor létezését és megadom azt a ∇L görbü-letmentes lineáris konnexiót, mely meg®rzi a szövetet. Az eredmények igazolják a szövet linearizálhatóságát.
A kérdéses 3-szövet linearizálhatóságának igazolására van egy direkt bizonyítás is, mely konkrétan megadja a linearizáló dieomorzmust. Az x¯ = f(x, y), y¯ = y által meghatározott transzformáció ugyanis linearizálja a 3-szövetet, ami alátámasztja a [107]
állításait. Ezt az eredményt kiváló francia kollégám, J.-P. Dufour küldte meg levelezésünk során.
Irodalomjegyzék
[1] M. Ackermann and R. Herman, editors.: Sophus Lie's 1880 transformation gro-up paper. Math Sci Press, Brookline, Mass., 1975. In part a translation of The-orie der Transformations-gruppen by S. Lie [Math. Ann. 16 (1880), 441528], Translated by Michael Ackerman, Comments by Robert Hermann, Lie Groups:
History, Frontiers and Applications, Vol. I.
[2] S. I. Agafonov.: Gronwall's conjecture for 3-webs with innitesimal symmetries.
Arxiv preprint, math.DG, math/1411.0874, 2014.
[3] S. I. Agafonov.: Counterexample to gronwall's conjecture. Arxiv preprint, ma-th.DG, math/1708.01996, 2017.
[4] J. C. Álvarez Paiva.: Symplectic geometry and Hilbert's fourth problem. J. Dif-ferential Geom., 69 (2): 353378, 2005.
[5] I. Anderson and G. Thompson.: The inverse problem of the calculus of variations for ordinary dierential equations. Mem. Amer. Math. Soc., 98 (473): vi+110, 1992.
[6] I. M. Anderson.: Aspects of the inverse problem to the calculus of variations.
Arch. Math. (Brno), 24 (4): 181202, 1988.
[7] P. L. Antonelli, R. S. Ingarden, and M. Matsumoto.: The theory of sprays and Finsler spaces with applications in physics and biology, volume 58 of Fundamental Theories of Physics. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1993.
[8] V. Arnold.: Sur la géométrie diérentielle des groupes de Lie de dimension innie et ses applications à l'hydrodynamique des uides parfaits. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 16 (fasc. 1): 319361, 1966.
[9] D. Bao, S. Chern, and Z. Shen.: An Introduction to Riemann-Finsler Geometry.
Graduate Texts in Mathematics. Springer New York, 2000.
[10] D. Bao and C. Robles.: Ricci and ag curvatures in Finsler geometry. In A sampler of Riemann-Finsler geometry, volume 50 of Math. Sci. Res. Inst. Publ., page 197259. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2004.
[11] D. Bao, C. Robles, and Z. Shen.: Zermelo navigation on Riemannian manifolds.
J. Dierential Geom., 66 (3): 377435, 2004.
[12] D. Bao and Z. Shen.: Finsler metrics of constant positive curvature on the Lie group S3. J. London Math. Soc. (2), 66 (2): 453467, 2002.
[13] W. Barthel.: Nichtlineare Zusammenhänge und deren Holonomiegruppen. J.
Reine Angew. Math., 212: 120149, 1963.
[14] M. Berger.: Sur les groupes d'holonomie homogène des variétés à connexion ane et des variétés riemanniennes. Bull. Soc. Math. France, 83: 279330, 1955.
[15] L. Berwald.: On Finsler and Cartan geometries. III. Two-dimensional Finsler spaces with rectilinear extremals. Ann. of Math. (2), 42: 84112, 1941.
[16] W. Blaschke.: Einführung in die Geometrie der Waben. Birkhäuser Verlag, Basel und Stuttgart, 1955.
[17] G. Bol.: Topologische fragen der dierentialgeometrie. 31: Geradlinige kurven-gewebe. Abh. Math. Semin. Univ. Hamb., 8: 264270, 1930.
[18] A. Borel and A. Lichnerowicz.: Groupes d'holonomie des variétés riemanniennes.
C. R. Acad. Sci. Paris, 234: 18351837, 1952.
[19] M. N. Boyom.: Foliations-webs-hessian geometry-information geometry-entropy and cohomology. Entropy, 18 (12): Paper 433, 2016.
[20] R. Bryant.: Recent advances in the theory of holonomy. Astérisque, 266: Exp.
No. 861, 5, 351374, 2000. Séminaire Bourbaki, Vol. 1998/99.
[21] R. L. Bryant.: Projectively at Finsler 2-spheres of constant curvature. Selecta Math. (N.S.), 3 (2): 161203, 1997.
[22] R. L. Bryant.: Some remarks on Finsler manifolds with constant ag curvature.
Houston J. Math., 28 (2): 221262, 2002. Special issue for S. S. Chern.
[23] R. L. Bryant, S. Chern, R. B. Gardner, H. L. Goldschmidt, and P. Griths.:
Exterior dierential systems, volume 18 of Mathematical Sciences Research Ins-titute Publications. New York etc.: Springer-Verlag, 1991.
[24] S. Bácsó and Z. Szilasi.: On the projective theory of sprays. Acta Math. Acad.
Paedagog. Nyházi. (N.S.), 26 (2): 171207, 2010.
[25] I. Bucataru and M. F. Dahl.: Semi-basic 1-forms and Helmholtz conditions for the inverse problem of the calculus of variations. J. Geom. Mech., 1 (2): 159180, 2009.
[26] E. Cartan and J. A. Schouten.: On the geometry of the group-manifold of simple and semi-simple groups. Proc. Akad. Wet. Amsterdam, 29: 803815, 1926.
[27] S.-S. Chern.: Finsler geometry is just Riemannian geometry without the quad-ratic restriction. Notices Amer. Math. Soc., 43 (9): 959963, 1996.
in Mathematics. World Scientic Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2005.
[29] M. Crampin.: Isotropic and R-at sprays. Houston J. Math., 33 (2): 451459, 2007.
[30] M. Crampin.: On the inverse problem for sprays. Publ. Math. Debrecen, 70 (3-4):
319335, 2007.
[31] M. Crampin.: Some remarks on the Finslerian version of Hilbert's fourth prob-lem. Houston J. Math., 37 (2): 369391, 2011.
[32] M. Crampin, T. Mestdag, and D. Saunders.: The multiplier approach to the projective nsler metrizability problem. Dier. Geom. Appl., 30 (6): 604621, 2012.
[33] M. Crampin, T. Mestdag, and D. Saunders.: Hilbert forms for a nsler metrizable projective class of sprays. Dier. Geom. Appl., 31 (1): 6379, 2013.
[34] M. Crampin, G. E. Prince, W. Sarlet, and G. Thompson.: The inverse problem of the calculus of variations: separable systems. Acta Appl. Math., 57 (3): 239254, 1999.
[35] S. Deng and Z. Hou.: Invariant Finsler metrics on homogeneous manifolds. J.
Phys. A, 37 (34): 82458253, 2004.
[36] J. Douglas.: Solution of the inverse problem of the calculus of variations. Trans.
Amer. Math. Soc., 50: 71128, 1941.
[37] M. Eastwood and V. Matveev.: Metric connections in projective dierential geo-metry. In Symmetries and overdetermined systems of partial dierential equa-tions, volume 144 of IMA Vol. Math. Appl., page 339350. Springer, New York, 2008.
[38] C. Ehresmann.: Les connexions innitésimales dans un espace bré diérentiab-le. In Colloque de topologie (espaces brés), Bruxelles, 1950, page 2955. Georges Thone, Liège; Masson et Cie., Paris, 1951.
[39] A. Frölicher and A. Nijenhuis.: Theory ot vector-valued dierential forms. i:
Derivations in the graded ring of dierential forms. Nederl. Akad. Wet., Proc., Ser. A, 59: 338350, 351359, 1956.
[40] R. Ghanam, G. Thompson, and E. J. Miller.: Variationality of four-dimensional Lie group connections. J. Lie Theory, 14 (2): 395425, 2004.
[41] C. Godbillon.: Géométrie diérentielle et mécanique analytique. Hermann, Paris, 1969.
[42] V. V. Goldberg.: On a linearizability condition for a three-web on a two-dimensional manifold. In Dierential geometry (Peñí scola, 1988), volume 1410 of Lecture Notes in Math., page 223239. Springer, Berlin, 1989.
[43] V. V. Goldberg and V. V. Lychagin.: On linearization of planar three-webs and Blaschke's conjecture. C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 341 (3): 169173, 2005.
[44] V. V. Goldberg and V. V. Lychagin.: On the Blaschke conjecture for 3-webs. J.
Geom. Anal., 16 (1): 69115, 2006.
[45] P. A. Griths.: Variations on a theorem of Abel. Invent. Math., 35: 321390, 1976.
[46] J. Grifone.: Structure presque-tangente et connexions. I. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 22 (1): 287334, 1972.
[47] T. H. Gronwall.: Sur les équations entre trois variables représentables par des nomogrammes à points alignés. Journ. de Math. (6), 8: 59102, 1912.
[48] M. R. Herman.: Sur le groupe des diéomorphismes du tore. Ann. Inst. Fou-rier (Grenoble), 23 (2): 7586, 1973. Colloque International sur l'Analyse et la Topologie Diérentielle (Colloques Internationaux CNRS, Strasbourg, 1972).
[49] A. Hénaut.: Sur la linéarisation des tissus de C2. Topology, 32 (3): 531542, 1993.
[50] A. Hénaut.: Analytic web geometry. In Web theory and related topics (Toulouse, 1996), page 647. World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2001.
[51] D. D. Joyce.: Compact manifolds with special holonomy. Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press, Oxford, 2000.
[52] Y. Katznelson.: An introduction to harmonic analysis. Cambridge Mathematical Library. Cambridge University Press, Cambridge, third edition, 2004.
[53] J. Klein.: On variational second order dierential equations; polynomial case.
In Dierential geometry and its applications (Opava, 1992), volume 1 of Math.
Publ., page 449459. Silesian Univ. Opava, Opava, 1993.
[54] J. Klein and A. Voutier.: Formes extérieures génératrices de sprays. Ann. Inst.
Fourier (Grenoble), 18 (fasc. 1): 241260, 1968.
[55] S. Kobayashi.: Transformation groups in dierential geometry. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1972. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 70.
[56] L. Kozma.: On Landsberg spaces and holonomy of Finsler manifolds. In Finsler geometry (Seattle, WA, 1995), volume 196 of Contemp. Math., page 177186.
Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1996.
[57] L. Kozma.: Holonomy structures in Finsler geometry. In Handbook of Finsler geometry. Vol. 1, 2, page 445488. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2003.
of Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Pro-vidence, RI, 1997.
[59] O. Krupková.: A note on the Helmholtz conditions. In Dierential geometry and its applications, (Brno, 1986), page 181188. Univ. J. E. Purkyn¥, Brno, 1987.
[60] O. Krupková.: Variational metric structures. Publ. Math. Debrecen, 62 (3-4):
461495, 2003.
[61] O. Krupková and G. E. Prince.: Second order ordinary dierential equations in jet bundles and the inverse problem of the calculus of variations. In Handbook of global analysis, pages 837904, 1215. Elsevier Sci. B. V., Amsterdam, 2008.
[62] B. Li and Z. Shen.: On a class of projectively at Finsler metrics with constant ag curvature. Internat. J. Math., 18 (7): 749760, 2007.
[63] M. Matsumoto.: Foundations of Finsler geometry and special Finsler spaces.
Kaiseisha Press, Shigaken, 1986.
[64] Matsumoto M., Every path space of dimension two is projectively related to a Finsler space, Open System and Information Dynamics 3 no.3 (1995), 291303.
[65] V. S. Matveev.: On projective equivalence and pointwise projective relation of Randers metrics. Internat. J. Math., 23 (9): 1250093, 14, 2012.
[66] V. S. Matveev.: There exist no locally symmetric Finsler spaces of positive or negative ag curvature. C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 353 (1): 8183, 2015.
[67] M. Mauhart and P. W. Michor.: Commutators of ows and elds. Arch. Math.
(Brno), 28 (3-4): 229236, 1992.
[68] T. Mestdag.: Finsler geodesics of Lagrangian systems through Routh reduction.
Mediterr. J. Math., 13 (2): 825839, 2016.
[69] P. W. Michor.: Gauge theory for ber bundles, volume 19 of Monographs and Textbooks in Physical Science. Lecture Notes. Bibliopolis, Naples, 1991.
[70] P. T. Nagy.: Invariant tensorelds and the canonical connection of a 3-web.
Aequationes Math., 35 (1): 3144, 1988.
[71] S. Numata.: On Landsberg spaces of scalar curvature. J. Korean Math. Soc., 12 (2): 97100, 1975.
[72] H. Omori.: Innite-dimensional Lie groups, volume 158 of Translations of Ma-thematical Monographs. American MaMa-thematical Society, Providence, RI, 1997.
Translated from the 1979 Japanese original and revised by the author.
[73] J. Patera, R. T. Sharp, P. Winternitz, and H. Zassenhaus.: Invariants of real low dimension Lie algebras. J. Mathematical Phys., 17 (6): 986994, 1976.
[74] J. V. Pereira and L. Pirio.: An invitation to web geometry, volume 2 of IMPA Monographs. Springer, Cham, 2015.
[75] A. Rapcsák.: Über die bahntreuen abbildungen metrischer räume. Publ. Math., 8: 285290, 1961.
[76] A. Rapcsák.: Die Bestimmung der Grundfunktionen projektiv-ebener metrischer Räume. Publ. Math. Debrecen, 9: 164167, 1962.
[77] H. Rund.: The dierential geometry of Finsler spaces. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Bd. 101. Springer-Verlag, Berlin-Göttingen-Heidelberg, 1959.
[78] W. Sarlet.: The Helmholtz conditions revisited. A new approach to the inverse
[78] W. Sarlet.: The Helmholtz conditions revisited. A new approach to the inverse