3. LTM modell vs. input-output modell
3.3 Input-output modell
Az input-output modellt az LTM egy sajátos eseteként értelmezem Zalai (2012) nyomán, ahol a termékek és az alaptevékenységek közti kapcsolatok kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetőek egymásnak. LTM környezetben ez azt jelenti, hogy a kibocsátási együtthatók mátrixa az egy egységmátrix, ebből adódik, hogy nincs technológiai választék (egy terméket csak egy technológia állít elő) és nincs ikertermelés sem (egy technológia csak egy terméket bocsát ki). E korlátozások miatt az input-output elemzést elsősorban nagyobb termelőrendszerek, vagy a teljes makrogazdaság vizsgálata során szokás alkalmazni. Ilyenkor az egyes alaptevékenységeknek a nemzetgazdaság, vagy a nagyobb termelőrendszer ágazatai felelnek meg. Valóban, egy ágazat kibocsátását többnyire nem állítja elő egy másik ágazat.
Az input-output modell technológiai lehetőségének halmazát, az LTM-hez hasonlóan, három mátrix segítségével írhatjuk le. KEnn egy egységmátrix, azaz a kibocsátási együtthatók mátrixa.
Mindezek miatt célszerű az egyes alaptevékenységek intenzitását a bruttó kibocsátással mérni, így
61
R mátrix írja le a termékráfordítási együtthatókat. aij megmutatja, hogy egységnyi j-edik termék előállításához mennyi i-edik termék szükséges. aii 0 esetén az i-edik alaptevékenység, mint ágazat saját termékét is felhasználja. Ez a helyzet például egy olyan farmergazdaságban, mely a megtermelt növények egy részét vetőmagként hasznosítja. Az input-output modellben a termelési eljárások, vagy ágazatok között nincs mód a helyettesítésre. Ennek következtében a termékráfordítási együtthatók mátrixa is négyzetes lesz. Dln az elsődleges erőforrásfelhasználási együttható mátrixa. dki megmutatja, hogy egységnyi i-edik ágazati kibocsátás előállításához mennyi k-adik elsődleges erőforrás szükséges. Elsődleges erőforrásként szerepelhet továbbra is a villamosenergia, vagy a bérköltség.
Az 𝐱 = 𝐀𝐱 + 𝐲 primális alapegyenletben végső felhasználást az yRn vektor írja le. Elemei megadják, hogy egyes ágazatok termékéből mennyi kerül értékesítésre a fogyasztók számára, és mennyi készletre. Elképzelhető, hogy az i-edik ágazat végső felhasználása nulla (𝐲𝑖= 0), ám kibocsátását termékráfordításként más ágazat felhasználja.
A fentiekből következően az input-output modell adatigénye szerényebb, mint az LTM modellé.
Vállalati szinten a szükséges adatok akár a vállalat számviteli rendszeréből kinyerhetők, makroszinten pedig az ágazati kapcsolatok mérlegéből. Ehhez egy az ágazati kapcsolatok mérlegéhez (ÁKM) hasonló séma szükséges, melyet az ÁKM terminológiáját felhasználva a 7. táblázat mutat be.
A sorokban jelenik meg az egyes tevékenységek bruttó kibocsátása (x), és annak felhasználása. Az oldalsó szárny oszlopaiban a végső felhasználás jellemző tételei tüntethetők fel (pl: értékesítés, készletváltozás). Számomra ezek összege érdekes, melyet az y vektorban foglalok össze. Az oszlopösszegek az egyes tevékenységekből származó bruttó bevételt jelenítik meg, míg az oszlop egyes elemei megadják, hogy a termelési költség mely elemeit finanszírozza a bruttó bevétel. Mivel a modell két mérleget tartalmaz, a belső négyzet alatt és mellett, a sor és oszlopösszegeknek meg kell egyezniük. Ennek érdekében mind az oldalsó, mind pedig az alsó szárnyon egy-egy helyesbítő tételt szokás alkalmazni. Az oldalsó szárnyon ez a készletváltozás, míg az alsó szárnyon az ágazat nettó működési eredménye. Az LTM-mel ellentétben többnyire nominális nagyságban adják meg az adatokat, ám az eredmény naturális mértékegységben is értelmezhető.
7. táblázat: Egy általános input-output modell sémája Tevékenységek, ill.
Forrás: saját szerkesztés Zalai (2012, 177. p.) nyomán
62
Az A és D együttható mátrixokat úgy képezzük, hogy az X (az nxn-es belső négyzet) és H (az lxn-es alsó szárny) mátrixok elemeit elosztjuk az x oszlopösszegekkel, az alábbi képletek felhasználásával 𝑎𝑖𝑗 =𝑥𝑖𝑗
𝑥𝑗 és 𝑑𝑘𝑗=ℎ𝑘𝑗
𝑥𝑗.
Az input-output modell primál és duál alapegyenletei a következőképp írhatók fel (Zalai, 2012):
Primális alapegyenlet 𝐱 = 𝐀𝐱 + 𝐲 (16)
Duális alapegyenlet 𝐩 = 𝐩𝐀 + 𝐜 (17)
ahol az oldalsó szárnyon szereplő tételeket az y vektorban összegeztük, továbbá az alsó szárnyon adódó együtthatókat a c vektorban összegeztünk: kibocsátása során képződő hozzáadott- vagy fajlagos hozzáadott értéknek nevezünk. Ebből kell finanszírozni az alaptevékenység folytatásához szükséges elsődleges erőforrások költségét, beleértve az ágazati nyereséget is.
Felmerül a kérdés, hogy a (16) primális alapegyenlet esetén egyáltalán létezik-e olyan 𝐱 ≥ 0 vektor, mely esetén igaz az, hogy y vektor elemei pozitívak lesznek. Ez a termelési rendszer produktivitásának kérdése. Egy termelő rendszer akkor és csak akkor produktív, ha létezik olyan 𝐱 ≥ 0 bruttó kibocsátási vektor, melyre igaz, hogy 𝐱 > 𝐀𝐱, azaz a bruttó kibocsátások meghaladják az ezek előállításához szükséges termékráfordítások mértékét. Ekkor minden termékből keletkezik nettó kibocsátás, tehát az y vektor elemei pozitívak lesznek. Az értekezés további részében felteszem, hogy a vállalat termelőrendszere kielégíti Gale (1960) ezen produktivitási feltételét. Ez az LTM modellben azt jelenti, hogy létezik az alaptevékenységeknek egy olyan 𝐱 ≥ 0 kombinációja, melyre 𝐊𝐱 > 𝐑𝐱 teljesül.
A produktivitás Gale-féle duális feltétele szerint egy termelő rendszer akkor és csak akkor produktív, ha létezik olyan 𝐩 ≥ 0 vektor, mely esetén 𝐩 > 𝐩𝐀, azaz minden termék termelése során keletkezik pozitív hozzáadott érték. Az imént meghatározott Gale-féle primális produktivitás definíciója és a duális produktivitás definíciója ekvivalensek24. Mindkettő az A termékráfordítási együttható mátrix által leírt termelési rendszer produktivitásának feltétele.
Az input-output modell arra ad választ, hogy mi lesz a végső felhasználás, illetve fajlagos hozzáadott érték változásának hatása az egyes tevékenységek termelési (x) szintjére, illetve költségindexeire (p).
A modell komparatív statikus elemzésekhez biztosít lehetőséget. Ennek érdekében a (16) és (17) alapegyenletet átrendezve az alábbiakat kapjuk (𝐄 − 𝐀)𝐱 = 𝐲, illetve 𝐩(𝐄 − 𝐀) = 𝐜, ahol az (𝐄 − 𝐀) együttható mátrixot más néven Leontief mátrixnak nevezzük, melynek az inverze a Leontief-inverz.
Utóbbi egyenleteket a Leontief-inverzzel beszorozva, az alábbiakat kapjuk 𝐱 = (𝐄 − 𝐀)−𝟏𝐲 (18) 𝐩 = 𝐜(𝐄 − 𝐀)−𝟏 (19)
A (18) egyenlet tehát a végső felhasználás függvényében adja meg a bruttó kibocsátásokat, míg a (19) egyenlet a fajlagos hozzáadott értékek függvényében az ágazati költségindexeket. Megjegyzendő továbbá, hogy az így kapott nagyságok biztosan nemnegatívak, amennyiben az (𝐄 − 𝐀)−𝟏 Leontief-inverz elemei nemnegatívak. Ekkor és csakis ekkor A egy produktív termelőrendszer együtthatómátrixa, a produktivitás Gale-féle értelmében.
24 A primális és duális produktivitás ekvivalenciájának bizonyítást lásd Zalai (2012, 151-174.) könyvében.
63