következőképp változik az idővel: , ha ; , ha ; ,
ha (24. ábra). A pillanatig a rendszer az egyensúlyi helyzetében nyugszik.
Megoldás. A intervallumban a kezdeti feltételt kielégítő rezgések
alakúak. Ha , akkor a megoldást
alakban keressük. Abból a feltételből, hogy és folytonos a helyen,
adódik. A rezgés amplitúdója
Megemlítjük, hogy az amplitúdó annál kisebb, minél lassabban kapcsoljuk be -t (azaz minél nagyobb ).
5.3. ábra - 24. ábra.
V. fejezet KIS REZGÉSEK
5.4. ábra - 25. ábra.
3. Oldjuk meg ugyanezt a feladatot meghatározott ideig tartó állandó erő esetében (25. ábra).
Megoldás. Hasonlóan járhatnánk el, mint a 2. feladatban, azonban még egyszerűbb, ha a (22,10) képletet használjuk fel. esetére az helyzet körüli szabad rezgést kapunk; ekkor
és abszolút értékének négyzete adja az amplitúdót a összefüggés szerint. Végeredményül
adódik.
V. fejezet KIS REZGÉSEK
4. Oldjuk meg ugyanezt a feladatot olyan erő esetén, amely nullától -ig az összefüggésnek megfelelően hat (26. ábra).
5.5. ábra - 26. ábra.
5.6. ábra - 27. ábra.
Megoldás. Az előbbi módszerrel:
5. Oldjuk meg ugyanezt a feladatot olyan erőre, amely a nullától a ideig szerint változik (27. ábra).
Megoldás. Az
V. fejezet KIS REZGÉSEK
kifejezést beírva (22,10)-be és nullától -ig integrálva:
3. 23.§. A sok szabadsági fokú rendszerek rezgései
A több ( ) szabadsági fokú rendszerek szabad rezgéseinek elméletét hasonlóan építhetjük fel, mint azt a 21.§-ban az egydimenziós rezgéseknél tettük.
Legyen az potenciális energiának mint a általános koordináták függvényének
minimuma a helyen. Vezessük be az
5.26. egyenlet - (23,1)
kis elmozdulásokat, és fejtsük sorba -t ezek szerint másodrendű tagokig;így a potenciális energiát pozitív definit kvadratikus alakként kapjuk meg:
5.27. egyenlet - (23,2)
Itt a potenciális energiát ismét a minimális értéktől számítjuk. Minthogy a és együtthatók ugyanazon mennyiség mellettállnak szorzóként, világos, hogy mindig szimmetrikusaknak tekinthetők az indexeikben:
Ugyanakkor a kinetikus energia a legáltalánosabb esetben
alakú [lásd az (5,5) képletet], és az együtthatóban a helyettesítést végzünk, majd az állandókat -val jelöljük. Ezzel a kinetikus energiát pozitív definit kvadratikus alakként kapjuk meg:
5.28. egyenlet - (23,3)
Az együtthatók szintén mindig szimmetrikusaknak vehetők:
V. fejezet KIS REZGÉSEK
Így tehát a szabad kis amplitúdójú rezgést végző rendszer Lagrange-függvénye:
5.29. egyenlet - (23,4)
Állítsuk most elő a mozgásegyenleteket. A szükséges deriváltak meghatározásához írjuk fel a Lagrange-függvény teljes differenciálját:
Mivel az összeg természetesen nem függ attól, hogyan jelöljük az összegező indexeket, a zárójelben levő első és harmadik tagban cseréljük fel a és indexeket; figyelembe véve az és együtthatók szimmetrikus voltát:
Ebből látható, hogy
Ezért a Lagrange-egyenletek:
5.30. egyenlet - (23,5)
Ezek számú ( , , …, ) állandó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenletből álló rendszert alkotnak.
Az ilyen differenciálegyenletek megoldásának általános szabálya szerint keressünk számú ismeretlen függvényt
5.31. egyenlet - (23,6)
alakban, ahol az együtthatók egyelőre határozatlan állandók. Beírva(23,6)-ot a (23,5) rendszerbe, -vel való egyszerűsítés után homogén lineáris algebrai egyenletrendszert kapunk az együtthatókra:
5.32. egyenlet - (23,7)
V. fejezet KIS REZGÉSEK
Ahhoz, hogy ennek a rendszernek legyen zérustól különböző megoldása, a determinánsának nullának kell lennie:
5.33. egyenlet - (23,8)
A (23,8) karakterisztikus egyenlet -re vonatkozóan -edfokú egyenlet. Ennekáltalában különböző valós pozitív gyöke van ( , , …, ). Speciális esetben bizonyos gyökök megegyezhetnek egymással.
Az ily módon meghatározott mennyiségeket a rendszer sajátfrekvenciáinak nevezzük.
A (23,8) egyenlet gyökeinek valós és pozitív volta eleve nyilvánvaló fizikai meggondolásokból. Valóban, ha volna -nak képzetes része, ez azt jelentené, hogy (23,6) koordinátáinak időfüggésében (s velük együtt az sebességekében is) exponenciálisan csökkenő vagy növekvő szorzó is megjelenne. Az adott esetben azonban ez nem lehetséges, mert azt eredményezné, hogy a rendszer teljes energiája változna az időben, ellentétben az energiamegmaradás törvényével.
Ugyanerről tisztán matematikai úton is meggyőződhetünk. Szorozzuk meg a (23,7) egyenletet -gal, ezután összegezzünk az index szerint; így:
ahonnan
Ennek a kifejezésnek a számlálójában és nevezőjében fellépő kvadratikus alakok valósak; ez abból következik, hogy az és együtthatók valósak és szimmetrikusak:
A két kifejezés pozitív is, s ezért szintén pozitív.6
Miután az frekvenciákat megtaláltuk, mindegyiket beírva a ((23,7) egyenletbe, megkapjuk az együtthatók megfelelő értékeit. Ha a karakterisztikus egyenlet minden gyöke különböző, akkor, mint ismeretes, az együtthatók a (23,8) determináns olyan aldeterminánsaival arányosak, amelyekben -t a
6 Az, hogy a együtthatókkal képzett kvadratikus alak valós értékű változókra pozitív definit, nyilvánvaló a (23,2) definícióból. De ha az komplex mennyiségeket expliciten alakba írjuk, akkor (ismét szimmetriája miatt):
V. fejezet KIS REZGÉSEK
megfelelő -val helyettesítettük; jelölje ezeket az aldeterminánsokat. A (23,5) differenciálegyenlet-rendszer partikuláris megoldása tehát
alakú, ahol tetszőleges (komplex) állandó.
Az általános megoldást az partikuláris megoldás összege szolgáltatja. Áttérve a valós részre, írjuk ezt
5.34. egyenlet - (23,9)
alakba, ahol bevezettük a
5.35. egyenlet - (23,10)
jelölést.
Így tehát a rendszer minden koordinátájának időbeli változása a tetszőleges amplitúdójú és fázisú, de jól meghatározott frekvenciájú , , …, egyszerű periodikus rezgések szuperpozíciójával írható le.
Természetesen merül fel a kérdés, nem lehet-e úgy megválasztani az általános koordinátákat, hogy mindegyik csak egy egyszerű rezgést végezzen. Maga a (23,9) általános megoldás mutat rá, hogy miként oldjuk meg ezt a feladatot.
Valóban, tekintsük a (23,9) számú összefüggést mint egyenletrendszert az számú ismeretlen mennyiségre; megoldva ezt a rendszert, a , , …, mennyiségeket az , , …, koordinátákkal fejezhetjük ki. Következésképpen a -kat új általános koordinátáknak tekinthetjük. Ezeket normálkoordinátáknak nevezzük, az általuk végzett egyszerű periodikus rezgések pedig a rendszer normálrezgései.
A normálkoordináták, amint ez az értelmezésükből nyilvánvaló, a
5.36. egyenlet - (23,11)
egyenleteknek tesznek eleget. Ez azt jelenti, hogy normálkoordinátákban a mozgásegyenletek egymástól független egyenletre esnek szét. Minden normálkoordináta gyorsulása csak a szóban forgó koordinátaértékétől függ, és a normálkoordináta időtől való függésének teljes meghatározásához csak ugyanannak a koordinátának és a megfelelő sebességnek a kezdeti értékét kell tudnunk. Más szóval a rendszer normálrezgései teljesen függetlenek egymástól.
A mondottakból nyilvánvaló, hogy a normálkoordinátákkal kifejezett Lagrange-függvény frekvenciájú egydimenziós rezgések összegére bomlik fel, azaz
5.37. egyenlet - (23,12)
V. fejezet KIS REZGÉSEK
alakú, ahol az tényezők pozitív állandók. Matematikai szempontból ez azt jelenti, hogy a (23,9) transzformáció mindkét kvadratikus alakot – a (23,3) kinetikus és a (23,2) potenciális energiát – egyidejűleg diagonális alakra hozza.
Rendszerint úgy választjuk meg a normálkoordinátákat, hogy a Lagrange-függvényben a sebességek együtthatója -del legyen egyenlő. Ehhez elég, ha bevezetjük a
5.38. egyenlet - (23,13)
új normálkoordinátákat. Ekkor
Mindez nem sokat változik abban az esetben, mikor a karakterisztikus egyenlet gyökei között többszörös gyökök is vannak. A mozgásegyenletek általános megoldásának (23,9) és (23,10) általános alakja ugyanolyan marad, azzal a különbséggel, hogy a többszörös gyököknek megfelelő együtthatók most már nem a determináns aldeterminánsai, mert azok, mint ismeretes, ebben az esetben nullák.7
Minden többszörös (vagy elfajult) frekvenciának annyi különböző normálkoordináta felel meg, amennyi a multiplicitása; e normálkoordináták választása nem egyértelmű. Minthogy az azonos -hoz tartozó normálkoordináták a kinetikus és a potenciális energiában azonosan transzformálódó és
alakban jelennek meg, alávethetők tetszőleges olyan lineáris transzformációnak, amellyel a négyzetösszegük invariáns marad.
Igen egyszerűen megtalálhatók az állandó külső térben mozgó egyetlen tömegpont háromdimenziós rezgéseinek normálkoordinátái. Helyezzük a Descartes-féle koordináta-rendszer kezdőpontját az potenciális energia minimumának pontjába; ekkor a potenciális energiát az , , változók kvadratikus alakjaként kapjuk meg, és a kinetikus energia:
( a részecske tömege) nem függ a koordinátatengelyek irányításától. Ezért a tengelyek megfelelő elforgatása diagonális alakra hozza a potenciális energiát. Ekkor
5.39. egyenlet - (23,14)
és az , , tengelyek menti rezgések normálrezgések, amelyeknek frekvenciái:
7Az, hogy az általános megoldásban nem lehetnek olyan tagok, amelyek az exponenciális mellett időhatványszorzókat is tartalmaznak,
V. fejezet KIS REZGÉSEK
Abban a speciális esetben, amikor a tér gömbszimmetrikus ( , ) ez a
három frekvencia megegyezik (lásd a 3. feladatot).
A normálkoordináták használata lehetővé teszi, hogy a több szabadsági fokú rendszerek kényszerrezgéseinek tárgyalását visszavezessük az egydimenziós kényszerrezgések tárgyalására. A rendszer Lagrange-függvénye a változó külső erő hatását is figyelembe véve:
5.40. egyenlet - (23,15)
ahol a szabad rezgések Lagrange-függvénye. Az koordináták helyett normálkoordinátákat bevezetve:
5.41. egyenlet - (23,16)
ahol bevezettük az
jelölést. Ennek megfelelően a
5.42. egyenlet - (23,17)
mozgásegyenletek csak egy-egy ismeretlen függvényt tartalmaznak.