Hadamard blokkrendszerek

A négyzetes blokkrendszerek egy másik fontos (végtelen) családja az Hada-mard-féle blokkrendszerek családja.

6.2. Hadamard blokkrendszerek 63 6.2.1. Definíció. A négyzetes2-(4λ+ 3,2λ+ 1, λ)blokkrendszereket

Hada-mard-féle blokkrendszernek hívjuk. 2

6.2.2. Definíció. Egyn×n-esH mátrixotHadamard-mátrixnak nevezünk,

ha minden eleme±1ésHH^T =nI. 2

Természetesen HH^T = nI-ből H^TH = nI is következik. Az elnevezés onnan származik, hogy Hadamard bizonyította az alábbi determináns-egyen-lőtlenséget :

Ha egyn×n-es mátrix elemeire|aij| ≤1 teljesül, akkor det(A)≤n^n/2 és egyenlőség pontosan akkor áll, ha a mátrix Hadamard-féle.

Az állítás elég szemléletes, hisz det(A)a mátrix sorai által kifeszített pa-rallelotóp térfogata. Minden sorvektor hossza legfeljebb√

nés a parallelotóp térfogata legfeljebb az élek hosszának szorzata. Az is látszik, hogy az egyen-lőséghez szükséges, hogy minden élhossz √

n legyen, valamint hogy a sorok ortogonálisak legyenek egymásra.

6.2.3. Példa. APG_n−1(n,2)projektív tér Hadamard-féle blokkrendszer.

6.2.4. Példa. Az alábbi mátrixok

(1),

A példában szereplő első két mátrixot kivéve az Hadamard-mátrixok mé-rete néggyel osztható. Ehhez vegyük észre, hogy Hadamard-mátrix bármely sorát vagy oszlopát végigszorozhatjuk(−1)-gyel anélkül, hogy elrontanánk a HH^T =nI egyenlőséget. Eszerint feltehető, hogy az Hadamard-mátrix első sora és oszlopa csupa (+1)-ből áll. Ugyanígy a sorok vagy oszlopok cseréje sem befolyásolja az Hadamard tulajdonságot, így azt is feltehetjük, hogy a második sorban (ha van ilyen) először+1-ek, majd−1-ek következnek. Mivel ez a sor ortogonális a csupa egyesből álló első sorra, így máris kapjuk, hogy n= 2m és a második sor elejénm darab (+1)-es és utána mdarab (−1)-es szerepel. Ha van egy további sor, akkor legyenxaz egyesek száma az elsőm pozícióban, y pedig az egyesek száma a másodikm pozícióban. Mivel a sor ortogonális az elsőre kapjuk, hogyx+y=m. A második sorral vett skaláris szorzat pedigx+ (−1)(m−x)−y+ (m−y) = 0. Ebbőlx=y adódik, azaz m= 2x, vagyisnvalóban osztható 4-gyel. Ezzel beláttuk az alábbi tételt : 6.2.5. Tétel. Hadamard-mátrix rendje 1,2 vagy osztható 4-gyel.

Ha az Hadamard-mátrix első sora és oszlopa csupa(+1)-ből áll, akkor azt szokták mondani, hogy normalizált alakban van felírva. Fontos megoldatlan sejtés, hogy minden néggyel oszthatón-re létezik Hadamard-mátrix. Néhány direkt illetve rekurzív konstrukciót mi is látni fogunk. Pillanatnyilag a legki-sebb olyann, amelyre nem ismertn×n-es Hadamard-mátrixn= 428.

A most következő tétel azt mutatja, hogy a fent definiált dolgok nem vé-letlenül kapták ugyanazt a nevet.

6.2.6. Tétel. Pontosan akkor létezik 4n×4n-es Hadamard-mátrix, ha van négyzetes2-(4n−1,2n−1, n−1)blokkrendszer.

Bizonyítás.A 6.2.5. Tétel előtti okoskodás szerint feltehető, hogy az első sor és oszlop csupa (+1)-ből áll, azaz a mátrix normalizált. Töröljük ezt a sort és oszlopot és a maradékban a−1 helyett írjunk 0-t. Könnyen verifikálható, hogy így négyzetes blokkrendszer illeszkedési mátrixát kapjuk. Valóban, min-den megmaradó sorban és oszlopban4n/2 = 2ndb+1volt, amelyből az első oszlopbeli(+1)-t töröltük, tehát a blokkrendszerben r = 2n−1. Ugyanígy a 6.2.5. Tétel bizonyításában azt is láttuk, hogy két sorban4n/4 = nközös +1-es van, amiből λ = n−1. Mivel a struktúra négyzetes, r = k, tehát valóban a kívánt paraméterű blokkrendszert kapjuk. (Jegyezzük meg, hogy sorok helyett oszlopokkal elmondva az okoskodást, a négyzetességre való hi-vatkozás nélkül megkaphattuk volna k-t is.) A másik irányt a konstrukció megfordításával láthatjuk be, igazából az előző irány lépéseinek

megfordítá-sának ellenőrzésével. (l. 6.5. feladat).

Jegyezzük meg, hogy izomorf Hadamard-féle blokkrendszerek ekvivalens mátrixokból származnak, de visszafelé ez nem igaz.

A most következő rekurzív konstrukció nagyon egyszerű.

6.2.7. Állítás. HaH_nn×n-es Hadamard-mátrix,H_mm×m-es Hadamard-mátrix, akkorH_n⊗H_m is Hadamard-mátrix.

Bizonyítás.Csupán a Kronecker-szorzat fogalmát kell felidézni : egyA n×n-es és egyB m×m-es mátrix szorzata a

mátrix. Eszerint az eredmény valóban nm×nm-es mátrix. Két sor ortogo-nalitását kell ellenőriznünk abban a két esetben, amikor a két sor ugyanazon A-beli sornak megfelelő részben van (ekkor aB Hadamard tulajdonsága mi-att lesz ortogonális a két sor), illetve akkor, amikor különböző részben. A

részleteket l. a 6.6. feladatban.

6.2. Hadamard blokkrendszerek 65 Elindulva egy2×2-es Hadamard-mátrixból és ezt önmagával Kronecker-szorozva minden 2-hatványra kapunk Hadamard-mátrixot. Ez a Sylvester-konstrukció, melyről meg lehet mutatni, hogy a neki megfelelő Hadamard blokkrendszer éppen aPG(n,2) projektív tér (l. 6.7. feladat).

Most lássunk egy véges testeket használó direkt konstrukciót.

6.2.8. Példa. Legyen q ≡ 3 (mod 4) prímhatvány. Legyen F = GF(q) a q elemű véges test és S = {u² : 0 6= u} a nemnulla négyzetelemek hal-maza („kvadratikus maradékok”). Definiáljuk aD= (P,B)blokkrendszert a következőképpen :

LegyenP=F,B ={S+x : x∈ F}. Ezt Paley-féle blokkrendszernek nevezik.

Nem magától értetődő, de megmutatható (l. 6.8. feladat), hogy így blokk-rendszert kapunk. A paraméterek : v = q, k = (q−1)/2, λ = (q−3)/4.

Ez utóbbi az, aminek a meghatározása nem triviális. Két ponton, mondjuk u-n és v-n átmenő blokkok számát kell meghatározzuk. Mivel a testelemek-kel való eltolások a struktúra automorfizmusai, így ez ugyanaz, mint a0 és v−uelemeken átmenő blokkok száma. Ugyanígy, mivel a négyzetelemekkel való szorzás is automorfizmus, elég egy rögzített négyzetelemre, mondjukv−

−u = 1-re, és egy rögzített nem-négyzetelemre, mondjuk v−u4 = (−1)-re meghatározni a0, v−upontokon átmenő blokkok számát. Itt azért választ-hattuk a nem-négyzetelemet(−1)-nek, mertq≡3 (mod 4). Magyarán szólva az a kérdés, hogy hány olyanavan, amelyrex²+a= 0, ésy²+a= 1, azaz hányszor leszy²−x² = 1, ha x, y6= 0. A másik esetben ugyanez a kérdés, csak1helyett(−1)-gyel. De ez a két érték megegyezik, hiszen hay²−x²= 1, akkorx²−y² =−1. Tehát van egy minden pontpárra érvényes λérték. Ez azr(=k) =λ(v−1)/(k−1)összefüggésből számolható.

Mivel 12 az a legkisebb rend, amelyre nem lehet a Sylvester konstrukcióval Hadamard-mátrixot gyártani, így erre az esetre konkrétan megadjuk a Paley-konstrukcióval kapható Hadamard-mátrixot.



Mielőtt rátérnénk a bisíkok ismertetésére, jegyezzük meg, hogy az Hada-mard-féle blokkrendszerek mutatják, hogy a 6.1.3. Állításban az alsó becslés végtelen sokszor pontos.