Bej´ar´asok Input egy n cs´ucs´u, m´el˝u gr´af. Az inputm´eretn2, vagy konst·(n+m), a konkr´et adatstrukt´ur´at´ol f¨ugg˝oen. Mivelm≤n2, ez´ertfA(n) pontosan akkor becs¨ulhet˝o n2 egy polinomj´aval, ha konst·(n+m) egy polinomj´aval fel¨ulr˝ol becs¨ulhet˝o. Ez´ert a polinomidej˝us´eg nem f¨ugg att´ol, hogy hogyan is adjuk meg az inputot.
Az algoritmus minden mozzanata egy-egy esethez k¨othet˝o.
Ia Van ´el´ert cs´ucs (u), ´es abb´ol fut el´eretlen cs´ucsba ´el (≤m-szer)
DijkstraInput egy n cs´ucs´u, m´el˝u G = (V,E) gr´af, r ∈V gy¨ok´ercs´ucs ´es egy `:E →R+ hosszfv. Az ´elhosszokat legfeljebb konstans jegy˝u sz´amoknak tekintve az inputm´eret ism´et
konst·(n+m).
Az algoritmus ´elmenti jav´ıt´asokat (legfeljebbm-szer) ill. a K´ESZ halmaz n¨ovel´es´et v´egzi (n-szer). Egyetlen elmenti jav´ıt´as
megoldhat´o konstans sok l´ep´esb˝ol, a K´ESZ halmaz n¨ovel´es´ehez kell m´eg egy minimumk´epz´es is, aholis legfeljebbn elemb˝ol v´alasztunk minimumot. Ez legfeljebbn ¨osszehasonl´ıt´assal megtehet˝o. Ez´ert a Kruskal algoritmus l´ep´essz´ama legfeljebb
konst·m+konst0·n2≤c · |I|2 alkalmas c konstanssal. Teh´at a Dijkstra algoritmus is kvadratikus, vagyispolinomidej˝u.
´Es polinomidej˝u m´eg a t¨obbi tanult gr´afalgoritmus is: Ford, Floyd, PERT, Ford-Fulkerson (Edmonds-Karp kieg´esz´ıt´essel), altern´al´o utas, de ezt m´eg annyira sem ,,bizony´ıtjuk”, mint az el˝obbieket.
Gr´ afalgoritmusok l´ ep´ essz´ ambecsl´ ese
Bej´ar´asok Input egy n cs´ucs´u, m´el˝u gr´af. Az inputm´eretn2, vagy konst·(n+m), a konkr´et adatstrukt´ur´at´ol f¨ugg˝oen. Mivelm≤n2, ez´ertfA(n) pontosan akkor becs¨ulhet˝o n2 egy polinomj´aval, ha konst·(n+m) egy polinomj´aval fel¨ulr˝ol becs¨ulhet˝o. Ez´ert a polinomidej˝us´eg nem f¨ugg att´ol, hogy hogyan is adjuk meg az inputot.
Az algoritmus minden mozzanata egy-egy esethez k¨othet˝o.
Ia Van ´el´ert cs´ucs (u), ´es abb´ol fut el´eretlen cs´ucsba ´el (≤m-szer) Ib Van ´el´ert cs´ucs (u), de nem fut bel˝ole ´el el´eretlenbe (≤n-szer)
DijkstraInput egy n cs´ucs´u, m´el˝u G = (V,E) gr´af, r ∈V gy¨ok´ercs´ucs ´es egy `:E →R+ hosszfv. Az ´elhosszokat legfeljebb konstans jegy˝u sz´amoknak tekintve az inputm´eret ism´et
konst·(n+m).
Az algoritmus ´elmenti jav´ıt´asokat (legfeljebbm-szer) ill. a K´ESZ halmaz n¨ovel´es´et v´egzi (n-szer). Egyetlen elmenti jav´ıt´as
megoldhat´o konstans sok l´ep´esb˝ol, a K´ESZ halmaz n¨ovel´es´ehez kell m´eg egy minimumk´epz´es is, aholis legfeljebbn elemb˝ol v´alasztunk minimumot. Ez legfeljebbn ¨osszehasonl´ıt´assal megtehet˝o. Ez´ert a Kruskal algoritmus l´ep´essz´ama legfeljebb
konst·m+konst0·n2≤c · |I|2 alkalmas c konstanssal. Teh´at a Dijkstra algoritmus is kvadratikus, vagyispolinomidej˝u.
´Es polinomidej˝u m´eg a t¨obbi tanult gr´afalgoritmus is: Ford, Floyd, PERT, Ford-Fulkerson (Edmonds-Karp kieg´esz´ıt´essel), altern´al´o utas, de ezt m´eg annyira sem ,,bizony´ıtjuk”, mint az el˝obbieket.
Gr´ afalgoritmusok l´ ep´ essz´ ambecsl´ ese
Bej´ar´asok Input egy n cs´ucs´u, m´el˝u gr´af. Az inputm´eretn2, vagy konst·(n+m), a konkr´et adatstrukt´ur´at´ol f¨ugg˝oen. Mivelm≤n2, ez´ertfA(n) pontosan akkor becs¨ulhet˝o n2 egy polinomj´aval, ha konst·(n+m) egy polinomj´aval fel¨ulr˝ol becs¨ulhet˝o. Ez´ert a polinomidej˝us´eg nem f¨ugg att´ol, hogy hogyan is adjuk meg az inputot.
Az algoritmus minden mozzanata egy-egy esethez k¨othet˝o.
Ia Van ´el´ert cs´ucs (u), ´es abb´ol fut el´eretlen cs´ucsba ´el (≤m-szer) Ib Van ´el´ert cs´ucs (u), de nem fut bel˝ole ´el el´eretlenbe (≤n-szer) IIa Nincs ´el´ert cs´ucs, de van el´eretlen (≤n-szer)
DijkstraInput egy n cs´ucs´u, m´el˝u G = (V,E) gr´af, r ∈V gy¨ok´ercs´ucs ´es egy `:E →R+ hosszfv. Az ´elhosszokat legfeljebb konstans jegy˝u sz´amoknak tekintve az inputm´eret ism´et
konst·(n+m).
Az algoritmus ´elmenti jav´ıt´asokat (legfeljebbm-szer) ill. a K´ESZ halmaz n¨ovel´es´et v´egzi (n-szer). Egyetlen elmenti jav´ıt´as
megoldhat´o konstans sok l´ep´esb˝ol, a K´ESZ halmaz n¨ovel´es´ehez kell m´eg egy minimumk´epz´es is, aholis legfeljebbn elemb˝ol v´alasztunk minimumot. Ez legfeljebbn ¨osszehasonl´ıt´assal megtehet˝o. Ez´ert a Kruskal algoritmus l´ep´essz´ama legfeljebb
konst·m+konst0·n2≤c · |I|2 alkalmas c konstanssal. Teh´at a Dijkstra algoritmus is kvadratikus, vagyispolinomidej˝u.
´Es polinomidej˝u m´eg a t¨obbi tanult gr´afalgoritmus is: Ford, Floyd, PERT, Ford-Fulkerson (Edmonds-Karp kieg´esz´ıt´essel), altern´al´o utas, de ezt m´eg annyira sem ,,bizony´ıtjuk”, mint az el˝obbieket.
Gr´ afalgoritmusok l´ ep´ essz´ ambecsl´ ese
Bej´ar´asok Input egy n cs´ucs´u, m´el˝u gr´af. Az inputm´eretn2, vagy konst·(n+m), a konkr´et adatstrukt´ur´at´ol f¨ugg˝oen. Mivelm≤n2, ez´ertfA(n) pontosan akkor becs¨ulhet˝o n2 egy polinomj´aval, ha konst·(n+m) egy polinomj´aval fel¨ulr˝ol becs¨ulhet˝o. Ez´ert a polinomidej˝us´eg nem f¨ugg att´ol, hogy hogyan is adjuk meg az inputot.
Az algoritmus minden mozzanata egy-egy esethez k¨othet˝o.
Ia Van ´el´ert cs´ucs (u), ´es abb´ol fut el´eretlen cs´ucsba ´el (≤m-szer) konstans jegy˝u sz´amoknak tekintve az inputm´eret ism´et
konst·(n+m).
Az algoritmus ´elmenti jav´ıt´asokat (legfeljebbm-szer) ill. a K´ESZ halmaz n¨ovel´es´et v´egzi (n-szer). Egyetlen elmenti jav´ıt´as
megoldhat´o konstans sok l´ep´esb˝ol, a K´ESZ halmaz n¨ovel´es´ehez kell m´eg egy minimumk´epz´es is, aholis legfeljebbn elemb˝ol v´alasztunk minimumot. Ez legfeljebbn ¨osszehasonl´ıt´assal megtehet˝o. Ez´ert a Kruskal algoritmus l´ep´essz´ama legfeljebb
konst·m+konst0·n2≤c · |I|2 alkalmas c konstanssal. Teh´at a Dijkstra algoritmus is kvadratikus, vagyispolinomidej˝u.
´Es polinomidej˝u m´eg a t¨obbi tanult gr´afalgoritmus is: Ford, Floyd, PERT, Ford-Fulkerson (Edmonds-Karp kieg´esz´ıt´essel), altern´al´o utas, de ezt m´eg annyira sem ,,bizony´ıtjuk”, mint az el˝obbieket.
Gr´ afalgoritmusok l´ ep´ essz´ ambecsl´ ese
Bej´ar´asok Input egy n cs´ucs´u, m´el˝u gr´af. Az inputm´eretn2, vagy konst·(n+m), a konkr´et adatstrukt´ur´at´ol f¨ugg˝oen. Mivelm≤n2, ez´ertfA(n) pontosan akkor becs¨ulhet˝o n2 egy polinomj´aval, ha konst·(n+m) egy polinomj´aval fel¨ulr˝ol becs¨ulhet˝o. Ez´ert a polinomidej˝us´eg nem f¨ugg att´ol, hogy hogyan is adjuk meg az inputot.
Az algoritmus minden mozzanata egy-egy esethez k¨othet˝o.
Ia Van ´el´ert cs´ucs (u), ´es abb´ol fut el´eretlen cs´ucsba ´el (≤m-szer) Ib Van ´el´ert cs´ucs (u), de nem fut bel˝ole ´el el´eretlenbe (≤n-szer) IIa Nincs ´el´ert cs´ucs, de van el´eretlen (≤n-szer) IIb Nincs se ´el´ert cs´ucs, se el´eretlen (≤1-szer) Az algoritmus megval´os´ıt´asakor a fenti mozzanatok mindegyike val´oj´aban egyn´el t¨obb (de szerencs´ere konstans sok) l´ep´est jelent, ez´ert a l´ep´essz´am legfeljebb konst·(n+m), ami a bemenet m´eret´enek els˝ofok´u polinomj´aval becs¨ulhet˝o, azaz a bej´ar´asi algoritmusok line´arisak, ´ıgypolinomidej˝uek.
DijkstraInput egy n cs´ucs´u, m´el˝u G = (V,E) gr´af, r ∈V gy¨ok´ercs´ucs ´es egy `:E →R+ hosszfv. Az ´elhosszokat legfeljebb konstans jegy˝u sz´amoknak tekintve az inputm´eret ism´et
konst·(n+m).
Az algoritmus ´elmenti jav´ıt´asokat (legfeljebbm-szer) ill. a K´ESZ halmaz n¨ovel´es´et v´egzi (n-szer). Egyetlen elmenti jav´ıt´as
megoldhat´o konstans sok l´ep´esb˝ol, a K´ESZ halmaz n¨ovel´es´ehez kell m´eg egy minimumk´epz´es is, aholis legfeljebbn elemb˝ol v´alasztunk minimumot. Ez legfeljebbn ¨osszehasonl´ıt´assal megtehet˝o. Ez´ert a Kruskal algoritmus l´ep´essz´ama legfeljebb
konst·m+konst0·n2≤c · |I|2 alkalmas c konstanssal. Teh´at a Dijkstra algoritmus is kvadratikus, vagyispolinomidej˝u.
´Es polinomidej˝u m´eg a t¨obbi tanult gr´afalgoritmus is: Ford, Floyd, PERT, Ford-Fulkerson (Edmonds-Karp kieg´esz´ıt´essel), altern´al´o utas, de ezt m´eg annyira sem ,,bizony´ıtjuk”, mint az el˝obbieket.
Gr´ afalgoritmusok l´ ep´ essz´ ambecsl´ ese
DijkstraInput egy n cs´ucs´u, m´el˝u G = (V,E) gr´af, r ∈V gy¨ok´ercs´ucs ´es egy `:E →R+ hosszfv. Az ´elhosszokat legfeljebb konstans jegy˝u sz´amoknak tekintve az inputm´eret ism´et
konst·(n+m).
Az algoritmus ´elmenti jav´ıt´asokat (legfeljebbm-szer) ill. a K´ESZ halmaz n¨ovel´es´et v´egzi (n-szer). Egyetlen elmenti jav´ıt´as
megoldhat´o konstans sok l´ep´esb˝ol, a K´ESZ halmaz n¨ovel´es´ehez kell m´eg egy minimumk´epz´es is, aholis legfeljebbn elemb˝ol v´alasztunk minimumot. Ez legfeljebbn ¨osszehasonl´ıt´assal megtehet˝o. Ez´ert a Kruskal algoritmus l´ep´essz´ama legfeljebb
konst·m+konst0·n2≤c · |I|2 alkalmas c konstanssal. Teh´at a Dijkstra algoritmus is kvadratikus, vagyispolinomidej˝u.
´Es polinomidej˝u m´eg a t¨obbi tanult gr´afalgoritmus is: Ford, Floyd, PERT, Ford-Fulkerson (Edmonds-Karp kieg´esz´ıt´essel), altern´al´o utas, de ezt m´eg annyira sem ,,bizony´ıtjuk”, mint az el˝obbieket.
Gr´ afalgoritmusok l´ ep´ essz´ ambecsl´ ese
KruskalInput egyn cs´ucs´u, m´el˝u gr´af ´es egy k k¨olts´egfv. Az inputm´eretG miattkonst(n+m), a k¨olts´egf¨uggv´eny t´arol´asa annyiszorm bit, ah´any jegy˝uek az egyes ´elk¨olts´egek. Tegy¨uk fel, hogy az ´elk¨olts´egek kev´es bites eg´esz sz´amok, ´ıgy az inputm´eret tov´abbra is konst·(n+m)-nek tekinthet˝o.
DijkstraInput egy n cs´ucs´u, m´el˝u G = (V,E) gr´af, r ∈V gy¨ok´ercs´ucs ´es egy `:E →R+ hosszfv. Az ´elhosszokat legfeljebb konstans jegy˝u sz´amoknak tekintve az inputm´eret ism´et
konst·(n+m).
Az algoritmus ´elmenti jav´ıt´asokat (legfeljebbm-szer) ill. a K´ESZ halmaz n¨ovel´es´et v´egzi (n-szer). Egyetlen elmenti jav´ıt´as
megoldhat´o konstans sok l´ep´esb˝ol, a K´ESZ halmaz n¨ovel´es´ehez kell m´eg egy minimumk´epz´es is, aholis legfeljebbn elemb˝ol v´alasztunk minimumot. Ez legfeljebbn ¨osszehasonl´ıt´assal megtehet˝o. Ez´ert a Kruskal algoritmus l´ep´essz´ama legfeljebb
konst·m+konst0·n2≤c · |I|2 alkalmas c konstanssal. Teh´at a Dijkstra algoritmus is kvadratikus, vagyispolinomidej˝u.
´Es polinomidej˝u m´eg a t¨obbi tanult gr´afalgoritmus is: Ford, Floyd, PERT, Ford-Fulkerson (Edmonds-Karp kieg´esz´ıt´essel), altern´al´o utas, de ezt m´eg annyira sem ,,bizony´ıtjuk”, mint az el˝obbieket.
Gr´ afalgoritmusok l´ ep´ essz´ ambecsl´ ese
KruskalInput egyn cs´ucs´u, m´el˝u gr´af ´es egy k k¨olts´egfv. Az inputm´eretG miattkonst(n+m), a k¨olts´egf¨uggv´eny t´arol´asa annyiszorm bit, ah´any jegy˝uek az egyes ´elk¨olts´egek. Tegy¨uk fel, hogy az ´elk¨olts´egek kev´es bites eg´esz sz´amok, ´ıgy az inputm´eret tov´abbra is konst·(n+m)-nek tekinthet˝o.
Az algoritmus el˝osz¨or az ´eleket n¨ovekv˝o k¨olts´eg szerint rendezi. Ez elv´egezhet˝okonst ·mlogm l´ep´esben (de a bubor´ekrendez´es is v´eget ´erkonst ·m2 l´ep´es ut´an).
Ezut´an az ´elekr˝ol egyes´evel d¨ont¨unk. Alkalmas (pl uni´o-holvan t´ıpus´u) adatstrukt´ur´aval minden ilyen d¨ont´es elv´egezhet˝o
konst0·logn l´ep´esben, de na´ıv megk¨ozel´ıt´essel sem kell konst00·n l´ep´esn´el t¨obb. Ez´ert a Kruskal algoritmus l´ep´essz´ama legfeljebb konst·m2+konst00·mn ≤c· |I|2, alkalmas c konstansra. Ez´ert a Kruskal algoritmus kvadratikus, vagyispolinomidej˝u.
DijkstraInput egy n cs´ucs´u, m´el˝u G = (V,E) gr´af, r ∈V gy¨ok´ercs´ucs ´es egy `:E →R+ hosszfv. Az ´elhosszokat legfeljebb konstans jegy˝u sz´amoknak tekintve az inputm´eret ism´et
konst·(n+m).
Az algoritmus ´elmenti jav´ıt´asokat (legfeljebbm-szer) ill. a K´ESZ halmaz n¨ovel´es´et v´egzi (n-szer). Egyetlen elmenti jav´ıt´as
megoldhat´o konstans sok l´ep´esb˝ol, a K´ESZ halmaz n¨ovel´es´ehez kell m´eg egy minimumk´epz´es is, aholis legfeljebbn elemb˝ol v´alasztunk minimumot. Ez legfeljebbn ¨osszehasonl´ıt´assal megtehet˝o. Ez´ert a Kruskal algoritmus l´ep´essz´ama legfeljebb
konst·m+konst0·n2≤c · |I|2 alkalmas c konstanssal. Teh´at a Dijkstra algoritmus is kvadratikus, vagyispolinomidej˝u.
´Es polinomidej˝u m´eg a t¨obbi tanult gr´afalgoritmus is: Ford, Floyd, PERT, Ford-Fulkerson (Edmonds-Karp kieg´esz´ıt´essel), altern´al´o utas, de ezt m´eg annyira sem ,,bizony´ıtjuk”, mint az el˝obbieket.
Gr´ afalgoritmusok l´ ep´ essz´ ambecsl´ ese
DijkstraInput egyn cs´ucs´u, m´el˝u G = (V,E) gr´af, r∈V gy¨ok´ercs´ucs ´es egy `:E →R+ hosszfv. Az ´elhosszokat legfeljebb konstans jegy˝u sz´amoknak tekintve az inputm´eret ism´et
konst·(n+m).
Az algoritmus ´elmenti jav´ıt´asokat (legfeljebbm-szer) ill. a K´ESZ halmaz n¨ovel´es´et v´egzi (n-szer). Egyetlen elmenti jav´ıt´as
megoldhat´o konstans sok l´ep´esb˝ol, a K´ESZ halmaz n¨ovel´es´ehez kell m´eg egy minimumk´epz´es is, aholis legfeljebb n elemb˝ol v´alasztunk minimumot. Ez legfeljebbn ¨osszehasonl´ıt´assal megtehet˝o. Ez´ert a Kruskal algoritmus l´ep´essz´ama legfeljebb
konst·m+konst0·n2≤c · |I|2 alkalmas c konstanssal. Teh´at a Dijkstra algoritmus is kvadratikus, vagyispolinomidej˝u.
´Es polinomidej˝u m´eg a t¨obbi tanult gr´afalgoritmus is: Ford, Floyd, PERT, Ford-Fulkerson (Edmonds-Karp kieg´esz´ıt´essel), altern´al´o utas, de ezt m´eg annyira sem ,,bizony´ıtjuk”, mint az el˝obbieket.
Gr´ afalgoritmusok l´ ep´ essz´ ambecsl´ ese
DijkstraInput egyn cs´ucs´u, m´el˝uG = (V,E) gr´af, r∈V gy¨ok´ercs´ucs ´es egy `:E →R+ hosszfv. Az ´elhosszokat legfeljebb konstans jegy˝u sz´amoknak tekintve az inputm´eret ism´et
konst·(n+m).
Az algoritmus ´elmenti jav´ıt´asokat (legfeljebbm-szer) ill. a K´ESZ halmaz n¨ovel´es´et v´egzi (n-szer). Egyetlen elmenti jav´ıt´as
megoldhat´o konstans sok l´ep´esb˝ol, a K´ESZ halmaz n¨ovel´es´ehez kell m´eg egy minimumk´epz´es is, aholis legfeljebb n elemb˝ol v´alasztunk minimumot. Ez legfeljebbn ¨osszehasonl´ıt´assal megtehet˝o. Ez´ert a Kruskal algoritmus l´ep´essz´ama legfeljebb
konst·m+konst0·n2≤c · |I|2 alkalmas c konstanssal. Teh´at a Dijkstra algoritmus is kvadratikus, vagyispolinomidej˝u.
´Es polinomidej˝u m´eg a t¨obbi tanult gr´afalgoritmus is: Ford, Floyd, PERT, Ford-Fulkerson (Edmonds-Karp kieg´esz´ıt´essel), altern´al´o utas, de ezt m´eg annyira sem ,,bizony´ıtjuk”, mint az el˝obbieket.
Gr´ afalgoritmusok l´ ep´ essz´ ambecsl´ ese
DijkstraInput egyn cs´ucs´u, m´el˝uG = (V,E) gr´af, r∈V gy¨ok´ercs´ucs ´es egy `:E →R+ hosszfv. Az ´elhosszokat legfeljebb konstans jegy˝u sz´amoknak tekintve az inputm´eret ism´et
konst·(n+m).
Az algoritmus ´elmenti jav´ıt´asokat (legfeljebbm-szer) ill. a K´ESZ halmaz n¨ovel´es´et v´egzi (n-szer). Egyetlen elmenti jav´ıt´as
megoldhat´o konstans sok l´ep´esb˝ol, a K´ESZ halmaz n¨ovel´es´ehez kell m´eg egy minimumk´epz´es is, aholis legfeljebb n elemb˝ol v´alasztunk minimumot. Ez legfeljebbn ¨osszehasonl´ıt´assal megtehet˝o. Ez´ert a Kruskal algoritmus l´ep´essz´ama legfeljebb
konst·m+konst0·n2 ≤c · |I|2 alkalmas c konstanssal. Teh´at a Dijkstra algoritmus is kvadratikus, vagyispolinomidej˝u.
´Es polinomidej˝u m´eg a t¨obbi tanult gr´afalgoritmus is: Ford, Floyd, PERT, Ford-Fulkerson (Edmonds-Karp kieg´esz´ıt´essel), altern´al´o utas, de ezt m´eg annyira sem ,,bizony´ıtjuk”, mint az el˝obbieket.
Gr´ afalgoritmusok l´ ep´ essz´ ambecsl´ ese
DijkstraInput egyn cs´ucs´u, m´el˝uG = (V,E) gr´af, r∈V gy¨ok´ercs´ucs ´es egy `:E →R+ hosszfv. Az ´elhosszokat legfeljebb konstans jegy˝u sz´amoknak tekintve az inputm´eret ism´et
konst·(n+m).
Az algoritmus ´elmenti jav´ıt´asokat (legfeljebbm-szer) ill. a K´ESZ halmaz n¨ovel´es´et v´egzi (n-szer). Egyetlen elmenti jav´ıt´as
megoldhat´o konstans sok l´ep´esb˝ol, a K´ESZ halmaz n¨ovel´es´ehez kell m´eg egy minimumk´epz´es is, aholis legfeljebb n elemb˝ol v´alasztunk minimumot. Ez legfeljebbn ¨osszehasonl´ıt´assal megtehet˝o. Ez´ert a Kruskal algoritmus l´ep´essz´ama legfeljebb
konst·m+konst0·n2 ≤c · |I|2 alkalmas c konstanssal. Teh´at a Dijkstra algoritmus is kvadratikus, vagyispolinomidej˝u.
´Es polinomidej˝u m´eg a t¨obbi tanult gr´afalgoritmus is: Ford, Floyd, PERT, Ford-Fulkerson (Edmonds-Karp kieg´esz´ıt´essel), altern´al´o utas, de ezt m´eg annyira sem ,,bizony´ıtjuk”, mint az el˝obbieket.