Gráfok

Hogyan is kell elképzelni egy hálózatot? A hálózat magát a modellezett rendszert jelenti, ezt általában egy gráffal reprezentáljuk. Definíció szerint egy gráf pontok vagy csúcsok (node) és élek (edge, link) halmaza. A pontok a hálózat elemeit, az élek pedig az elemek kölcsönhatásait ábrázolják. Ha egy hálózat két eleme valamilyen – az adott hálózattól függ˝o – módonközvetlenkölcsönhatásban van egymással, akkor az adott két pont között a hálózatot ábrázoló gráfban is futni fog egy él. A közvetlenség itt fontos; a modellezett rendszer minden közvetett kölcsönhatásának adódnia kell a közvetlen kölcsönhatásokból összeköttetések valamilyen láncolatán keresztül, különben valahol hiányzik egy vagy több csúcs a gráfból. Ilyen hiányzó elemek keresése önmagában is fontos kutatási kérdés lehet.

Ez az egyik kulcsa a hálózattudomány megvilágító erejének is: hálózatok használatával

megtudhatjuk, hogy az általában keresett közvetett hatás közvetlen kapcsolatok milyen láncolatán keresztül valósul meg, így a vizsgált folyamat háttere, és a lehetséges egyéb zavaró tényez˝ok megérthet˝ové és szabályozhatóvá válnak.

A gráfokat általában síkban ábrázoljuk, a gráf pontjait körökkel, az éleket pedig a kö-rök között futó vonalakkal vagy nyilakkal jelöljük. A gráfelmélet alapjait Leonhard Euler fektette le 1735-ben a königsbergi hidak híres problémájából kiindulva (A. függelék), és azóta a matematika egy teljesen önálló ágává n˝otte ki magát, így itt csak egy nagyon rövid bevezet˝ot tudok adni róla azon fogalmak ismertetésével, amelyeket a dolgozatban használok.

A gráf pontszámavagy mérete a teljes gráf pontjainak száma. Egy pont fokszáma a pontból kiinduló vagy abba belép˝o élek száma. Ha csak a kiinduló vagy csak a belép˝o éleket vizsgáljuk, definiálhatunkbemeneti fokszámot(indegree) éskimeneti fokszámot (outdegree) a két fogalom elkülönítésére.

A gráfoknak viszonylag sok fajtáját különböztetjük meg. Egyszer ˝u gráfoknak ne-vezzük azokat a gráfokat, melyekben két pont között legfeljebb egy él fut, és nem tartal-maznakhurokélt, azaz olyan élt, melynek kezd˝o-, és végpontja ugyanaz a pont (1. ábra A panel). Az ezen tulajdonsággal nem rendelkez˝o gráfokatösszetett gráfoknak(1. ábra B panel) nevezzük. Ez a megkülönböztetés inkább csak a matematikában jelent˝os.

Fontosabb kérdés a gráf összefügg˝osége. Egyösszefügg˝o gráfban az éleken történ˝o lépések sorozatával egy pontból bármely másik pont elérhet˝o, azaz nem tudunk külön-állórészgráfokatleválasztani róla. Ha a gráf nem is egészen összefügg˝o, kérdés, hogy található-e benneóriáskomponens, azaz néhány különálló kis csoportot leszámítva a gráf pontjainak túlnyomó része egy összefügg˝o csoportban van-e. A legtöbb valós hálózatban találunk ilyen óriáskomponenst. Chung és Lu 2002-ben megmutatta [1], hogy amennyi-ben egy Erd˝os-Rényi véletlen gráf [2] pontjainak átlagos fokszáma nagyobb, mint 1, már jó eséllyel találunk benne óriáskomponenst. A valós hálózatok átlagos fokszámára gya-korlatilag mindig teljesül ez a feltétel (amellett, hogy kés˝obb kiderült, hogy a ”véletlen gráf” modellnél jobb leírásukat is adhatjuk), ezért általában csak pár darab ”leszakadt”

elemet találunk bennük, és azok is inkább az elem elégtelen kutatottságára utalnak.

Egy másfajta csoportosítási lehet˝oség a gráf irányítottsága. Egy él irányított, ha a a két elem egymásra hatása nem kölcsönös, csak az egyik elem hat a másikra,

visszafe-le irányuló effektus nincs. Jelátviteli hálózatokra többnyire ilyen típusú kölcsönhatások jellemz˝oek. Az él ezzel szemben irányítatlan, ha a hatás kölcsönös, vagy nem ismert az iránya. Az irányított éleket többnyire nyíllal, az irányítatlanokat pedig egyszer˝u vo-nallal jelöljük. Technikai okokból általában az egész gráfot vagy irányítatlanként vagy irányítottként ábrázoljuk. Irányított gráfban irányítatlan élnek megfelel˝o struktúrát lét-rehozhatunk úgy, hogy az adott két pont között két irányított élt alakítunk ki, ellentétes irányítással.

Vannak bizonyos speciális struktúrájú gráfok, melyek az általános esetnél könnyebben kezelhet˝oek. Ilyen például acsillagháló(1. ábra C panel), ahol az összes elem kizárólag egy kiemelt középponthoz csatlakozik, ateljes gráfvagy klikk (clique) (1. ábra D pa-nel), ahol minden pont minden másikkal össze van kötve, alánc(1. ábra E panel), ahol a pontok csak a két szomszédjukhoz vannak kötve, arácsháló(1. ábra F panel), amelyben hasonlóan csak a közvetlen ”földrajzi” szomszédokkal vannak összekötve a pontok, de a pontok egy kétdimenziós rácson helyezkednek el, afa(1. ábra G panel), melynek tulaj-donsága, hogy nem tartalmaz köröket, illetve az irányított körmentes gráf (DAG, directed acyclic graph, 1. ábra H panel), melyben csak az a megkötés, hogy akkor nem bukkanha-tunk körre, ha az élek mentén az irányítást figyelembe véve haladunk végig. Sok helyen használnak fákat az informatikában különféle rendezett adatstruktúrák (halmaz, szótár) létrehozására, a DAG-k pedig verziókövet˝o rendszerekben, vagy egyéb, valamilyen törté-netet vagy tervet feldolgozó esetekben bukkannak fel természetes módon.

Érdekes struktúra apáros gráf (1. ábra I panel), melynek pontjai egyértelm˝uen két halmazra bonthatóak úgy, hogy egyik halmazonbelülsem fut él. Ilyen gráfok adódnak, ha pontok két különböz˝o típusát kapcsoljuk össze egymással, például filmeket a bennük játszó színészekkel vagy metabolitokat kémiai reakciókkal.

A B

C D

E F

G H

I J

1. ábra. Különböz˝o gráftípusok. A: egyszer˝u gráf. B: összetett gráf. C: csillagháló. D:

teljes gráf. E: lánc. F: rácsháló. G: fa. H: irányított körmentes gráf (DAG). Az ilyen gráfoknak mindig van egy vagy több forrás (kék) és nyel˝o (piros) elemük. I: páros gráf.

A szürke pontok csak színesekkel, a színesek csak szürkékkel vannak összekötve. J: Az I-vel ekvivalens hipergráf, ellipszisekkel jelölve ahiperéleket.

Ahipergráfok(1. ábra J panel) olyan struktúrák, melynek élei nem két, hanem tetsz˝o-leges számú pontot kötnek össze. Az így létrejöv˝ohiperéleket Venn–diagram-szer˝uen, ellipszisekkel szokás ábrázolni. Észrevehet˝o, hogy a hipergráfok és a páros gráfok meg-feleltethet˝oek egymásnak, azaz egy hipergráf ábrázolható páros gráfként, és fordítva.