Goldman-Hodgkin-Katz-egyenlet

Ha t¨obbf´ele ionra is ´atj´arhat´o a membr´an, akkor az ionkoncentr´aci´ok ´es az ionok perme-abilit´asi egy¨utthat´oinak ismeret´eben meghat´arozhatjuk, hogy milyen stacion´arius (nem pedig egyens´ulyi) ∆ψ ´ert´ekre ´all be a membr´anpotenci´al. Az al´abbi, ´altal´anos ´erv´eny˝u levezet´es Mesz´ena G´ez´at´ol sz´armazik.

A stacion´arius ´allapotban jel¨olj¨uk j_i⁺-szal azoknak az i ionoknak az ´arams˝ur˝us´eg´et (az id˝oegys´egenk´ent ´es fel¨uletegys´egenk´ent ´at´araml´o r´eszecsk´ek sz´am´at), amelyek a k¨uls˝o (”out”) t´err´eszb˝ol indulva ´atjutnak a membr´anon kereszt¨ul a bels˝o (

”in”) t´err´eszbe (9.3.

´

abra)! Hasonl´oan, jel¨olj¨uk j_i⁻-szal ezeknek az ionoknak ellenkez˝o ir´any´u ´arams˝ur˝us´eg´et!

9.3. ´abra. A membr´anon ´athalad´o ionok ´arams˝ur˝us´egei a k¨uls˝o ´es bels˝o t´err´esz ir´any´ab´ol.

Ekkor az i ionoknak az ered˝o ´arams˝ur˝us´ege kintr˝ol befel´e:

j_i =j_i⁺−j_i⁻. (9.11)

Mindk´et t´err´eszen h´ıg oldatot felt´etelezve az oldott ionok j´o k¨ozel´ıt´essel egym´ast´ol f¨ ug-getlen diff´uz´ıv mozg´ast v´egeznek, ´es egym´ast´ol f¨uggetlen¨ul pr´ob´alkoznak meg ´atjutni a membr´anon, ´ıgy az ´arams˝ur˝us´egeik ar´anyosak lesznek a kiindul´asi oldalon tapasztalhat´o koncentr´aci´ojukkal:

j_i⁺(∆ψ) = c^out_i P_i^out(∆ψ), (9.12) j_i⁻(∆ψ) = cⁱⁿ_i P_iⁱⁿ(∆ψ), (9.13) ahol P_i^out(∆ψ) ´esP_iⁱⁿ(∆ψ) a membr´anok permeabilit´asi egy¨utthat´oja a kintr˝ol ´es a bent-r˝ol indul´o ionok sz´am´ara. Fontos kiemelni, hogy a permeabilit´asi egy¨utthat´ok f¨uggnek a membr´anpotenci´alt´ol, egyr´eszt mert az elektromosan t¨olt¨ott ionok ´atjut´as´at az egyik ir´anyban seg´ıti, a m´asikban pedig g´atolja a membr´an k´et oldala k¨ozti elektromos

potenci-´alk¨ul¨onbs´eg; m´asr´eszt pedig mert az ioncsatorn´akat kialak´ıt´o membr´anfeh´erj´ek szerkezete is ´erz´ekeny lehet a membr´anpotenci´alra.

B´ar a permeabilit´asi egy¨utthat´oknak a membr´anpotenci´alt´ol val´o f¨ugg´ese elvileg tet-sz˝oleges lehet, ugyanannak az ionnak a membr´an k¨uls˝o ´es bels˝o oldal´ahoz tartoz´o per-meabilit´asi egy¨utthat´oira az egyens´ulyi termodinamika szigor´u ¨osszef¨ugg´est ´ır el˝o. Egy adott ∆ψ-re ugyanis, ha ´ugy ´all´ıtjuk be az iion koncentr´aci´oj´at a membr´an k´et oldal´an, hogy az egyens´uly felt´etele teljes¨ulj¨on:

c^in,eq_i ir´any´u ´arams˝ur˝us´eg meg kell, hogy egyezzen:

c^out,eq_i P_i^out(∆ψ) =c^in,eq_i P_iⁱⁿ(∆ψ), (9.15)

Ez egy eklat´ans p´eld´aja annak, hogy az egyens´ulyi termodinamika, t´ulmutatva az egyen-s´ulyi rendszereken, k´epes nemegyens´ulyi jelens´egekre ´es mennyis´egekre vonatkoz´o t¨ or-v´enyszer˝us´egeket is meg´allap´ıtani. A kor´abban eml´ıtett fluktu´aci´o-disszip´aci´o t´etelek (pl. a (3.32) Einstein-t¨orv´eny) is ebbe a kateg´ori´aba tartoznak.

Speci´alisan ∆ψ = 0 eset´en az kapjuk, hogy

P_i ≡P_i^out(0) =P_iⁱⁿ(0), (9.17)

amely azonos a (7.8) egyenletben bevezetett permeabilit´asi egy¨utthat´oval.

Visszat´erve az eredeti jelens´eghez, a stacionarit´as felt´etele az, hogy elektromos ´aram ne folyjon a membr´anon kereszt¨ul:

X

i

jizie= 0, (9.18)

ellenkez˝o esetben v´altozna a membr´anpotenci´al.

Mivel a sejtekben az ion´aramok´ert els˝osorban monovalens ionok (K⁺, Na⁺, Cl⁻) felel˝osek, innent˝ol kezdve kiz´ar´olag monovalens ionokra szor´ıtkozunk. A⁺-szal ´esA⁻-szal jel¨olve a monovalens kationok (z_i = 1) ´es anionok (z_i = −1) halmaz´at a stacionarit´as felt´etele a k¨ovetkez˝ore egyszer˝us¨odik:

X

majd a permeabilit´asi egy¨utthat´okat ´es a k¨ozt¨uk l´ev˝o termodinamikai ¨osszef¨ugg´est be-helyettes´ıtve kapjuk, hogy Ebb˝ol kifejezve az exponenci´alis tagot eljutunk a Goldman-Hodgkin-Katz-egyenlet (GHK-egyenlet) ´altal´anos alakj´ahoz: amely az egyens´ulyi ¨osszef¨ugg´es felhaszn´al´as´aval ilyen alakban is fel´ırhat´o:

exp Ha most felt´etelezz¨uk, hogy minden kationra aP_i^out(∆ψ)/P_ih´anyados azonos, ´es meg-egyezik az anionokra vettP_iⁱⁿ(∆ψ)/P_i h´anyadossal, vagyis ha az elektromos t´er ugyan´ugy befoly´asolja a kationok egyik ir´any´u mozg´as´at, mint az anionok m´asik ir´any´u mozg´as´at

9.4. ´abra. A membr´anon lees˝o elektromos potenci´al ´es az ionkoncentr´aci´ok a membr´an sz´elei ment´en.

(ami idegsejtekre p´eld´aul egy´altal´an nem igaz), akkor a GHK-egyenlet a k¨ovetkez˝ore egyszer˝us¨odik: A GHK-egyenletb˝ol j´ol l´atszik, hogy ha a membr´an permeabilit´asa csak egyf´ele ionra domin´al, akkor a membr´anpotenci´al ennek az ionnak a Nernst-potenci´alja k¨ozel´ebe ´all be.

9.3.1. Homog´ en diff´ uzi´ o

Ha az ionok membr´anon val´o ´athalad´as´ara fel´all´ıtunk egy mikroszkopikus modellt, akkor meghat´arozhatjuk a permeabilit´asi egy¨utthat´ojuknak a membr´anpotenci´alt´ol val´o f¨ ug-g´es´et. P´eldak´ent tekints¨uk a nagyon egyszer˝u, homog´en diff´uzi´o eset´et, vagyis amikor a w vastags´ag´u membr´an belsej´eben homog´en −∆ψ/w elektromos t´erben D_i homog´en diff´uzi´os egy¨utthat´oval mozognak az ionok (9.4. ´abra)! Goldman, valamint Hodgkin ´es Katz is erre a modellre vezette le a membr´anpotenci´alt megad´o, r´oluk elnevezett egyenle-tet. A membr´an belsej´eben t¨ort´en˝o diff´uzi´o hat´arfelt´eteleit az adja, hogy a membr´annak az oldattal hat´aros sz´elein az ionok koncentr´aci´oja az oldatbeli koncentr´aci´oK_i-szerese, ahol a Ki egyens´ulyi ´alland´o vagy m´as n´even part´ıci´os egy¨utthat´o azt jellemzi, hogy az i ion mennyire kedveli a membr´an apol´aros bels˝o k¨ozeg´et a v´ızhez k´epest. Ionokra K_i 1, ´ıgy az ionok nagyon alacsony koncentr´aci´oban lesznek jelen a membr´anban, ez´ert az elektromos potenci´alra val´o hat´asuk elhanyagolhat´o m´ert´ek˝u.

Az ionok ´arams˝ur˝us´eg´et Fick els˝o t¨orv´eny´enek a k¨uls˝o er˝ot´errel kieg´esz´ıtett (3.26) v´altozata ´ırja le, melyet elektromos er˝ok est´en Nernst-Planck-egyenletnek is szok´as ne-vezni: potenci´al deriv´altja pedig dψ(x)/dx = ∆ψ/w ´alland´o a membr´an belsej´eben. Ezek behelyettes´ıt´ese ut´an az i ion ´arams˝ur˝us´eg´ere vonatkoz´o Nernst-Planck-egyenlet:

j_i =−D_i

jel¨ol´est. Stacion´arius esetben aj_i ´arams˝ur˝us´egnek helyt˝ol f¨uggetlennek kell lennie (k¨ul¨ on-ben az ionok koncentr´aci´oja id˝oben v´altozna a kontinuit´asi egyenlet ´ertelm´eben). Ezt az

´

arams˝ur˝us´eget ´ugy hat´arozhatjuk meg, ha megoldjuk a Nernst-Planck-egyenletet (amely jelen esetben egy els˝orend˝u differenci´alegyenlet) ´es illesztj¨uk a hat´arfelt´etelekhez.

Speci´alisan az elektromos er˝o mentes esetben, teh´at amikor ∆ψ = 0 ´es ezzel egy¨utt ε_i = 0, a koncentr´aci´o dc_i(x)/dx deriv´altja konstans, m´egpedig a hat´arfelt´etelekhez illeszked˝o m´odon:

dci(x)

dx = Kicⁱⁿ_i −Kic^out_i

w . (9.28)

Ezt behelyettes´ıtve az ´arams˝ur˝us´eg kifejez´es´ebe kapjuk, hogy j_i =−D_iK_icⁱⁿ_i −K_ic^out_i

w =−D_iK_i

w (cⁱⁿ_i −c^out_i ), (9.29) amelyb˝ol azonnal leolvashat´o, hogy aziionra membr´anpotenci´al hi´any´aban (vagy semle-ges molekul´ara tetsz˝oleges membr´anpotenci´al eset´en) a membr´an permeabilit´asi egy¨ utt-hat´oja:

Pi = D_iK_i

w . (9.30)

Ha azonban a membr´anpotenci´al nem nulla, akkor az ´alland´o meredeks´eg˝u koncent-r´aci´oprofil m´ar nem megold´asa a Nernst-Planck-egyenletnek. Mivel a differenci´alegyenlet x-t˝ol nem f¨ugg explicit m´odon, ´atrendez´es ut´an integr´al´assal k¨onnyen megoldhat´o:

Z Kicⁱⁿ_i

amelyben az integr´al´ast elv´egezve:

majd j_i-t kifejezve kapjuk, hogy j_i =−Diεi

w

Kicⁱⁿ_i −Kic^out_i exp(−εi)

1−exp(−ε_i) =−P_iε_icⁱⁿ_i −c^out_i exp(−εi)

1−exp(−ε_i) . (9.33) Ebb˝ol ism´et leolvashat´o azi ionra a membr´an permeabilit´asi egy¨utthat´oja, de most m´ar tetsz˝oleges ∆ψ mellett:

amelyb˝ol meg´allap´ıthat´o, hogy a k´etf´ele permeabilit´asi egy¨utthat´o ar´anya val´oban ki-el´eg´ıti a (9.16) termodinamikai felt´etelt, valamint hogy a monovalens kationokra vett P_i^out(∆ψ)/P_i h´anyados megegyezik a monovalens anionokra vett P_iⁱⁿ(∆ψ)/P_i h´ anyados-sal, teh´at homog´en diff´uzi´o eset´en ´erv´enyes a GHK egyenlet egyszer˝us´ıtett (9.24) v´ alto-zata.