A Debreceni Aritmetika ismeretlen szerzője könyvének címé
ben azt írja, hogy Gemma Frisius számvetéséből fordította magyar nyelvre. Meg kell tehát ismerkednünk ezzel a XVI. században közkedveltté vált, 6Ü-nál több kiadást megért, nagyhírű latinnyelvű könyvvel és alaposabb vizsgálat alá kell vennünk.
Gemma Frisius Reinerus 1508. dec. 8-án született Német
alföldön, a keletfrizlandi Dockumban. Innen kapta a Frisius nevet.^
Matematikát és orvostudományt tanult előbb Groningában, majd Louvainben.^ A XVI. század negyvenes éveiben a louvaini egye
tem matematika-tanára. 1553-ban ezt az állását egyetemének orvos
professzori tanszékével cserélte fel. Az V. Károly császárnál nagy kegyben álló alacsony termetű Gemma Frisiusnak legjobb barátja volt a magas termetű Triverio Jeremiás. A gyakran együtt sétáló, nem éppen összeillő párt a „louvaini orvosok páratlan párjá“ nak nevezték.® A Gemma név, amely drágakövet, de egyúttal rügyet is jelent, sok szójátékra adott alkalmat.^ 1555. máj. 25-én halt meg, némelyek szerint pestisben.®
Gemma Frisius tudományos hírnevet szerzett a térképészet számára értékes munkájával és találmányaival. E zek : Földgömb- tana (1530.), a földrajzi helyeknek órával való meghatározása (az u. n. csillagászati gyűrű), a földgömbök sztereografikus vetületé- nek készítése és a háromszögelési módszer.®
Nevezetesebb m unkái:
Libellus de locorum describendorum ratione, (Antverpiae, 1533.)’
* Eredeti neve „van den Steen“ volt. A „van den“ a nemességre utal, a Steen pedig követ jelent. Cantor, Geschichte der Mathematik. I. p. 410. és II. p. 377—394. — 2 Allgemeines Gelehrten Lexicon herausgeben von Christian Gottlieb Jócher Leipzig. 1750. II. p. 914. Louvain, vagy Löwen. — » U. o . :
„Lovaniensium medicorum par impar.“ — ■* L ásd: Arithmeticae practicae methodus facilis p er Gemmám Frisium. Antwerplae, 1540. Bevezető- és befe
jező versek. Továbbá Cantor, Gesch. d. Math. II. p. 379. — ® Alig. Gelehrten Lex. Leipzig, 1750. II. p. 914. — * Der grosse Brockhaus. VII. p. 187. — ’’ Can
t o r : Gesch. d. Math. II. p. 379.
Charta, id est totius orbis descriptio. (Louvain, 1540.)^
De principiis astronomiae et cosmographiae ac usu globi a se editi. (Paris, 1547.)
De ratione astronomico. (Antverpiae, 1545.) De usu Annuli astronomici. (Antverpiae, 1548.) De astrolabio catholico über. (Antverpiae, 1556.)
Gemma Frisius e műveiben közzétett, gyakorlati szempont
ból fontos tanításaival a németalföldi földrajzi iskola élére került.
Az ő vezetésével és útmutatásával nőtte ki magát tanítványa — Gerhard Mercator — ennek az iskolának legkiválóbb képviselőjévé.^
Gemma Frisiusnak a tudósok körében jól ismert nevét iga
zán népszerűvé és általánosan ismertté az 1540-ben „Arithmeticae practicae methodus facilis per Gemmám Frisium medicum ac mat- hematicum in quatuor partes divisae“ címen Antwerpenben meg
jelent munkája teszi. A latin tannyelvű iskolákban rövidesen ugyanolyan kedvelt tankönyv lesz, mint Riese Ádám számtan
könyve a németnyelvű számolóiskolákban.^ Gemmának ez a könyve a matematikai alapvetés, a középfokú oktatás és a felsőbb számvetés területén korszakot nyitó standard munka. Egy évszá
zadon át belőle tanulják a számolást a latin iskolák tanulói, nem
csak a mai Hollandia és Belgium területén, hanem Német- és Franciaországban is. Nagy népszerűségét az 1540-től 1614-ig sajtó alá rendezett számos kiadás^, továbbá e könyveknek a mai napig megmaradt nagy száma bizonyítja.®
„A Gemma könyve“ a XVI— XVII. században fogalommá lett és vitás kérdések elbírálásánál éppúgy hivatkoztak rá, mint ná
lunk Maróthira.
A számolás műveleteinek elvégzése tekintetében korának színvonalán áll, több vonatkozásban úttörő jelentőségű. Könnyű stílusa, tömörsége, jó példái és áttekinthetősége elősegítették gyors terjedését. Egészen modern könyv volt, ezért használata rövidesen divattá vált.
Gemma az első az alapműveletek fogalmának meghatározásá
ban,® továbbá a többjegyű számoknak háromjegyű csoportokra való felosztásában.’ (Az elválasztásra függőleges vonalkát használt.)
* Gemma munkáinak címét felsorolja az Alig. Gelehrten Lex. Leipzig.
1750. II. p. 914. — Továbbá a Nouvelle Bibliographie Générale publiée pár M. M. Firmin Didót Freres. Paris. 1857. XIX. p. 854. — ^ A. Sturm, Geseh. d.
Math. Leipzig. 1906. p. 91. — ^ Fr. Unger, Die Methodik der praktischen Arithmetik. Leipzig. 1888. p. 57. — * Hatvannál több kiadást ért meg. L. Dávid Lajos, Debreceni régi matematikusok. A debreceni Tisza István Tudományos Társaság II. osztályának munkáiból. 1926. II. kötet, 4. füzet, p. 39. — Továbbá Louis C. Karpinski, The H istory Arithmetic. Chicago—Newyork. 1925. p. 69.
— ® Csonka-Magyarország könyvtárai biztos tudomásom szerint 8 példányt őriznek. — « J. Tropfke, Geschichte der Elementar—Mathematik. 1Q2Í. I. p. 31.
— ’ A Gemma könyvére szóló utalások mindig az 1540-es antwerpeni kiadású eredeti munkára vonatkoznak. L. az A n lap második oldalát; „Distinque primo numerum propositum virgula intericta post ternas singulas figurás, initio facto a dextris, atque ita ad finem, ut 3 1534 560 [ 782.“ A számok írását a káldeusok- tól származtatja.
Az elsők közt volt a kettőzés és felezés műveleteinek elve
tésében is. A Gemma előtti időkben a kettővel való szorzás és a kettővel való osztás önálló műveletek voltak. Az egyiptomi-, a görög- és a római hagyományokban gyökeredzett e műveletek különállása. A számolótáblán való számolásnál nélkülözhetetlenek voltak. Az indus-arab számolásban fölöslegesekké váltak, mégis tovább tanították őket önálló műveletként. Ez ellen kifogást emel Gemma a „Duplatio et Mediatio“ c. fejezetben.^
A négyzetgyökvonásban Gemma írja először a folyton új osztóul fellépő részlethányados kétszereséhez a hányadosnak utol
jára kiszámított jegyét és az így kapott számot szorozza a hánya
dos utolsó jegyével. Ha a maradékot nem a rádikándusz fölé írná, akkor gyökvonási eljárása semmiben sem különbözne a gyökvo
nás mai modern formájától.^
Az elsők közt van abban is, hogy az algebra szót egymagá
ban használja az almukabala szó nélkül. Mohammed ibn Musa Alchwarismi-nek a számolás elméleti részét tartalmazó arab-nyelvű könyve a IX. században „Aldsebr Walmukabala“ címmel jelent meg.* Ez a cím a nyugaton Algebra és Almukabala formában ter
jedt el. Csak az algebra szót Pizai Leonardo, Regiomontanus, Pa- ciuolo, Stifel, Cardano és Gemma Frisius használják.
Gemma az első, aki a magasabbfokú egyenleteknek a regula falsival való megoldását tanítja. Elsőségének tudatában ír ja : „Már végeznék is, ha eszembe nem jutna a regula falsira vonatkozó ígéretem : ezt a számolási eljárást fel lehet használni a másod-, a harmad- és a negyedfokú egyenletek példáiban, amit előttem még senki sem kísérelt meg.“*
Ezek azok a pontok, amelyekben Gemma megelőzte korát és amelyekkel korának legjobbjai közé emelkedett.
Az 1540-es antwerpeni kiadású Arithmetica egy példánya a königsbergi egyetemi könyvtár tulajdona.® Ez a könyv másik hét könyvvel van összekötve, amelyek mind csillagászati munkák.®
Teljesen tiszta és ép példány. Terjedelme 2 l x l 4 ‘4, szedéstükre 17x12 cm.
* B jn lap első oldalán; „Solent nonnuli Duplationem et Mediationem assígnare species distinctes a multiplicatione et divisione. Quid verő moverit stupidos illos nescio, cum et finito et operatio eadem sit. Duplare enim est per duó multiplicare. Mediare verő per duó partiri.“ — ^ Gm lap második oldalán. A középkorból fennmaradt szokás a maradéknak a megfelelő jegy fölé való írása minden számolóműveletnél, így a gyökvonásnál is. —
* Dsebr = restauratio, azaz a negatív tagoknak az egyenlet másik olda
lára való átvitele, amivel elérhető, hogy az egyenletben kizárólag pozitív ta
gok szerepelnek. Mukabala = oppositio, azaz az egynevű tagoknak egy ol
dalra hozása és összevonása. Az Almukabala szó utoljára 1577-ben Gosselin könyvének címében fordul elő. L. Tropfke, Gesch. d. Elementar—Math. I. p. 152.
— ^ L. H iilap első old. Könyvtári száma: -|- Md. 28. Qu. — ® E gyűjtemény utolsó munkája; „Tabulae Astronom ieae, inservientes doctrinae ascensionum signorum Zodiaci in Sphaera recta, et in obligu a “ stb. Witebergae. Excudebat Jacobus Lacius Transylvanus. 1563. E latin név mögött magyar embert sejtek r Erdélyi Láczi Jakabot.
Ez a 76 oldalas könyv 4 részre oszlik.
Az 1. rész az egész számokkal való alapműveleteket^ és ezek próbáit^ ismerteti. Tartalmazza továbbá a duplázást, a felezést, a iialadványokat és a hármas-szabályt.® Ez a rész 19 oldal.*
A II. rész a törtszámolást tanítja.® így először a különnevezőjű törteknek közös nevezőre hozását.® Azután bemutatja a 4 alap
műveletet törtekkel, a hármas-szabályt törtekkel’ és a hármas
szabályt fordított arányosság esetén.® (8 V2 oldal.)®
A III. rész ismerteti a regula vulgárist,*® a társaság-szabályt,**
a keverés-szabályt,*®, a regula faisit, a négyzet-*® és köbgyökvo
nást** egészekből és törtekből,*® a másod-,*® a harmad-*’ és a ne
gyedfokú egyenletek megoldását.*® Ez a rész 36 */2 oldal.*®
A IV. rész tartalmazza az arányokat egész-®® és törtszámok
kal,®* a középarányost,®® az arányok összeadását és kivonását,®®
végül néhány kedves föladatot.®* Ez a rész 10 oldal.®®
Összehasonlítottam ezt az eredetit a később kiadott Gemma
könyvekkel.®® Ennek eredményeképpen megállapítottam, hogy az
•eredeti szöveget teljes egészében valamennyien átvették. A német kiadások mindössze a progresszióról szóló fejezetbe iktattak be egy példát. A könyv elé ajánlásokat írtak, a szöveg után pedig külön
böző feladatokat (néhányat versben) függesztettek. Az 1561-es pá
rizsi kiadás szövegében már több — legtöbbször magyarázatul szol
gáló — betoldás található. A könyvet Peletarius Jakab toldotta meg a csillagászati törtekkel és azokkal az ismeretekkel, amelyek az Idus, a Nonae, a változó ünnepek, valamint a Nap és a Hold helyé
nek az Állatövben való meghatározásához szükségesek.®’ Az 1576-os kölni kiadásút Peletariuson kívül még Stein János is bővítette.®®
Az eredetileg nagyalakú könyvet később nyolcadív nagyság
ban adták ki. Terjedelmének állandó gyarapodása (175 oldal körül változott) hozzájárult ahhoz, hogy könnyen kezelhető, jóalakú zseb
könyv lett belőie.
Antwerpenben 1582-ben kiadták francia nyelven.
1 A kivonást subductionak nevezi. — ^ Az alapműveletek ellenőrzését examen szóval jelöli. — ^ Regula proportionum, sive trium numerorum. —
^ Cm lap második oldaláig. — ^ De fractionibus sive minutiis. — ® Reductio ad eandem denominationem. — ’ Regula, trium in minutiis. — * Regula trium inversa. — » D m lap első oldaláig. — összetett hármas-szabály. — Regula consortii, sive societatis. — Regula alligationis. — p e radicum extractione, primumque de Quadratis. — De radice cubica. — De partibns sive minutiis.
— 1« Regula faisi unius positionis. — i’ Ex tertia regula Coss sive Algebráé. — Ex quarta regula Coss. — j j lap első oldaláig. — p0 proportione. — De proportione fractorum, sive minutiarum. — 22 p e medio proportionale.
— ^ De proportionum additione et subductione. — Jucundae aliquot quaes- tiunculae. — 25 jy , jap első oldaláig. — 26 Ezek: 1548. Witebergae (Buda
pesti Tud. Egyet. ktár. Ea. 345. s z .); 1550. Witebergae (Akad. ktár. Ttan.
848. sz.); 1558. Lipsiae (Egyet. ktár. Ea. 349. s z .); 1566. Lipsiae (Múzeum ktár.
VII. Pb. pr. 1719. sz.) — ^ Bpesti Tud. Egyet. ktár. (Ea. 205. sz.) — 2» Zirc.
Apátsági ktár.
Párizsban 1585-ben ugyancsak francia nyelven jelent meg Fór- cadel Péter forditásában.^ Forcadel magyarázta, látta el jegyzetek
kel és a törtszámolásra vonatkozó részt ki is bővitette. Az ajánláa e könyvben 1560. december 14-én kelt, tehát feltehető, hogy volt még legalább egy — ezt megelőző — régibb kiadása is.
Ezeken felül van még Frisius könyvének egy kéziratban fenn
maradt csehnyelvű kivonata,® az 1580— 1583. évekből, amely gya
korló feladatokat és cseh nyelven írt ajánlást is tartalmaz.® A morva iskolatestvérek munkája, akik az akkoriban Csehországban köz- használatnak örvendő Gemma-könyvet iskolai célra kivonatolták cseh nyelven.^
Az altdorfi gimnázium 1575-ben kelt szabályzata Gemma Frisius számtankönyvének a használatát írta e l ő : „A matematika tanárának az aritmetikát, amennyiben a latin nyelvben járatos, világosan és értelmesen kell olvasnia és megmagyaráznia. És ezt különösképpen a Gemma Frisius könyvecskéjéből.“ ® Nagyon való
színű, hogy az altdorfi gimnázium e rendeletével csak szentesitette a latin iskolák általános eljárását, amikor saját intézetébe is be
vezette a jónak tartott tankönyvet.
Gemma könyvének legtöbb kiadása Wittenbergből való.
Ebből következik, hogy középiskolai használatra való bevezetése a vallási mozgalmakkal párhuzamosan történt és a lutheri iskola- politika céltudatos lépése volt. Erre utal a Melanchton Fülöptőt származó, versben írt, nyolc-soros számtani feladat, amely a német- országi kiadású könyveken kívül a párizsiban is szerepel.
Gemma könnyvét kiadták tudomásom szerint: Wittenbergben 19 ízben, Párizsban 16-szor, Lipcsében 12-szer, Antwerpenben 7-szer,.
Kölnben 5-ször, Strassburgban 2-szer és Lyonban 2-szer.®
A debreceni ref. kollégium könyvtárában egy 1551-es kiadású Gemma-könyv van.’ Mindezek azt bizonyítják, hogy Gemma köny
vének nemcsak a híre jutott el Debrecenbe. Nagyon való.színű,.
hogy a kollégiumban ezt használták a matematika tanításánál tan- és segédkönyvül. Ezért állítja Hoffhalter Rudolf a Debreceni Arit
metika bevezetésében, hogy az a Frisius könyvének fordítása.
1 Manuel du Libraire et de I amateur de L ivres. . . p á r Jacques—Charles Brunei, Paris. 1861. II. p. 7638. — ^ Compendium ArUhmetieae Bohemium ex latina hac Frisii excerptum a me Conscriptum Anno Christi 1580. Euanczij in Aedibus fratrum. E. P. W. Manu propria. — * Boldogok, akik hallgatják és megtartják Isten igéjét. A tekintetes és tudással ékeskedő Paulin Ezékiel Já
nos ifjúnak emlékül 1583. Szt.-Anna utáni hétfőn. — * L ásd: Zvlástni Olisk Ze Sborníku Prírodovedeckého. 1929. A. Veller, Nekterá Kara mathematica V prazskíjch knihovnách. — ^ Unger, Die Melh. d. prakt. Arithm. p. 25. —
* E kiadások legtöbbjét felsorolja D. E. Smiih, Rara Arithmetica. Boston, 1908. XVI. p. 507. Ezek latin-nyelvű könyvek. A kiadások száma nagyobb, ha hozzászámítjuk a francia- és a cseh nyelven megjelent kiadásokat is. — ’ Dá
vid Lajos szíves közlése.
3.