Ebben a fejezetben a Fourier-analízis alapjait elevenítjük fel. Több tételt bizonyítás nélkül közlünk, ám néhányat bizonyítunk is, elsősorban olyanokat, amelyekhez hasonlót vagy analógot később látni fogunk wavelet- vagy Gábor-transzformáltakra.
3.1. 2.1 Fourier-sorok
Most röviden ismertetjük a Fourier-sorok elméletét először Hilbert-terekben, aztán az -terekben. A tételeket bizonyítás nélkül ismertetjük.
2.1. Definíció Legyen egy Hilbert-tér. A rendszert ortonormált rendszernek nevezzük, ha
ahol a Hilbert-térhez tartozó skalárszorzatot jelöli.
2.2. Definíció A ortonormált rendszer teljes a Hilbert-térben, ha az
feltételből következik, hogy . exteljes ortonormált rendszer
2.3. Definíció A ortonormált rendszer bázis a Hilbert-térben, ha minden -ra egyértelműen léteznek számok, hogy
2.4. Definíció Legyen Hilbert-tér, ortonormált rendszer és . Az függvény -adik Fourier-együtthatójának az
számot nevezzük. A
formális sor az függvény Fourier-sora.
A Fourier-analízisben alapvető kérdés, hogy vissza lehet-e állítani -et a Fourier-együtthatóiból, vagy a Fourier-sorából, illetve ha igen, hogyan. A következő tétel azt mondja ki, hogy teljes ortonormált rendszer esetén előállítható a Fourier-együtthatóiból.
2.5. Tétel Legyen Hilbert-tér, teljes ortonormált rendszer és . Ekkor Fourier-sora -ban konvergál az függvényhez, azaz
Továbbá érvényes a Parseval-egyenlőség, azaz
Az első egyenlőség azt jelenti, hogy minden előál-lítható az orto-normált rendszer segítségével. Azt is könnyű látni, hogy az előállítás egyér-telmű, azaz az ortonormált rendszer bázis -ban. Sőt, a következő tétel is igaz.
2.6. Tétel Legyen Hilbert-tér és ortonormált rendszer. Ekkor pontosan akkor teljes, ha bázis.
Most térjünk át egy speciális ortonormált rendszer, a trigonometrikus rendszer vizsgálatára. A Hilbert-tér helyett az teret fogjuk tekinteni. Itt a skalárszor-zatot az
képlettel definiáljuk.
2.7. Definíció Az függvényrendszert trigonometrikus rend-szernek nevezzük.
extrigonometrikus rendszer
2.8. Tétel A trigonometrikus rendszer teljes ortonormált rendszer, vagy ortonormált bázis -ben.
A (trigonometrikus) Fourier-együtthatókat és a (trigonometrikus) Fou-rier-sort tehát az extrigonometrikus Fourier-együttható extrigonometrikus Fourier-sor
és
képletekkel adhatjuk meg. Könnyen látható, hogy ezek a definíciók minden -re is érvényesek.
Tudjuk, hogy az függvény trigonometrikus Fourier-sora -normában konvergál -hez. Ezt álta-lá-nosíthatjuk a többi térre is. Ehhez először bevezetjük a részlet-összegeket.
2.9. Definíció Az függvény trigonometrikus Fourier-sorának -edik részlet-össze-gén az
összeget értjük.
Az térben való konvergencia a következőképpen általánosítható tehát az terekre.
2.10. Tétel Ha valamely -re, akkor
és
A tétel azonban már nem igaz -re vagy -re.
A harmonikus analízis egyik legmélyebb tétele a Carleson-tétel, ami azt mondja ki, hogy -beli függvény Fourier-sora majdnem mindenütt is konvergál az eredeti függvényhez.
2.11. Tétel (Carleson)exCarleson-tétel Ha valamely -re, akkor
Ha , akkor
Természetesen ez a tétel sem igaz -re.
3.2. 2.2 Schwartz-függvények
Jelöljük -rel az végtelen sokszor deriválható függvényeket és legyen
2.12. DefinícióAz függvényt Schwartz-függvénynek nevezzük, ha minden -re
A Schwartz-függvények osztályát -rel fogjuk jelölni. Egy végtelen sokszor deriválható függvény akkor Schwartz-függvény tehát, ha bármely polinommal megszorozva a -ben még mindig lecseng a függvény.
Most lássunk néhány példát Schwartz-függvényekre, illetve nem Schwartz-függvényekre. Nyilván
Könnyen látható, hogy
De
mert nem is deriválható a pontban. Az
hiszen a -ben nem cseng le eléggé. A következő állítás azonnal adódik a definícióból.
2.13. Állítás Legyen . Ekkor pontosan akkor, ha minden -re létezik konstans, hogy minden -re
Az nem normált tér, azonban egy topológia definiálható rajta. Mi itt egy konvergenciát vezetünk csak be -en.
2.14. Definíció Legyen . Azt mondjuk, hogy
ha minden -re
A következő tétel alapján az -ben való konvergencia erősebb, mint az -ben vett konvergencia.
2.15. Tétel Legyen és . Ekkor és
ahol az egészrészét jelöli. Ha
Bizonyítás. A bizonyítandó egyenlőtlenség triviális esetén. Ha , akkor
Az -beli konvergencia bizonyításához alkalmazzuk ezt a becslést -ra:
Az és választás esetén
Itt a jobb oldal -hoz tart az -beli konvergenciájának definíciója miatt. Következésképpen -normában is. [QED]
3.3. 2.3 Fourier-transzformált
Először idézzük fel a Fourier-transzformált fogalmát és legfontosabb tulaj-donságait.
2.16. Definíció Legyen . Ekkor az függvény Fourier-transzfor-máltját az
képlettel definiáljuk.
Lássunk egy konkrét és hasznos példát!
2.17. Állítás Az függvény Fourier-transzformáltja önmaga, azaz . Bizonyítás. A Fourier-transzformált definíciója alapján és egy teljes négy-zetté alakítás után
Vizsgáljuk a jobb oldali integrált és vegyük észre, hogy az
függvény állandó. Valóban, hiszen a deriváltja
Így vehetjük a függvényt az helyen:
A polártranszformációt használva,
A helyettesítéssel láthatjuk, hogy
így . [QED]
2.18. Definíció Legyen egy tetszőleges függvény, , . Ekkor a eltolás- (vagy transzláció-) operátort a exeltolásoperátor
képlettel, a dilatációoperátort a
képlettel, míg az modulációoperátort az
képlettel definiáljuk. Az involúciós függvénye legyen
Ezen operátorok és a Fourier-transzformált kapcsolatáról szól az alábbi tétel.
2.19. Tétel Legyen , , , és . Ekkor igazak a következő állítások:
1. és ,
2. ,
3. ,
4. ,
5. ,
6. ,
7. ,
8. ,
9. ,
10. ,
11. .
Bizonyítás.
1.
2. és (c) a definíció alapján triviális.
3.
4.
5.
A harmadik egyenlőségnél az helyettesítést végeztük el.
6.
7. Legyen először és integráljunk parciálisan:
hiszen az feltételből következik. Tet-szőleges -ra fenti összefüggés többszöri alkalmazásával a bizonyítandó állításhoz jutunk.
8.
Többszöri alkalmazással adódik az állítás.
9. Az (i) állítást alkalmazva adódik, hogy
Most használjuk (h)-t jobbról balra helyett -val, valamint (a)-t:
minden -re, hiszen könnyen láthatóan (lásd 2.15. Tétel). Ez
azt jelenti, hogy .
10.
Ezzel befejeztük a tétel bizonyítását. [QED]
Most kicsit módosítjuk a transzformált definícióját és később látni fogjuk, hogy ez a Fourier-transzformált inverze.
2.20. Definíció Az inverz Fourier-transzformáltja az
függvény.
Az összes eddigi tulajdonság nyilván igaz marad az inverz Fourier-transz-formáltra is. A Fourier-transzformált és az inverz Fourier-transzformált kap-csolatáról szól a következő alapvető tétel.
2.21. Tételexinverziós formula Ha , akkor
1.
2.
3.
4.
A (b) azt jelenti, hogy valóban az inverz Fourier-transzformált, ezért az
jelölést is alkalmazni fogjuk. A (c) egyenlőséget az
formában fogjuk leggyakrabban alkalmazni, ahol az függvény skalárszorzata az
A (c) és (d) egyenlőséget Plancherel-tételnek nevezzük, ez azt jelenti, hogy a Fou-rier-transzformált és az inverz Fourier-transzformált is izometria az téren.
Bizonyítás.
1. A Fubini-tétel miatt
2. Tekintsük a
függvényt, majd vegyük a Fourier-transzformáltját. Ehhez használjuk fel az előző tétel (e) és (f) pontját.
Alkalmazzuk erre a függvényre az (a)-t:
Tartsunk -nal a nullához és vizsgáljuk meg ekkor az egyenlőség két ol-dalát. A jobb oldalra alkalmazzuk a Lebesgue-tételt. Ehhez először be kell látni, hogy létezik integrálható majoráns. Valóban,
hiszen mellett is teljesül. Tehát
A (30) bal oldaláról azt fogjuk bizonyítani, hogy az -hez tart, ha . Először végezzük el a helyettesítést:
Ha csak az exponenciális függvényt integrálnánk, akkor az helyettesítés után
adódna. Ezt felhasználva
Az utóbbi integrált ketté bontjuk az és az halmazokon való integrálásra, ahol a számot később megválasztjuk:
Könnyen látható, hogy ha a -ben -hoz tart és folytonos függ-vény, akkor egyenletesen is folytonos.
Vagyis minden Schwartz-függ-vény egyenletesen folytonos, így is az. Tehát ha egy adott -hoz -t elég kicsire választjuk, akkor
Ekkor (31) miatt
-ben becsüljük meg -et egyszerűen a szuprémummal és végezzük el az helyettesítést:
ha . Tehát (30) bal oldala valóban -hez tart.
3. Jelöljük a bizonyítandó
egyenlőség jobb oldalán lévő második függvényt -vel, és legyen . Ekkor
vagyis . -t -be helyettesítve adódik az állítás.
4. Alkalmazzuk (c)-t a függvényre, ekkor az egyenlő-séget kapjuk. A másik egyenlőség
az egyenletből következik.
Ezzel a tétel bizonyítása teljes. [QED]
Ezek után a Fourier-transzformáltat ki fogjuk terjeszteni négyzetesen integrálható függvényekre is. Tudjuk,
hogy sűrű -ben, ezért létezik , hogy
2.22. Definíció Ha , akkor válasszunk olyan függvényeket, amelyek rendelkeznek a (32) tulajdonsággal. Legyen exFourier-transzformált
Jegyezzük meg, hogy a definíció értelmes, mert a Plancherel-tétel miatt Cauchy-sorozat -ben, hiszen
ha . Így létezik az határérték -ben. Ez a határérték egyértelmű, tudniillik ha van két sorozatunk, az és , amelyek rendelkeznek a (32) tulajdonsággal, akkor és . De az és sorozatok összefésülése is rendelkezik a (32) tulajdonsággal, így az összefésült sorozat Fourier-transzformáltja is konvergens -ben, ami csak úgy lehet, ha .
Ez a definíció valóban kiterjeszti a Fourier-transzformált eredeti definí-cióját, hiszen ha , akkor választhatjuk az sorozatot.
A definícióból az is következik, hogy a Fourier-transzformált izometria tulajdonsága öröklődik:
A 2.21. Tétel többi része is könnyen igazolható.
2.23. Tételexinverziós formula Ha , akkor
1.
ami (a)-t igazolja. A tétel többi része is hasonlóan bizonyítható. [QED]
A Fourier-transzformált eredeti 2.16 definíciója -beli függ-vényekre is értelmes lesz.
2.24. Tétel Ha , akkor
majdnem minden -re.
Bizonyítás. Tegyük fel először, hogy kompakt tartójú függvény. Ekkor léteznek függvények, hogy
Feltehető, hogy az függvények tartója része az tartójának. A Hölder-egyenlőtlenség miatt az -norma kisebb az -norma konstansszorosánál (lásd a 1.13. Állítás), ha az alaptér véges mértékű, így az előző konvergencia -normában is teljesül. A definíció alapján
Másrészről, mivel -normában, ezért
majdnem minden -re. A Riesz-tételből és a (34) egyenlőségből adódik, hogy létezik egy részsorozat, hogy
Mindezek alapján
majdnem minden -re, ha kompakt tartójú.
Legyen most tetszőleges, és . Ekkor könnyen láthatóan
Ebből következik, hogy
hiszen (33) miatt
(Ez utóbbi indoklásra azért volt szükség, mert nem Schwartz-függvény.) már kompakt tartójú függvény, így a bizonyítás első része alapján
Mivel -normában, ezért
ami már bizonyítja a tételt. [QED]
Ezek után integrálható függvényekre könnyen kiterjeszthető a Fourier-transzformált.
2.25. Definíció Az függvény Fourier-transzformáltja az
Könnyen látható, hogy a 2.19. (a) Tétel függvényekre is teljesül.
2.26. Tétel (Riemann-Lebesgue)exRiemann-Lebesgue-tétel Ha , akkor egyenletesen folytonos és
Bizonyítás. Tekintsük először az intervallum karakterisztikus függvé-nyét, azaz legyen . Ekkor
amiből már következik, hogy
hiszen
Legyen most lépcsős függvény, azaz
ahol , az halmazok pedig intervallumok. Ekkor a Fourier-transzformált linearitása miatt
ha . Mivel a lépcsős függvények sűrűn vannak az térben, ezért minden -hez és minden -hoz létezik egy lépcsős függvény, hogy
Ekkor a 2.19. (a) Tétel miatt
ha elég nagy, ami bizonyítja a (35) egyenlőséget.
Az egyenletes folytonossághoz vegyük észre, hogy
Az integrandus -tól függ, és -hoz tart, ha , megbecsülhető -szel, ezért a Lebesgue-tétel miatt az integrál is -hoz tart, ha . Ebből már következik az egyenletes folytonossága. [QED]
Azt kaptuk tehát, hogy a Fourier-transzformált az -ből -be képező operátor, vagyis
Terjesszük tovább a Fourier-transzformáltat az terekre! Emlékeztetünk rá, hogy az 1.12.
Állítás alapján .
2.27. Definíció Ha valamely -re, akkor felbont-ható összegre, ahol és . Ekkor legyen exFourier-transzformált
Az és függvényeknek például az és választás megfelelő. Valóban,
és , mert
és
Vegyük észre azt is, hogy nem függ a felbontástól, hiszen ha
, , akkor átrendezve
következésképpen
Most általánosítjuk a 2.19. (a) Tételt és a 2.23. (d) Tételt -beli függvényekre, ahol . A tétel bizonyítását a Riesz-Thorin-tétel alkalmazásával kapjuk meg.
2.28. Tétel (Hausdorff-Young)exHausdorff-Young-tétel Legyen , pedig konjugált indexe, azaz . Ekkor
Bizonyítás. Az előbb említett két tételből tudjuk, hogy
azaz
korlátos lineáris operátorok. A Riesz-Thorin-tétel (1.34. Tétel) miatt ezért bármilyen esetén az
operátor is korlátos, ahol
Vagyis , tehát és
Ezzel a bizonyítást befejeztük. [QED]
3.4. 2.4 Temperált disztribúciók
Az előző úton sajnos már nem tudjuk tovább kiterjeszteni a Fourier-transz-formáltat. Pontosabban, ha , , akkor már általában nem értelmezhető függvényként. Ezért bevezetjük a
Másként fogalmazva a temperált disztribúciók az duális terének, -nak elemei. Nézzünk néhány példát temperált disztri-búcióra. A linearitás mindegyik esetben triviális, ezért ezt már külön nem említjük.
2.30. Példa ent
1. A legegyszerűbb temperált disztribúció a Dirac-mérték, vagy Dirac-del-ta. Legyen , vagyis az Schwartz-függvényhez a -ban felvett értékét rendeli hozzá. Ez valóban temperált disztribúció, hiszen ha -ben, akkor -ben. Mivel folytonos, ezért egyenletesen is, vagyis pontonként is. Tehát
2. Legyen valamely -re és
Az integrál a Hölder-egyenlőtlenség miatt nyilván értelmes, mert , . Ha -ben, akkor -ben is, és újból a Hölder-egyenlőtlenség miatt
ha , vagyis temperált disztribúció. Így minden függvény meghatároz egy temperált disztribúciót. A függvényt és a belőle generált temperált disztribúciót azonosnak fogjuk tekinteni.
Azaz, ha valamely -re, akkor azt mondhatjuk, hogy . Még kiemeljük példaként a függvényt, ami szintén temperált disztribúció, de egyik térben sincs benne, ha
.
3. Létezik olyan temperált disztribúció is, amely nem eleme egyik térnek sem. Legyen
Könnyű látni, hogy ha , akkor semmilyen -re. De ennek ellenére az , vagyis a temperált disztribúció lesz. Valóban, ha -et úgy választjuk, hogy , akkor
ha és -ben.
4. Létezik olyan temperált disztribúció is, amely nem is függvény. Legyen véges, előjeles Borel-mérték és
Ekkor, ha -ben, akkor
ahol a mérték totális variációja. Vagyis is temperált disz-tribúció, így minden véges Borel-mérték is meghatároz egy temperált disztribúciót.
Bizonyítás nélkül közlünk egy szükséges és elégséges feltételt temperált disztribúciókra.
2.31. Tétel Az lineáris funkcionál temperált disztribúció akkor és csak akkor, ha létezik
és , hogy
Most bevezetjük a temperált disztribúciók Fourier-transzformáltját és inverz Fourier-transzformáltját. A 2.23.
(a) Tétel miatt
ha és . Ez az egyenlőség igaz lesz -re is. Valóban, mivel sűrű -ben, ezért létezik , hogy
A (36) egyenlőség nyilván igaz minden -re, és a jobb oldalak határértékét véve
hiszen korlátos. Könnyű látni, hogy a 2.19. (a) Tétel igaz -re is. Ennek alapján
Következésképpen
hiszen . A Fourier-transzformált definíciója alapján (36) minden -re is igaz, ahol .
A (36) egyenlőséget megtartva vezetjük be a temperált disztribúciók Fourier-transzformáltját.
2.32. Definíció Legyen temperált disztribúció. Ekkor és inverz Fou-rier-transzformáltját az
képletekkel értelmezzük. exFourier-transzformált 2.33. Példa ent
1. , hiszen
Ekkor a 2.30. (b) Példa alapján azonosítható -gyel.
2. Legyen . Ekkor
ami alapján is felfogható függvényként, és .
A konvolúció fogalma is könnyen kiterjeszthető temperált disztribúciókra. Először vegyük észre, hogy esetén a
jelöléssel
Ezt a tulajdonságot megtartva terjesztjük ki a konvolúciót.
2.34. Definíció Legyen és . A konvolúciót a
képlettel definiáljuk.
A definíció értelmes, mert . Valóban, , hiszen és Schwartz-függvény, és így a szorzatuk is az. De Schwartz-függvény inverz Fourier-transzformáltja is Schwartz, így . 2.35. Definíció Legyen és . A szorzatot a
képlettel definiáljuk.
Ez a definíció is értelmes, mert Schwartz-függvény. Ezután a 2.19. Tételt is könnyedén ki tudjuk terjeszteni temperált disztribúciókra.
2.36. Definíció Legyen egy temperált disztribúció, , . Ekkor az eltolás-, a dilatáció- és a modulációoperátort a következő képletekkel definiáljuk:
és
Ezeket az operátorokat a 3. és 10. ábrán ábrázoltuk.
Bizonyítás. Legyen a bizonyítás során . 1. és (b) a definíció alapján triviális.
2.
3.
4.
5. A 2.19. (h) Tétel bizonyításásból az is látszik, hogy ha -ben, akkor -ben, . linearitása nyilvánvaló, csak a folytonosságot kell ellenőrizni:
6.
7. A 2.19. (j) Tétel az inverz Fourier-transzformáltra is nyilván igaz:
Mindkét oldal Fourier-transzformáltját véve,
Ekkor
A tétel bizonyítása így teljes. [QED]
Temperált disztribúciókra is bevezetünk egy konvergenciát.
2.38. Definíció Legyenek temperált disztribúciók. Ekkor -ben, ha
Ez a konvergencia öröklődik a temperált disztribúciók Fourier-transzfor-máltjára is.
2.40. Tétel Legyenek temperált disztribúciók. Ha -ben, akkor
-ben, ha .
Bizonyítás. Mivel , ezért
ami igazolja a tételt. [QED]
A Fourier-soroknál megemlített alapvető tételek igazak maradnak Fou-rier-transzformáltakra is. Láttuk, hogy az inverz Fourier-transzformáltja az függvény, ha . Ha még is fennáll, akkor ezt úgy is írhatjuk, hogy
majdnem minden -re. Ha , akkor a jobb oldal általában nem értelmes. Ha ekkor a jobb oldalon csak a halmazon integrá-lunk, akkor megkapjuk a Fou-rier-sor -edik részletösszegének a megfelelőjét Fourier-transzformáltakra.
2.41. Definíció Az függvény -edik Dirichlet-integráljának az
integrált nevezzük.
Megjegyezzük, hogy a Hausdorff-Young-tétel (2.28. Tétel) alapján
ahol . Ebből adódik, hogy , és így természetesen
. Tehát az -et definiáló integrál értelmes.
Ezután érdemes feltenni a kérdést, hogy a Dirichlet-integrál vajon konver-gál-e -hez.
2.42. Tétel Ha valamely -re, akkor
és
Megfogalmazzuk a Carleson-tétel megfelelőjét is.
2.43. Tétel (Carleson) Ha valamely -re, akkor
és
Az utóbbi tételeket azért mondtuk ki -beli függvényekre, ahol , mert esetén a Fourier-transzformáltat általában nem lehet függvényként értelmezni. A temperált disztribúciók vagy egyéb sűrűségi meggondolások segítségével a tételek megfogalmazhatók lennének -re is.
3.5. 2.5 Poisson szummációs formula
A Poisson szummációs formula a Fourier-transzformált és a Fourier-sor között teremt összefüggést. E formula bizonyításában és a későbbiekben is sokszor fogjuk használni az alábbi periodizációs lemmát.
2.44. Lemmaexperiodizációs lemma Ha , akkor minden számra
és a függvény-sor majdnem mindenütt és -ban is konvergens.
Bizonyítás. Mivel felbontható az
alakban, ezért az helyettesítéssel kapjuk, hogy
Hasonlóan, mivel , ezért
Következésképpen a sor majdnem minden -re véges, tehát a sor
majdnem mindenütt konvergens.
A függvénysorokra kimondott, a szumma és az integrál felcserélhetőségéről szóló Lebesgue-tétel alkalmazható, eszerint
Az -konvergenciához vegyük észre, hogy
ami a -hoz tart, ha , hiszen a (37) egyenlőségben található sor konvergens. [QED]
2.45. Megjegyzés Itt a
egy szerint periodikus függvény, amelyet szerinti periodizáltjának neve-zünk.
Mielőtt megfogalmazzuk a Poisson szummációs formulát, vezessük be a folytonos függvények azon osztályát, melyeknek Fourier-soruk nem csak konvergens, hanem abszolút konvergens is.
2.46. Definíció Jelölje
ahol
A következő tétel bizonyítása a Weierstrass-tételen múlik, ezért először elevenítsük föl azt.
2.47. Tétel (Weierstrass)exWeierstrass-tétel Legyen olyan függvény-sorozat, melyre
Ekkor a függvénysor egyenletesen konvergens, azaz létezik olyan függvény, amelyre
2.48. Tétel Ha , akkor Fourier-sora egyenletesen és abszolút konvergál -hez.
Bizonyítás. Tekintsük Fourier-sorát! Világos, hogy
továbbá miatt
Következésképpen a Weierstrass-tétel miatt a
függvénysor egyenletesen konvergens. Az egyenletes konvergencia miatt tehát létezik egy függvény, amelyhez az függvény Fourier-sora egyenletesen konvergál, azaz
Szorozzuk be mindkét oldalt -szel és integráljunk! Az egyenletes konvergencia miatt a sort tagonként integrálhatjuk:
Tehát minden -re, amiből viszont a trigonometrikus rendszer teljessége miatt következik majdnem mindenütt. A feltevésünk szerint az függvény folytonos, a függvény pedig az egyenletes konvergencia miatt szükségképpen folytonos. Következésképpen minden
pontban. [QED]
A definíció alapján azonnal látható, hogy a következő tétel feltételeit a Schwartz-függvények kielégítik.
2.49. Tétel ( {Poisson szummációs formula}) Tegyük fel, hogy valamely -ra és -ra
Ekkor
minden -re, továbbá mindkét sor abszolút konvergens.
Bizonyítás. Vezessük be a következő szerint periodikus függvényt:
ami pontosan a bizonyítandó állításunk bal oldala. Először is , ugyanis
Másodszor pedig a 2.44. Lemmából következik, hogy . Számítsuk ki a szerint periodikus függvény -edik Fourier-együtthatóját:
Mivel szerint periodikus, ezért
Alkalmazva a 2.44 periodizációs lemmát az függvényre, láthatjuk, hogy
vagyis -edik Fourier-együtthatója megegyezik Fourier-transzfor-mált-jával az helyen.
Belátjuk, hogy is és is folytonos. Mivel is teljesül, , , és
, ezért folytonos. Most legyen , ahol tetszőleges. Ekkor
A Weierstrass-tétel miatt a függvénysor egyenletesen konvergens a intervallumon.
Természetesen hasonlóan igazolható, hogy a is egyenletesen konvergens, így a
függvénysor is egyenletesen konvergens -n. Vagyis egy folytonos függvényekből álló egyenletesen
konvergens függvénysor összegfüggvénye, szükségképpen is folytonos a intervallumon. Mivel tetszőleges, ezért mindenütt folytonos.
Hasonlóan (39)-hez,
azaz , vagyis a 2.48. Tétel miatt Fourier-sora előállítja -t, azaz
minden -re. [QED]
A Poisson szummációs formula feltételein gyengíthetünk is.
2.50. Tétel Tegyük fel, hogy , a függ-vénysor egyenletesen konvergens kompakt halmazokon és
Ekkor
minden -re, továbbá mindkét sor abszolút konvergens.
Bizonyítás. A bizonyítás az előzőhöz hasonló, hiszen itt lényegében feltettük azokat a feltételeket, amiket az előző tételben beláttunk, nevezetesen hogy
egyenletesen konvergens a intervallumon tetszőleges -re illetve, hogy . [QED]
2.51. Következmény A 2.49. vagy a 2.50. Tétel feltételei mellett
Bizonyítás. A megfelelő tételeket speciálisan az -ban véve kapjuk az egyenlőséget. [QED]
Bizonyítás. A megfelelő tételeket speciálisan az -ban véve kapjuk az egyenlőséget. [QED]