Az (f'(x0)) határérték nem csak első ránézésre tűnik nehéznek: " " típusú az derivalhato&folytonos-Tetel. Tétel szerint is, ennek buktatóit a határértékszámításban gyakorlott hallgatók már tudják, az nemerivvl. Példában is láttuk ennek nehézségeit!
Szerencsére elegendő mennyiségű tétel áll rendelkezésünkre, csak meg kell tanulnunk ezeket és használatukat - ebben az alfejezetben ehhez nyújtunk segítséget.
Az esetek zömében az alábbi tételek kényelmes használatával végezhetjük számításainkat, ezt hívják formális differenciálhányados-számításnak. (Néha az ismertetendő tételek nem használhatóak, ekkor vissza kell térnünk az (f'(x0)) formula közvetlen kiszámításához, ezt hívják definíció alapján történő differenciálhányados-számításnak.)
Tétel. (Gyűjtemény az alapfüggvényekről) Az összes alapfüggvény értelmezési tartományának legtöbb olyan belső pontjában deriválható, ahol folytonos. Az alapfüggvények deriváltfüggvényeit többek között az alábbi Megjegyzés (w) pontjában felsorolt helyeken megtalálhatjuk.
Sok kivételt például az nemerivvl. Példában ismertettünk.
Megjegyzés. (!) A fenti megfogalmazás nem precíz matematikailag (ráadásul sok tétel egyvelege), csak a témakörrel ismerkedők részére írtuk le ilyen formában!
Differenciálszámítás és alkalmazásai
(w) Az alapfüggvények deriváltfüggvényeinek legteljesebb listáját [SzK] Függelékében, vagy [www2] -ben, azaz a következő címen találhatjuk:
http://math.uni-pannon.hu/~szalkai/Der+Int-tablazat-sk-nagy.gif
Nagyon rövid táblázat van a középiskolai függvénytáblázatok c. gyűjteményben.
Mindegyik összefüggést (mint a legtöbb matematikai képletet) betűk helyett szavakkal ("versikék") érdemes megtanulnunk és alkalmaznunk, mint pl. az alábbi megjegyzésben is.
Néhány megjegyzést érdemes alaposan átgondolnunk a táblázattal kapcsolatban:
Megjegyzés. (Alapfüggvények deriváltjai "versikékben", © Szalkai István) Mint már az Fejezet-Alapfuggvenyek. "Alapfüggvények" fejezetben is tanácsoltuk, a függvényeket és a velük kapcsolatos képleteket az betű nélkül tanácsos megjegyeznünk, tehát például
" négyzetre emelés deriváltja = kétszer az alap ",
" logaritmus nat. deriváltja = 1 per " (azaz =reciprok),
" szinusz deriváltja = koszinusz " ,
" koszinusz deriváltja = mínusz szinusz " ,
" tangens deriváltja = 1 per koszinusz négyzet ", ... ,
ez különösen az Deriv+osszetett-Tetel. Tételben megismerésre kerülő láncszabálynál lesz hasznos.
Megjegyzés. Az ( ) és ( ) szabályok könnyen
összetéveszthetők, nagyon ügyeljünk a különbségekre! Az alakú hatványfüggvényekben "az alap mozog, a kitevő fix" , deriválása "a kitevővel szorzok majd csökkentem a kitevőt -gyel" (" -ás képlet").
Az alakú exponenciális függvényeknél pedig "az alap fix, a kitevő mozog", deriválása pedig "önmaga az alap logaritmusával".
Megjegyzés. Tanulságos lesz megvizsgálnunk a hatványfüggvények
szabályát közelebbről különböző kitevőkre, hiszen nagyon sokféle függvényt foglal magában az típus, vagyis egyetlen szabállyal nagyon sok függvényt tudunk deriválni!
: ,
Differenciálszámítás és alkalmazásai
tehát , vagyis ,
sőt :
tehát , vagyis ... .
A fenti sorokat azért érdemes megtanulnunk, mert a gyakorlatban nekünk kell észrevennünk az kitevőt
!!! Formális integrálás (ld. a Fejezet-integr-szabalyok. "Integrálási szabályok és módszerek" fejezetben) esetén is nekünk kell észrevennünk hasonlóan az kitevőket!
A fenti sorok is mutatják, hogy az alapfv-deriv-tetel. Tétel, sőt az " -ás képlet" is valójában sok tétel / bizonyítás gyűjteménye.
Mint tudjuk, bonyolultabb függvényeket az alapfüggvényekből az alapműveletekkel, kompozícióval és inverz-képzéssel tudunk előállítani.
Tétel. (Differenciálhányados műveleti szabályok)
Ha és differenciálható függvények az
belső pontban, tetszőleges rögzített valós szám, akkor az , és függvények is differenciálhatóak az helyen, mégpedig
(6.14)
Továbbá, a feltétel esetén az függvény is differenciálható az helyen, és
(6.15)
Tétel. (Láncszabály) Ha differenciálható az helyen és
differenciálható a helyen, akkor az összetett függvény is differenciálható az helyen, mégpedig
(6.16) Hasonló feltételek teljesülése esetén az összetett függvény is differenciálható az helyen, és
(6.17) Tétel. (Inverz függvény deriválási szabálya) Ha függvény folytonos és szigorúan monoton az pont valamely környezetében, differenciálható az helyen és , akkor az inverzfüggvény is differenciálható az helyen, mégpedig
(6.18)
Differenciálszámítás és alkalmazásai
Megjegyzés. (o) Vegyük észre, hogy a fenti tételekben nem csak az (d/dx(f+g))-(d/dx(f-inv)) képletek szerepelnek, hanem a nevezett , ... , függvények deriválhatósága is! Ez alapján mondhatjuk nyugodtan a legtöbb függvényre, hogy "persze, deriválható", de ne feledjük: már az nemerivvl. Példában is találkoztunk (és a zh-kban is fogunk találkozni) nem deriválható, folytonos függvényekkel.
(i) A szorzatfüggvény (d/dx(f*g)) és a konstansszor (d/dx(c*f)) szabályait nem érdemes összekevernünk.
Bár az előbbi általánosabb és belőle könnyen levezethető az utóbbi, mégis érdemes (d/dx(c*f)) -et külön megjegyeznünk, fáradtságot takaríthatunk meg vele. Hasonlóan: (d/dx(f/c)) is levezethető (d/dx(f/g)) -ből, mégis érdemes külön megtanulnunk.
deriválására is szoktak külön szabályt levezetni (d/dx(f/g)) -ből:
(6.19)
Mint a legtöbb matematikai összefüggést, az (d/dx(f+g))-(d/dx(f-inv)) képleteket is betűk helyett szavakkal (versikékben ) érdemes megtanulnunk és alkalmaznunk!
Megjegyzés. (Deriválási "versikék", © Szalkai István) (i) " összeg és különbség deriváltja = tagonként",
(ii) " (konstans-szor függvény) deriváltja = konstans-szor (függvény deriváltja) ", (iii) " (függvény / konstans ) deriváltja = (függvény deriváltja) / konstans ", (iv) " szorzat deriváltja =
= (egyik tényező deriváltja * másik tényező) + (másik tényező deriváltja * egyik tényező)", (v) " hányados deriváltja =
= (számláló deriváltja * nevező MÍNUSZ nevező deriváltja * számláló) / (nevező négyzete), (vi) " összetett fv. deriváltja =
Tehát az ((d/dx)(mx+b)) összefüggés teljesen nyilvánvaló!
Megjegyzés. (i) Az (d/dx(fog)) és (d/dx(fogoh)) szabályokat azért hívják láncszabálynak (németül Ketten-Regel, angolul Chain Rule), mert az (d/dx(fogoh)) képletben a szorzótényezők láncszemekként kapcsolódnak egymáshoz. A fenti (vi) alapján a káposzta- vagy hagyma-szabály elnevezés szemléletesebb lenne, hiszen a fenti
Differenciálszámítás és alkalmazásai
Fejezet-osszetett-fuggveny. "Összetett függvények" fejezetet és különösen annak Osszetett-fv-Peldak. Példáit ismételten tanulmányoznunk.
(iii) Az (d/dx(fog)) képletet sokszor írják tömörebben alakban, ami nagyon nehezen érthető és ráadásul könnyen összetéveszthető az szabállyal, mi kizárólag az (d/dx(fog)) és (d/dx(fogoh)) képleteket, pontosabban a fenti Derival-versek. Megjegyzés (vi) szabályát ajánljuk!
Példa. Néhány vegyes példa (gondolkozzunk el minden esetben: mi a külső- és mi a belső- függvény!):
,
Érdemes alaposan tanulmányoznunk [SzK] , [SzF] és [www0] egyszerűbb és bonyolultabb kidolgozott példáit, hiszen a deriválás egy "alapművelet" az analízis tantárgyban! Persze már évtizedek óta vannak számítógép-programok, melyek tetszőleges képletet formálisan deriválnak, de egyrészt (általában) nem emberi fejjel dolgoznak és így a végeredmény is nehezen érthető, másrészt nekünk is először illik megtanulnunk, mi is az a derivált ... .
Megjegyzés. Mint már a d/dx Jeloles. Jelölésben, a d/dx Megj. Megjegyzésben és a d/dx-Pelda. Példában említettük, gyakorlati szakemberek és számítógép-programok is gyakran használják a jelölést. Érdemes ezt is kicsit gyakorolnunk.
Például , hasonlóan , de
így például .
Végül egy speciális technikai probléma megoldását írjuk le, amely probléma a függvények általános vizsgálatában (ld. Fejezet-konvex-vizsg. "Konvexitás vizsgálata" fejezet) sajnos elég gyakori.
Megjegyzés. Ha egy törtfüggvény, és második deriváltját kell előállítanunk és megvizsgálnunk, akkor az első deriválás
Differenciálszámítás és alkalmazásai
után a második deriválásnál, a tört deriválásakor: a nevezőt összetett függvényként kell deriválnunk:
és így tudunk egyszerűsíteni -el:
ami végső soron a tört fokszámát csökkenti.
Helyhiány miatt most példákat nem tudunk bemutatni, csak buzdítani [SzK] és [SzF] feladatainak és megoldásaink tanulmányozására!