Felf´ ujt zajos m´ atrixok

Defini´alunk egy ´altal´anos v´eletlen m´atrix fogalmat, mely a Wigner-f´ele f´elk¨ort´etel m´ at-rix´anak ´altal´anos´ıt´asa. Ezt, mint zajt fogjuk hozz´aadni speci´alis determinisztikus blokk-m´atrixokhoz.

5.17. Defin´ıci´o Legyenek w_ij-k (1 ≤ i ≤ j ≤ n) f¨uggetlen, val´os ´ert´ek˝u val´osz´ın˝ u-s´egi v´altoz´ok, melyek ugyanazon a val´osz´ın˝us´egi mez˝on vannak ´ertelmezve; wji = wij, E(w_ij) = 0 (∀i, j), ´es w_ij-k egyenletesen korl´atosak, azaz van olyan K > 0 konstans (f¨uggetlen¨ul n-t˝ol), mellyel |w_ij| ≤ K, ∀i, j. A W_n = (w_ij)1≤i,j≤n szimmetrikus, val´os, n×n-es m´atrixot Wigner-zajnak nevezz¨uk.

Megjegyzezz¨uk, hogy az egyenletes korl´atoss´ag felt´etele feloldhat´o, ´es a k¨ovetkez˝o

´

all´ıt´asok norm´alis eloszl´as´u m´atrixelemek eset´en is ´erv´enyben maradnak.

A leggyakrabban haszn´alt ´all´ıt´as, mely F¨uredi ´es Koml´os [34] cikk´eben lett kimondva egy n×n-es szimmetrikus Wigner-zaj spektr´alnorm´aj´ara, a k¨ovetkez˝o:

kW_nk= max

1≤i≤n|λ_i(W_n)| ≤2σ√

n+O(n^1/3logn) (5.18) 1-hez tart´o val´osz´ın˝us´eggel, ha n → ∞, ahol σ² a w_ij elemek varianci´aj´anak k¨oz¨os fels˝o korl´atja.

5.18. Defin´ıci´o Legyen k ≤ n r¨ogz´ıtett pozit´ıv eg´esz. Az n ×n-es szimmetrikus B m´atrixot a k × k-as szimmetrikus P m´atrix felf´ujtj´anak nevezz¨uk (0 < p_ij < 1), ha vannak olyan n₁, . . . , n_kpozit´ıv eg´eszek (Pk

i=1n_i =n), hogy aBm´atrix sorait ´es oszlopait ugyan´ugy permut´alva egy k² blokkb´ol ´all´o blokkm´atrixot kapunk, ahol az n_i×n_j-es (i, j) blokk elemei mind p_ij-vel egyenl˝oek (1≤i, j ≤k).

Most r¨ogz´ıtj¨uk a P m´atrixot ´es egyre nagyobb n × n-es B_n m´atrixsz´a f´ujjuk fel.

Vizsg´aljuk az An =Bn+Wn v´eletlen (zajos) m´atrixsorozatot, amint n1, . . . , nk → ∞, a k¨ovetkez˝o felt´etellel:

n_i n ≥c, ahol 0< c≤ ¹_k konstans.

Tegy¨uk fel tov´abb´a, hogy W_n elemeinek egys´eges K korl´atj´ara K ≤min{ min

i,j∈{1,...,k}p_ij, 1− max

i,j∈{1,...,k}p_ij} (5.19)

teljes¨ul. ´Igy A_n elemei a [0,1] intervallumban lesznek, ´esG_n = (V,A_n) v´eletlen ´els´ ulyo-zott gr´afot defini´al. A k¨ovetkez˝o speci´alis Wigner-zajjal el tudjuk ´erni, hogyG_negyszer˝u gr´af lesz a v´eletlenA_n szomsz´eds´agi m´atrixszal, melynek elemei az (a, b) blokkban 1-ek p_ab ´es 0-k 1−p_ab val´osz´ın˝us´eggel. Ezt a k¨ovetkez˝oW_n v´eletlen zajjal tudjuk megoldani:

legyen V₁, . . . , V_k a cs´ucsok felf´uj´as szerinti k-part´ıci´oja, |V_a| = n_a (a = 1, . . . , k). Az 1≤a < b≤k eg´eszekre ´es az i∈V_a, j ∈V_b indexekre legyenek

w_ij :=

1−p_ab p_ab val´osz´ın˝us´eggel

−pab 1−pab val´osz´ın˝us´eggel (5.20) f¨uggetlen val´osz´ın˝us´egi v´altoz´ok; az a = 1, . . . , k eg´eszekre ´es az i, j ∈ V_a (i ≤ j) inde-xekre pedig legyenek a

w_ij :=

1−p_aa p_aa val´osz´ın˝us´eggel

−p_aa 1−p_aa val´osz´ın˝us´eggel (5.21) elemek szint´en f¨uggetlenek, majd ezeket t¨ukr¨ozz¨uk a diagon´alisra ´ugy, hogyW szimmet-rikus legyen. Ez a W kiel´eg´ıti 5.17. Defin´ıci´o krit´eriumait, mivel elemei egyenleteasen korl´atosak ´es varianci´ajuk

σ² = max

1≤i≤j≤kpij(1−pij)≤ 1 4.

Ezesetben a v´eletlen (zajos) G_n = (V,A_n) gr´af egy ´un. ´altal´anos´ıtott v´eletlen gr´af lesz a V1, . . . , Vk part´ıci´on ´ugy, hogyVa ´esVb cs´ucsai egym´ast´ol f¨uggetlen¨ul, pab val´osz´ın˝us´eggel vannak ¨osszek¨otve (1 ≤ a ≤ b ≤ k), l. [25, 26, 45, 61, 75]. Ezt a sztochasztikus blokkmodellnek is nevezett modellt el˝osz¨or a [39] cikkben vezett´ek be, majd a [20, 49]

cikkek szint´en t´argyalj´ak. A fenti ´altal´anos´ıtott v´eletlen gr´afra ´ugy is tekinthet¨unk, mint az [31] cikkben bevezetett Erd˝os–R´enyi v´eletlen gr´af ´altal´anos´ıt´as´ara (az eredeti modell, ami a vil´ag els˝o v´eletlen gr´af modellje volt, az egyklaszteres speci´alis esetre vonatkozott).

A modellt r´eszletesen ismerteti a [18] k¨onyv is.

Majdnem biztos konvergencia ´all´ıt´as´ahoz azn×n-esW_n Wigner-zajra ismert k¨ ovet-kez˝o koncentr´aci´os egyenl˝otlens´eget haszn´aljuk, l. [3]:

P(|kW_nk −E(kW_nk)|> t)≤exp

−(1−o(1))t² 32K²

,

ahol K a W_n m´atrix elemeinek fels˝o korl´atja. Ezt ¨osszevetve a (5.18)-b´ol k¨ovetkez˝o kWnk = O(√

n) becsl´essel azt kapjuk, hogy EkWnk = O(√

n), 1-hez tart´o val´osz´ın˝ u-s´eggel. Ez´ert vannak olyanc₁,c₂ pozit´ıv val´os sz´amok (amelyek nem f¨uggnekn-t˝ol, csak K-t´ol), hogy

P kWk> c1

√n

≤e^−c2n. (5.22)

Miut´an a jobb oldal egy n-t´ol f¨ugg˝o konvergens v´egtelen sor ´altal´anos tagja, a Borel–

Cantelli lemma miatt W_n nem csak 1-hez tart´o val´osz´ın˝us´eggel, hanem majdnem biz-tosan is √

n rend˝u. Ezt a t´enyt fogjuk haszn´alni a k¨ovetkez˝o t´etel megfogalmaz´as´aban.

Felhaszn´aljuk tov´abb´a, hogy az n×n-es B felf´ujt m´atrix rangja megegyezik a k×k-as P m´atrix rangj´aval, az egyszer˝us´eg kedv´e´ert tegy¨uk fel, hogy ez k. Akkor a B m´atrix nem-nulla saj´at´ert´ekei, a β₁, . . . , β_k sz´amok, n nagys´agrend˝uek a blokkm´eretekre tett felt´etelek mellett.

5.19. T´etel Legyen B_n a k×k-as szimmetrikus P m´atrix felf´ujtja, melynek nem-nulla saj´at´ert´ekei a β₁, . . . , β_k sz´amok, ´es legyen W_n n×n-es Wigner-zaj. Akkor az A_n = B_n+W_n zajos v´eletlen m´atrixnak van olyan λ₁, . . . , λ_k saj´at´ert´eke, melyekre

|λi−βi| ≤2σ√

n+O(n^1/3logn), i= 1, . . . , k (5.23)

´es a t¨obbi n−k saj´at´ert´ekre

|λ_j| ≤2σ√

n+O(n^1/3logn), j =k+ 1, . . . , n (5.24) teljes¨ul majdnem biztosan, ha n → ∞ a blokkm´eretekre tett felt´etelek mellett.

B_n saj´at´ert´ekeinek Θ(n) nagys´agrendj´et figyelembe v´eve, azA_nm´atrixklegnagyobb abszol´ut ´ert´ek˝u ´es a t¨obbi saj´at´ert´ekei k¨ozt egy ∆−2ε r´es lesz, ahol

ε= 2σ√

n+O(n^1/3logn) ´es ∆ = min

1≤i≤k|β_i|. (5.25)

A 5.19. T´etel ´ertelm´eben az A_n m´atrix teh´at rendelkezni fog k kiugr´o, ´un. struktu-r´alis saj´at´ert´ekkel. A [13] cikkben bel´attuk, hogy aBn m´atrixβ1, . . . , βk saj´at´ert´ekeihez tartoz´o saj´atvektorok koordin´at´ai megegyeznek a felf´uj´asnak megfelel˝oV₁, . . . , V_kpart´ıci´o egyes elemein. Jel´oljeF az ezen szakaszonk´ent konstans vektorok alter´et. Azt is bel´attuk, hogy az An m´atrixλ1, . . . , λk struktur´alis saj´at´ert´ekeihez tartoz´o norm´alt saj´atvektorok t´avols´aga ett˝ol az alt´ert˝ol O(_n¹) rend˝u, ´ıgy az ezeken alapul´o reprezent´aci´oban a cs´ u-csok reprezent´ansainak k-varianci´aja is O(_n¹) rend˝u. Nem-szimmetrikus m´atrixokra, ha a v´eletlen m´atrixelemek eloszl´asa csak els˝o momentumukban t´er el, hasonl´o eredm´enyek tal´alhat´ok a spektrumra a [43] cikkben.

Hasonl´o eredm´eny bizony´ıthat´o a norm´alt modularit´as ill. Laplace m´atrix spektru-m´ara, l. [17]. A t´etelek l´enyege az, hogy a fenti jel¨ol´esekkel, aAn zajos m´atrixszal, mint

´

els´uly m´atrixszal defini´alt v´eletlen gr´af norm´alt modularit´as m´atrix´anak leszk−1 saj´

at-´

ert´eke, melyek ´elesen elszepar´al´odnak 0-t´ol (egyn-t´ol f¨uggetlen konstansnyi t´avols´agban lesznek 0-t´ol), a t¨obbi saj´at´ert´ek pedig 0 k¨or¨ul torl´odik, han → ∞. Az elszepar´alt struk-tur´alis saj´at´ert´ekekhez tartoz´o transzform´alt saj´atvektorokkal reprezent´alva, a reprezen-t´ansok klaszterei ism´et j´ol elv´alnak. Ekvivalens m´odon, a norm´alt Laplace m´atrixnak lesz k saj´at´ert´eke, melyek ´elesen elszepar´al´odnak 1-t˝ol (bele´ertve a 0 saj´at´ert´eket is), a t¨obbiek pedig 1 k¨or¨ul torl´odnak, ha n→ ∞, majdnem biztosan.