Azt már tudjuk, hogy tetszőleges egész számnak osztója az1, a−1, továbbá maga a szám, valamint az ellentettje. Azt is tudjuk azonban, hogy a 0-nak végtelen sok, az egységeknek (1és−1) pedig pontosan két osztójuk van. Van-nak azonban olyan számok, amelyeknek az egységeken és saját asszociáltjain kívül nincs is más osztójuk:
5.1. Definíció. A q (0-tól és egységektől különböző) egész szám felbont-hatatlan, ha valahányszor q = ab valamely a, b halmazbeli elemekre, akkor ebből következik, hogya=εvagyb=ε(εegység).
Egyszerűbben megfogalmazva: ha egy számnak csak olyan szorzatalakja van, amelyben valamelyik tényező egység, akkor az a szám felbonthatatlan.
Teljesül ez a tulajdonság tehát akkor is, ha egy számnak nincsen szorzat-alakja.
A felbonthatatlan számokat szokás irreducíbilisnek is nevezni. Azokat a 0-tól és egységektől különböző számokat, amelyek nem felbonthatatlanok, összetett vagyreducíbilis számoknak nevezzük.
Felbonthatatlan szám például a 2, a −2, a 3, a −3, az 5, a −5, a 7, a
−7 stb. Összetett szám a 4 = 2·2, a 6 = 2·3, a 8 = 2·4 stb. A 0-t és az egységeket nem soroljuk sem a felbonthatatlan, sem az összetett számok közé.
Megjegyzés.A definíció szerint egy 0-tól és egységektől különböző szám akkor felbonthatatlan, ha minden szorzat alakjában van egység tényező.
60
Az egész számok körében ez azt jelenti, hogy akkor felbonthatatlan egy 0-tól és egységektől különböző szám, ha nincsen valódi osztója. Ahhoz te-hát, hogy eldöntsük, hogy egy egész szám felbonthatatlan-e, elegendő azt megnézni, hogy a nála kisebb abszolút értékű számok közül melyek osztói a számnak. Ha van valódi osztója, akkor összetett; ha nincs, akkor felbontha-tatlan a szám.
Megjegyzés. A felbonthatatlan szám vagy elem fogalma nemcsak az egész számok körében értelmezhető. Olyan halmazon, amelyen értelmes az oszthatóságot definiálni, van értelme felbonthatatlan elemről is beszélni. Per-sze nem mindenütt jutunk el ugyanolyan mesPer-szemenő következtetésekre, mint amilyeneket az egész számok körében már korábban is megismertünk, illetve rövidesen látni fogunk.
A páros számok halmazán belül például felbonthatatlan szám a 2, a 6 a 10 stb. (minden szorzat alakjukban van egység tényező, ugyanis nincsen szorzat alakjuk), viszont összetett szám a 4 = 2·2, a 8 = 2·4, a 12 = 2·6 stb. A páros egész számok körében a4k+ 2alakú számok felbonthatatlanok.
5.2. Definíció. A p (0-tól és egységektől különböző) szám prímszám, ha abból, hogy p|ab következik, hogyp|avagyp|b.
Például: A 4 nem prímszám, mert osztója például a 6·10 = 60-nak, de sem a 6-nak, sem a 10-nek nem osztója.
A 6 sem prímszám, mert osztója a 3·8 = 24-nek, de sem a 3-nak, sem a 8-nak nem osztója.
Megjegyzés. A fentiek kicsit ismerősen csenghetnek, de mégsem telje-sen! Korábbi tanulmányaink során ugyanis – tévesen – a prímszám fogal-mához a felbonthatatlanság tulajdonsága kapcsolódott. Bár az egész számok körében ugyanazok a prímek, mint a felbonthatatlanok (5.1. és5.2. Tételek), ez azonban nincs így minden számkörben.
5.1. Következmény. A prímszám definíciójából következik, hogy ha egy prímszám oszt egy (akárhány, de véges sok tényezős) szorzatot, akkor osztja legalább az egyik tényezőjét.
Bizonyítás. A tényezők számára vonatkozó indukcióval bizonyítjuk az ál-lítást. (Vigyázzunk, nem teljes indukció, mert csak véges sok tényező van.
Ráadásul az egytényezős szorzatot nem definiáltuk, vagyis az indukció 2-től indul.)
A kéttényezős szorzatra a definíció szerint teljesül az állítás.
Legyen most a tényezők száma k(≥3), és tegyük fel azt, hogy amennyi-ben egypprímszám osztója egy(k−1)tényezős szorzatnak, akkor valamelyik tényezőnek osztója.
Legyen p osztója egy k tényezős szorzatnak: p | a1 ·a2 ·. . .·ak. Ekkor p|a1·(a2·. . .·ak), amiből a prímszám definíciója alapján következik, hogy p|a1 vagyp|a2·. . .·ak.
Azaz p osztója vagy az a1-nek, vagy egy (k−1) tényezős szorzatnak.
Az utóbbi esetben viszont az indukciós feltevés szerint ekkor osztója a(k−1) tényezős szorzat valamelyik tényezőjének.
Végső soron azt kapjuk, hogy p| a1, vagy p| a2, vagy p |a3, . . . , vagy p|ak. Vagyisp osztója legalább az egyik tényezőnek.
Megjegyzés. Prímszámra a definíció alapján nem könnyű példát mon-dani, ugyanis azt, hogy egy szám prím vagy sem, már nem tudjuk véges sok számpár oszthatósági viszonyainak ellenőrzésével eldönteni. Ahhoz, hogy a definíció alapján például az 5-ről bebizonyítsuk, hogy prím, arra volna szük-ség, hogy az összes olyan szorzatról, amelynek osztója az 5 megmutassuk, hogy legalább az egyik tényezőjüknek is osztója. (Vagyis 5 minden több-szörösének minden szorzattá bontásáról be kellene látnunk, hogy valamelyik tényezője is osztható 5-tel.)
Ehelyett be fogjuk bizonyítani, hogy minden prímszám felbonthatatlan is, amiből már következik, hogy a 2, 3, 5 stb. nemcsak felbonthatatlanok, ha-nem prímszámok is. Sőt, azt is bebizonyítjuk, hogy az egész számok körében pontosan a felbonthatatlan számok a prímszámok.
5.1. Tétel. Minden prímszám felbonthatatlan is.
Bizonyítás. Legyenpprímszám, amely felírhatóp=abalakban. Azt fogjuk belátni, hogy ekkor a szorzat valamelyik tényezője egység.
Hap=ab, akkorp|ab, és mivelpprímszám, osztója a szorzat valamelyik tényezőjének, például a-nak.ab|a-ból, azaza·b|a·1-ből, viszont (p6= 0, így a6= 0 miatt) a2.1. Következmény szerintb|1, azazb egység.
Ha p ab-t osztaná, akkor hasonlóan kapnánk, hogy aegység.
Megjegyzés. A bizonyítás során a definíciókon kívül csupán azt hasz-náltuk fel, hogy egy szorzat csak úgy lehet 0 (és akkor valóban 0 is), ha valamelyik tényezője0.
Megjegyzés.Az egész számok körében az osztók nagyságrendi relációját felhasználva is bebizonyítható az előző tétel: ha p = ab, akkor p | ab, így
ha például ab | a, akkor (mivel a osztói −|a| és |a| közé esnek) ebből az következik, hogy|b| ≤1. Persze0 nem lehet, ezértbegység.
Az egész számok körében azonban nemcsak az igaz, hogy a prím számok felbonthatatlanok, hanem az is, hogy a felbonthatatlan számok prímek:
5.2. Tétel. Ha a q egész szám felbonthatatlan, akkor prímszám is.
Bizonyítás. Tegyük fel, hogy q felbonthatatlan szám, és osztója egy ab szorzatnak. Belátjuk, hogy ekkorq|avagyq|b.
Mivel q felbonthatatlan, így(q, a)vagy egység, vagyq asszociáltja. Még-pedig pontosan akkor asszociáltja q-nak, ha q | a; ekkor pedig készen va-gyunk.
Ha viszont(q, a)egység, tehátq -a, akkor a4.4. Következmény 1. állítása miattq |b.
A bizonyítás lényege a 4.4. Következmény 1. állítása, amelyhez (így a tétel bizonyításához) felhasználtuk az euklideszi algoritmust. Ezért egyrészt tetszőleges olyan struktúrában, ahol definiálható az oszthatóság és van ma-radékos osztás, teljesülni fog, hogy a felbonthatatlanság egybeesik a prím-tulajdonsággal, másrészt ahol nincs maradékos osztás, ott így nem tudjuk bebizonyítani, hogy minden felbonthatatlan elem egyben prím is.
Megjegyzés. E két utóbbi tétel (5.2. és 5.1.) azt mondja ki, hogy az egész számok körében pontosan ugyanazok a prímszámok, mint a felbontha-tatlanok.
A páros egész számok körében azonban például a2,6,10 stb. felbontha-tatlanok, de nem prímek, hiszen a 2 is, a 6 is és a 10 is osztja a2·30szorzatot, de sem a 2-nek, sem a 30-nak nem osztója egyik sem. Több is mondható:
a páros egész számok körében nincsen prímszám. Minden n-re igaz ugyanis, hogy osztja a2nszorzatot, de sem a2-nek, sem saját magának nem osztója egyik sem. A felbonthatatlanok tehát nem mindenhol rendelkeznek a prím-tulajdonsággal. (Az viszont igaz, hogy ahol egyáltalán vannak prímek, ott azok felbonthatatlanok is.)
A páros egész számok halmazán egységek sincsenek (mert nincs köztük az 1, így annak egyetlen osztója sem), így nincsenek asszociáltak sem.
Összegezve: a páros egész számok körében nincsenek egységek, nincsenek asszociáltak, nincsenek prímek, de vannak felbonthatatlanok, és ezek éppen a 4-gyel nem osztható páros számok.
5.1. Megjegyzés. Az5.2. Tétel bizonyításában a definíciókon kívül az euk-lideszi algoritmust (maradékos osztást) is felhasználtuk, ez azonban nem min-denütt végezhető el.
Lássunk egy fontos, de nem túl egyszerű példát arra, hogy van olyan halmaz, ahol vannak egységek, asszociáltak, de nincs euklideszi algoritmus, és nem minden felbonthatatlan szám prímszám.
Tekintsük az a+bX legfeljebb elsőfokú polinomokat az összesa,b egész számra. (Megengedjük, hogy b = 0 is előfordulhasson.) Ilyen polinomokat össze tudunk adni, ki tudunk vonni egymásból. Az eredmény is ugyanilyen alakú, legfeljebb elsőfokú polinom lesz.
Össze is tudunk szorozni ilyen polinomokat, de a szorzat nem lesz elsőfo-kú.(a+bX)·(c+dX) =ac+ (ad+bc)X+bdX2. Ha azonban azX2 helyére egy egész számot írunk (persze mindig ugyanazt), akkor már elsőfokú poli-nomot fogunk kapni. Írjunk mondjuk mindig −5-öt azX2 helyére. (Ezt úgy is elképzelhetjük, mintha lenne olyan szám, amelynek a négyzete −5.)
Eszerint ezeken a számokon elvégezhető az összeadás, a kivonás, a szorzás – és belátható, hogy ezek tulajdonságai a szokásosak.
Belátható, hogy az a+bX (a, b ∈ Z) alakú elemekből álló halmazban nem igaz, hogy minden felbonthatatlan szám egyben prímszám is. (Mellesleg itt a prímtulajdonságból a nagyságrendekkel manipuláló bizonyítás szerint nem tudnánk következtetni a felbonthatatlanságra, mert ezek között a szá-mok között nincs nagyságrendi összehasonlítás. Mivel nincsen nagyságrendi összehasonlítás, az euklideszi algoritmus sem végezhető el.)
Pontosan azok az egységek, amelyek osztói az 1-nek. Ha a+bX osztója az 1-nek, akkor a „reciproka” valamilyen c,degész számokrac+dX alakú.
Írjuk fel a reciprokát:
1
a+bX = a−bX
(a+bX)(a−bX) = a−bX a2−X2b2 felhasználjuk, hogyX2 =−5, vagyis
1
a+bX = a
a2+ 5b2 + a−bX a2+ 5b2, ahol a
a2+ 5b2 és b
a2+ 5b2 is egész számok.
Ez viszont (nagyságrendi okok miatt) csak úgy lehet, ha a a = ±1 és b= 0. Vagyis a ±1-ről van szó, az egységek tehát±1.
Ez egyszersmind azt is jelenti, hogy az a+bX asszociáltjai ±(a+bX).
Belátható, hogy a 2 és a 3 felbonthatatlan, de nem prímszám. Ha példá-ul(a+bX)(c+dX) = 2, akkor az előzőekhez hasonló gondolatmenettel azt kapjuk, hogy az egyik tényező±1, a másik±2, ami a 2 asszociáltja.
Másrészt azonban2·3 = 6 = (1 +X)(1−X)is fennáll, de az eddigiekhez hasonló módon belátható, hogy sem az 1 +X, sem az 1−X tényező nem osztható 2-vel.
Vagyis van olyan szorzattá bontása a 6-nak, amelynek tényezőit nem osztja a 2.
Felbonthatatlan Pr´ım
5.1. ábra. Minden prím felbonthatatlan, de nem minden felbonthatatlan szám pírm.
Megjegyzés.
Az egészből annyit érdemes megjegyzeni, hogy van olyan számkör, ahol nem esik egybe a felbonthatatlanok és a prímek halmaza. Van olyan felbont-hatatlan szám, amely nem prímszám. (5.1. ábra)
Feladatok
1. Lehet-e három egymást követő szám mindegyike prímszám?
2. Lehet-e három egymást követő páratlan szám mindegyike prímszám?
3. Lehet-e két prímszám különbsége 5? Hogyan? Keresse meg az összes lehetőséget!
4. Tekintsük az H5 ={a+b√
5|a, b∈Z}számok halmazát!
Igazolja, hogy az ilyen alakú elemeknek az összege, a különbsége és a szorzata is ilyen alakú.
(Mivel ez a számhalmaz a valós számok részhalmaza, érvényesek rájuk a szokásos műveleti azonosságok.)
Keressen felbonthatatlan számokatH5-ben!
5. Lehet-e két négyzetszám különbsége 1? Hogyan? Hányféleképpen?
Lehet-e két négyzetszám különbsége 2; 3; 4?
Hány lehetőség van az egyes esetekben?
6. Lehet-e prímszám az a3+b3
2 , ha aésb pozitív egész számok?