II. Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek 27
7. A Laplace- és Poisson-egyenlet 87
7.4. Klasszikus sajátérték-feladatok
7.4.2. Sajátértékek, a változók szétválasztásának módszere . 112
Speciális tartományok esetében könnyen meghatározhatjuk a −∆ operátor sajátértékeit és sajátfüggvényeit. Kezdjük az egydimenziós esettel !
Egydimenziós sajátértékek
Legyen a > 0, és határozzuk meg az Ω = (0, a) intervallumon az egydi-menziós−∆operátor sajátértékeit és sajátfüggvényeit homogén Dirichlet- és Neumann-peremfeltételek mellett. Legyen tehát
D(L) =
u∈C2(0, a)∩C([0, a]) :u(0) =u(a) = 0 , Lu=−u00, és keressük azokat aλ∈Rszámokat, amelyekhez léteziku∈D(L),u6= 0úgy, hogy Lu = −λu, azaz −u00 = λu. Ehhez hozzávéve az operátor értelmezé-si tartományában szereplő peremfeltételt, az alábbi jól ismert egydimenziós peremérték-feladatot kapjuk :
−u00(x) =λu(x) (x∈(0, a)), u(0) = 0,
u(a) = 0.
A differenciálegyenlet megoldásaλelőjelétől függően
u(x) =
c1sin√
λx+c2cos√
λx, haλ >0, c1e
√
|λ|x+c2e−
√
|λ|x, haλ <0, c1x+c2, haλ= 0.
(7.17)
(Valójában a fenti függvények között, a látszat ellenére, szoros kapcsolat van : mindegyik az αe
√−λx+βe−
√−λx függvényből származik, ahol α, β komp-lex számok. Ha λ < 0, akkor visszakapjuk az exponenciális függvények li-neáris kombinációját, amely valójában szinusz-hiperbolikusz és koszinusz-hiperbolikusz függvények lineáris kombinációja. Aλ >0esetben a kitevőben tisztán képzetes szám áll, így ekkor a szinusz és koszinusz függvények lineáris kombinációját nyerjük. Aλ= 0 esetλ→0határátmenettel kapható. Ekkor nyerjük a konstans függvényeket, valamint az 1λ(e
√−λx−e−
√−λx) hányados-ból (amely ugyancsak megoldás)λ→0esetén adódóconst·xfüggvényeket.)
7.4. Klasszikus sajátérték-feladatok 113 Vegyük most szemügyre a peremfeltételeket ! Aλ= 0esetbenu(0) = 0miatt c2= 0, ígyu(a) = 0folytánc1a= 0, azazc1= 0, tehátu≡0. Aλ <0 eset-benu(0) = 0miattc1+c2= 0, ígyu(a) = 0folytánc1e
√|λ|a−c1e−
√|λ|a = 0, ezértc1= 0, tehátu≡0. Marad aλ >0eset. Ekkoru(0) = 0miattc2cos 0 =
= 0, vagyisc2= 0. Másrésztu(a) = 0folytánsin√
λa= 0, következésképpen
√λa=kπ, aholkpozitív egész szám (hiszen aλ >0esetet vizsgáljuk). Ez azt jelenti, hogyλ= kπa 2
, ekkoru(x) = sinkπa x, aholka pozitív egész számok halmazát futja be, tehát a sajátértékek mind pozitívak és megszámlálható-an végtelen sok sajátérték vmegszámlálható-an. Jól ismert (például Fourier-megszámlálható-analízisből), hogy a szinusz-rendszer ortogonálisL2(0, a)-ban. Normáljuk le az előbb kapott u függvényeket, ekkor nyerjük az L operátor L2(0, a)-ban teljes ortonormált sajátfüggvényrendszerét és a hozzá tartozó sajátértékrendszert. A kétszeres szög koszinuszára vonatkozó cos 2ϕ = cos2ϕ−sin2ϕ összefüggés alapján sin2ϕ= 1−cos 2ϕ2 adódik. Ebből következően
Z a 0
sin2kπ a x dx=
Z a 0
1−cos2kπa x
2 dx=a
2 − a 4kπ
sin2kπ
a a
x=0
=a 2. 7.38. Következmény. Tekintsük az egydimenziós −∆ operátort az Ω =
= (0, a)intervallumon homogén Dirichlet-peremfeltétel esetén, azaz D(L) =
u∈C2(0, a)∩C([0, a]) :u(0) =u(a) = 0 , Lu=−u00. Ekkor az operátor sajátértékei és sajátfüggvényei a következők :
λk = kπ
a 2
, uk(x) = r2
asinkπ
a x (k= 1,2, . . .).
Tekintsük most a homogén Neumann-peremfeltétel esetét, azaz D(L) =
u∈C2(0, a)∩C1([0, a]) :u0(0) =u0(a) = 0 , Lu=−u00. Ekkor a sajátértékfeladat a következő jól ismert egydimenziós peremérték-feladatra vezethető vissza :
−u00(x) =λu(x) (x∈(0, a)), u0(0) = 0,
u0(a) = 0.
A differenciálegyenletλelőjelétől függő megoldásai a 7.17 függvények. A pe-remfeltételeket figyelembe véve,λ= 0esetén c1 = 0adódik, azazu≡c2. A λ <0 esetbenu0(0) = 0miattp
|λ|(c1−c2) = 0, azazc1=c2, ígyu0(a) = 0 folytánp
|λ|c1e
√
|λ|a−e−
√
|λ|a= 0, ezértc1= 0, tehátu≡0. Végül aλ >0
114 7. A Laplace- és Poisson-egyenlet esetbenu0(0) = 0 miatt√
λc1cos 0 = 0, ígyc1= 0. Másrésztu0(a) = 0 foly-tán√
λcos√
λa= 0, következésképpen√
λa=kπ, aholkpozitív egész szám (hiszen aλ >0esetet vizsgáljuk). Ekkor u(x) = coskπa x, aholk= 0 válasz-tással aλ= 0esetben kapott konstans függvényeket nyerjük. A sajátértékek tehát nemnegatívak, és megszámlálhatóan végtelen sok sajátérték van (sőt, a 0 sajátérték egyszeres és a konstansfüggvények a hozzá tartozó sajátfügg-vények). Jól ismert (megint Fourier-analízisből), hogy a koszinusz-rendszer ortogonálisL2(0, a)-ban, így az előbbi függvényeket lenormálva nyerjük azL operátorL2(0, a)-ban teljes ortonormált sajátfüggvényrendszerét és a hozzá tartozó sajátértékrendszert.
7.39. Következmény. Tekintsük az egydimenziós−∆operátor azΩ = (0, a) intervallumon homogén Neumann-peremfeltétel esetén, azaz
D(L) =
u∈C2(0, a)∩C([0, a]) :u0(0) =u0(a) = 0 , Lu=−u00. Ekkor az operátor sajátértékei és sajátfüggvényei a következők :
λk = kπ
a 2
, u0(x) = 1
√a, uk(x) = r2
acoskπ
a x (k= 1,2, . . .).
Kétdimenziós sajátértékek
Térjünk most rá a kétdimenziós esetre, legyen a tartományunk egy téglalap, T = (0, a)×(0, b)⊂R2, ahola, b >0. Tekintsük a−∆operátortT-n homogén Dirichlet-peremfeltétel mellett :
D(L) =
u∈C2(T)∩C(T) :u|∂T = 0 , Lu=−∆u,
és határozzuk megLsajátértékeit és sajátfüggvényeit. Aváltozók szétválasz-tásának módszerét használjuk, azaz a sajátfüggvényeket
u(x, y) =v(x)·w(y)
alakban keressük. Ekkor azLu=λusajátérték-egyenlet lényegében a követ-kező differenciálegyenletet jelenti aT kétdimenziós intervallumon :
−v00(x)w(y)−v(x)w00(y) =λv(x)w(y).
Feltételezve, hogyv(x)·w(y)6= 0, formális leosztás és rendezés után
−v00(x)
v(x) =λ+w00(y) w(y)
adódik. Vegyük észre, hogy a fenti egyenlőség bal oldala csakx-től függ, a jobb oldal pedig csaky-tól. Mivel az egyenlőségnek minden(x, y)∈T esetén telje-sülnie kell, ezért ez csak úgy lehet, ha mindkét oldalon konstans függvény áll,
7.4. Klasszikus sajátérték-feladatok 115
azaz létezikα, β∈Rúgy, hogy−v00(x)
v(x) =α,−w00(y)
w(y) =β ésα+β=λ. Az operátor értelmezési tartományában lévő peremfeltételt felhasználva av(0) =
=v(a) = 0, w(0) = w(b) = 0 homogén Dirichlet-peremfeltételeket nyerjük.
Ez azt jelenti, hogyvsajátfüggvénye,αpedig sajátértéke az egydimenziós−∆
operátornak homogén Dirichlet-peremfeltétel mellett, tehát a 7.38. Következ-mény alapjánα=αk = kπa 2
ésv(x) =vk(x) = q2
asinkπa x. Hasonlóan,w is sajátfüggvénye ugyanennek az operátornaka=b választással, tehát β =
=βk = kπb 2
ésw(x) =wk(y) = q2
bsinkπb y. Ennek alapján azL operátor következő megszámlálható sok sajátértékét nyertük :
λk,l=π2 k2
a2 + l2 b2
(k, l= 1,2, . . .), továbbá a megfelelő ortonormált sajátfüggvényrendszer
uk,l(x, y) = 2
√
absinkπ a xsinlπ
b y (k, l= 1,2, . . .).
Belátható, hogy ez az ortonormált rendszer teljesL2(T)-ben, mivel avk, il-letvewk függvények rendszere teljesL2(0, a)-ban, illetveL2(0, b)-ben. Ezért megkaptuk a kétdimenziós feladat összes sajátértékét (és lényegében összes sajátfüggvényét). Jegyezzük meg, hogy a levezetés során való osztásnál felté-teleztük, hogy nem osztunk nullával, ezért a kapott megoldások helyességét még ellenőriznünk kell. Világos azonban, hogy a kapott függvények aT két-dimenziós intervallumban sehol sem egyenlők nullával, így érvényes a fenti levezetés.
7.40. Következmény. Tekintsük a kétdimenziós −∆ operátort az Ω =
= (0, a)×(0, b)téglalapon homogén Neumann-peremfeltétel esetén, azaz D(L) =
u∈C2(T)∩C(T) :u|∂T = 0 , Lu=−∆u.
Ekkor az operátor sajátértékei λk,l=π2
k2 a2 + l2
b2
(k, l= 1,2, . . .),
továbbá a megfelelő (L2(T)-ben teljes) ortonormált sajátfüggvényrendszer uk,l(x, y) = 2
√absinkπ a xsinlπ
b y (k, l= 1,2, . . .).
A fentiekhez hasonló módon nyerjük a kétdimenziós −∆ operátor sajátér-tékeit és sajátfüggvényeit homogén Neumann-peremfeltétel esetében. Ekkor
116 7. A Laplace- és Poisson-egyenlet
∂νu|∂T =−v(x)w0(0)a(0, a)× {0}oldalon,∂νu|∂T =v(x)w0(b)a(0, a)× {b}
oldalon,∂νu|∂T =−v0(0)w(y)a{0} ×(0, b)oldalon és∂νu|∂T =v0(a)w(y)az {a} ×(0, b)oldalon. Ez azt jelenti, hogyv0(0) =v0(a) = 0ésw0(0) =w0(b) =
= 0. Azt kaptuk tehát, hogy avfüggvény sajátfüggvénye,αpedig sajátértéke az egydimenziós −∆ operátornak Neumann-peremfeltétel mellett. Hasonló-an, w sajátfüggvénye, β pedig sajátértéke ugyanennek az operátornak. Így kapjuk az alábbi következményt.
7.41. Következmény. Tekintsük a kétdimenziós −∆ operátort az Ω =
= (0, a)×(0, b)téglalapon homogén Neumann-peremfeltétel esetén, azaz D(L) =
u∈C2(T)∩C1(T) :∂νu|∂T = 0 , Lu=−∆u, Ekkor az operátor sajátértékei
λk,l=π2 k2
a2 + l2 b2
(k, l= 0,1, . . .), valamint (L2(T)-ben teljes) ortonormált sajátfüggvényrendszere :
u0,0(x, y) = 1
√ ab, uk,0(x, y) =
r2 abcoskπ
a x (k= 1,2. . .), u0,l(x, y) =
r2 abcoslπ
b y (k= 1,2, . . .), uk,l(x, y) = 2
√
abcoskπ a xcoslπ
b y (k, l= 1,2. . .).
7.4.3. Fourier-módszer
A Laplace-operátor egy adott tartományhoz és adott homogén peremfelté-telhez tartozó sajátértékeinek és sajátfüggvényeinek ismeretében módszert adhatunk peremérték-feladatok megoldására. Ezt először egy példán szemlél-tejük. Keressük meg a következő peremérték-feladat klasszikus megoldását :
−u00(x) = 1 (x∈(0, π)), u(0) = 0,
u(π) = 0.
(7.18) Könnyen ellenőrizhető, hogy
u(x) = 1
2x(π−x) (7.19)
7.4. Klasszikus sajátérték-feladatok 117 klasszikus megoldás és a 7.23. Tételből tudjuk, hogyuegyértelmű. Próbáljuk meg mostu-t előállítani a homogén Dirichlet-peremfeltétellel ellátott egydi-menziós−∆ operátor sajátfüggvényrendszerében, vagyis a szinuszrendszer-ben. Keressük tehát azufüggvényt
u(x) =
∞
X
k=1
ξksinkx
alakban. Tegyük fel, hogy a sor összegfüggvénye tagonként kétszer deriválha-tó, ekkor
−u00(x) =
∞
X
k=1
ξkk2sinkx.
Az azonosan 1 függvényt is fejtsük sorba, ak-adik Fourier-együttható r2
π Z π
0
sinkx dx= r2
π
−coskx k
π x=0
= r2
π
1−(−1)k
k ,
így
1 =
∞
X
l=0
4
(2l+ 1)πsin(2l+ 1)π.
A (7.18) peremérték-feladat alapján szükségképpen
∞
X
l=1
ξll2sinlx=
∞
X
l=0
4
(2l+ 1)πsin(2l+ 1)π, vagyis
ξl=
0, halpáros,
4
(2l+ 1)3π, halpáratlan, azaz
u(x) =
∞
X
l=0
4
(2l+ 1)3πsin(2l+ 1)π. (7.20) Felmerül a kérdés, hogy a kapott sor tényleg tagonként differenciálható-e, jogosak voltak-e a fenti átalakítások. Világos, hogy
4
(2l+ 1)3πsin(2l+ 1)π
≤ 4
(2l+ 1)3π,
így a Weierstrass-kritérium miattusora abszolút és egyenletesen konvergens [0, π]-n, tehát ufolytonos, és így a (7.18) peremfeltételek teljesülnek. Ezen-kívül a tagonkénti deriválással nyert
∞
X
l=0
4
(2l+ 1)2cos(2l+ 1)π
118 7. A Laplace- és Poisson-egyenlet sor ugyancsak egyenletesen konvergens[0, π]-n, tehát a tagonkénti deriválás jogos. Sőt, ismert, hogy
−
∞
X
l=0
4
(2l+ 1)sin(2l+ 1)π
sor egyenletesen konvergens minden[δ, π−δ]intervallumon, így a tagonkénti kétszeres deriválás ismét jogos. Azt kaptuk tehát, hogy a (7.20) sor alakban megadott u függvény klasszikus megoldása a (7.18) peremérték-feladatnak.
Valójában nem nehéz ellenőrizni, hogy a sor éppen a (7.19) megoldás Fourier-sor alakja.
A fentiek alapján könnyen megfogalmazhatjuk a klasszikus peremérték-feladatok megoldásának sor alakban való előállításának módszerét.
Tegyük fel, hogy ismerjük a−∆ operátor egy adott tartományhoz és adott homogén peremfeltételhez tartozó sajátértékeit és sajátfüggvényeit és a kö-vetkező peremérték-feladat megoldását keressük :
( Lu=f Ω-ban,
homogén peremfeltétel ∂Ω-n. (7.21) Tegyük fel, hogy azLoperátorra vonatkozó klasszikus sajátérték-feladatnak megszámlálhatóan végtelen sok nemnullaλksajátértéke van, és ehhez tartozó uksajátfüggvények teljes ortogonális rendszert alkotnak. Ekkor a peremérték-feladat megoldását célszerű
u=
∞
X
k=1
ξkuk
alakban keresni. A sor megfelelő konvergenciája mellett a peremfeltétel au-tomatikusan teljesül, másrészt pedig, feltéve, hogy a sor tagonként differen-ciálható,
Lu=
∞
X
k=1
ξkLuk =
∞
X
k=1
ξkλkuk. Írjuk fel azf függvényt is a sajátfüggvények bázisában
f =
∞
X
k=1
ckuk, ekkor szükségképpen
ξkλk =ck, tehát
u=
∞
X
k=1
ck
λkuk.
7.4. Klasszikus sajátérték-feladatok 119 Felmerül a kérdés, hogy vajon a kapott megoldás vajon klasszikus megoldás-e, azaz kétszer differenciálható-megoldás-e, illetve elvégezhető-e a tagonkénti deriválás.
Ezekkel a kérdésekkel a későbbiekben részletesen foglalkozunk. Konkrét pél-dákban azonban a módszer jól alkalmazható.
Végül jegyezzük meg, hogy ha nem homogén peremfeltétel adott, például u|∂Ω=ϕ, akkor első lépésként egy olyanΦ∈C2(Ω)∩C(Ω)függvény célszerű keresni, amelyre Φ|∂Ω = ϕ. (Ha van megoldás, akkor van ilyen függvény.) Majd ezt követően az előbbi módszert azv=u−Φfüggvényre alkalmazzuk.
7.42. Példa. LegyenT = (0, π)2⊂R2 és oldjuk meg a következő elliptikus peremérték-feladatot !
(−∆u(x, y) =x+y ((x, y)∈(0, π)2), u|∂(0,π)2 = 0.
A megoldást az operátorL2(T)-ben ortonormált sajátfüggvény-rendszerében állítjuk elő. Ehhez írjuk fel az f függvényt is ebben a rendszerben : f =
=
∞
X
k,l=1
ck,luk,l, aholuk,la 7.40. Következményben szereplő függvényrendszer.
Ack,l együtthatókat a következőképpen nyerjük : ck,l=
Z
T
f uk,l= Z π
0
Z π 0
(x+y)2
πsinkxsinly dx dy=
= 2 π
Z π 0
xsinkx dx Z π
0
sinly dy+ Z π
0
ysinly dy Z π
0
sinkx dx
=
= 4
kl (−1)k+1(1−(−1)l) + (−1)l+1(1−(−1)k)
=: 4 klwk,l, ahol felhasználtuk, hogy
Z π 0
sinly dy=1
l [−cosly]πy=0=1
l(1−(−1)l), valamint
Z π 0
xsinkx dx= 1
k[−xcoskx]πx=0+1 k
Z π 0
cosky dy= (−1)k+1π
k. (7.22) Ennek alapján
u(x, y) =
∞
X
k,l=1
4wk,l
kl(k2+l2)· 2
πsinkxsinly.
Jegyezzük meg, hogy a fenti sor konvergenciájaL2(T)-ben értendő (valójában uklasszikus értelemben is megoldás, azonban ennek igazolása hosszadalmas).
120 7. A Laplace- és Poisson-egyenlet