1. 13.1. A feladat megfogalmazása
Jelölje a személyeket, pedig egy futószalagon lévő munkahelyeket
(munkákat). Legyen adva az alábbi táblázat, amelynek (egész) eleme azt jelenti, hogy az munkás a munkát mennyi idő alatt tudja elvégezni. A személyek és a munkák számának azonosnak kell lenni!
A futószalag” feladat az alábbi sémával jellemezhető:
Mielőtt a feladatot megfogalmaznánk definiáljuk a futószalag ütemidejét. A futószalag addig áll, amíg a futószalag munkahelyein munkavégzés folyik, amikor minden munka befejeződött, akkor a futószalag továbblép. Ezt az állásidőt nevezzük a futószalag továbbítási ütemének vagy röviden a futószalag ütemidejének.
A futószalag ütemidejét tehát a futószalagon lévő munkák közül a leghosszabb műveleti idejű határozza meg.
A futószalag” feladat megfogalmazása:
Rendeljük a személyeket a futószalag munkahelyeihez kölcsönösen egyértelmű módon úgy, hogy a futószalag ütemideje a lehető legkisebb legyen.
A hozzárendelést a szokásos módon olyan döntési változóval jelöljük, amelynek értéke , ha az személy hozzá van rendelve a munkához és , ha nincs.
Matematikai megfogalmazás:
Jelölje a kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést.
Meghatározandó a kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés úgy, hogy a
mennyiség minimális legyen.
Az olyan optimalizálási feladatokat, amelyekben a célfüggvény valamilyen maximális érték és ennek a maximális értéknek kell a minimumát keresni szűk-keresztmetszet feladatoknak nevezzük.
2. 13.2. Algoritmus a futószalag” feladat megoldására
Kézenfekvő az alábbi egyszerű algoritmus, amelynek lényege, hogy a futószalag” feladatot házasság”
feladatok sorozatával oldjuk meg.
1. lépés:Kezdeti hozzárendelés készítése ( ).
Ezt végezhetjük például a legkisebb időértékeken keresztül.
2. lépés:A hozzárendeléshez tartozó ütemidő meghatározása.
Jelöljük -al a futószalag ütemidejét, amely
Futószalag” feladat
tehát a hozzárendelésben szereplő idők maximuma.
3. lépés:Új hozzárendelés készítése.
Próbáljunk meg olyan új hozzárendelést készíteni, amelynél a futószalag ütemideje az előzőnél kisebb. Ez tulajdonképpen egy olyan házasság” feladat, amelyben ott lehetséges a hozzárendelés, ahol . A
házasság” feladat megoldhatósága szerint két esetet vizsgálunk:
1. Ha nem tudtuk az összes személyt hozzárendelni a munkákhoz, akkor az előző hozzárendelés a legjobb.
Vége az algoritmusnak.
2. Ha minden személyt hozzá tudtunk rendelni a munkákhoz, akkor egy olyan új hozzárendelést kaptunk, amelyhez tartozó ütemidő biztosan jobb (kisebb), mint az előző. A 2. és a 3. lépéseket addig ismételjük, amíg az (1) esetet nem kapjuk.
Nyilvánvaló, hogy az eljárás véges lépésben végetér.
3. 13.3. Példamegoldás
Oldjuk meg az alábbi időtáblázattal adott futószalag” feladatot:
1. Kezdeti Hozzárendelés és a hozzá tartozó ütemidő ( ) meghatározása:
Az induló hozzárendelést úgy határozzuk meg, hogy személyenként haladva mindig a sor legkisebb adatának cellájára programozzuk a hozzárendelést.
2. A házasság” feladat kvalifikációs táblázata és a házasság” feladat megoldása:
Kezdeti hozzárendelés majd útkeresés címkézéssel:
Futószalag” feladat
Találtunk utat, a hozzárendelés javítása és útkeresés címkézéssel:
Találtunk utat, a hozzárendelés javítása:
A házasság” feladatot megoldottunk, az összes személy hozzá lett rendelve a munkákhoz. Ehhez a hozárendeléshez tartozó ütemidő ( ) meghatározása:
3. A házasság” feladat kvalifikációs táblázata és a feladat megoldása:
Futószalag” feladat
Ez a házasság” feladat nem oldható meg, nem tudjuk az összes személyt hozzárendelni, hiszen az személy senkihez sem rendelhető. Tehát ütemidőnél kisebb időhöz tartozó hozzárendelés nincs, így az ütemidőhöz tartozó hozzárendelés az optimális, amely a következő:
Az ütemidő időegység.
4. 13.4. Feladatok
1. Oldjuk meg az alábbi időtáblázattal adott futószalag” feladatot!
2. Egy tervezőiroda egy cégtől öt feladatot (F) kap. Az iroda vezetője kiválasztja azt az öt tervezőt (T), akik elkezdhetik az egyébként független munkák elvégzését. A kiválasztott tervezők felkészültségének és a munkában mutatott intenzitásának figyelembevételével a feladatok megoldásához szükséges idő napokban kifejezve az alábbi táblázattal van megadva. Hogyan érdemes az irodavezetőnek szétosztani a feladatokat a tervezők között, ha az a célja, hogy az öt munkából álló megbízást minél hamarabb teljesítse?
3. Adott hat gép (G), amely hat alkatrésztípus (A) mindegyikét képes gyártani. Az alábbi táblázat azt mutatja, hogy az egyes gépeken egy-egy alkatrésztípusból egy sorozatot mennyi idő alatt lehet megmunkálni. Minden alkatrésztípusból egy sorozatot kell legyártani. Hogyan kell a gyártást megszervezni (melyik gép melyik alkatrésztípust gyártsa), ha azt akarjuk, hogy a gyártás minél rövidebb ideig tartson feltéve, hogy
a) minden gépen egyszerre kezdődik a gyártás,
Futószalag” feladat
b) az alkatrésztípusok megmunkálását egymás után kezdjük? (Vigyázat, mert ez utóbbi nem futószalag”
feladat!)
4. Adott az alábbi számtáblázat. Válasszunk ki öt számot úgy, hogy minden sorból és oszlopból csak egy számot választhatunk és a kiválasztott számok közül a legnagyobb a lehető legkisebb legyen!
5. A gépeken az alkatrésztípusokból egy óra alatt az alábbi táblázat által adott termékmennyiség (darab) készíthető el. Mindegyik alkatrésztípusból egy 120 darabot tartalmazó alkatrészsorozatot kell legyártani. Hogyan osszuk el a munkát, ha a gépek és az alkatrészek között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést akarunk létrehozni és azt akarjuk, hogy a négy alkatrészsorozat egymástól függetlenül, egyszerre kezdhető legyártásához szükséges átfutási idő minimális legyen?
6. Egy város pontján egy-egy azonos típusú teherautó áll rendelkezésünkre. A város pontján egy-egy ugyanilyen típusú autóra jelentkezik egy-egy igénylő. Milyen utasítást adjunk ki, ha a négy autót a lehető leghamarabb szeretnénk az igénylőkhöz eljuttatni feltéve, hogy egyidőben indítjuk mind a négy autót? Az alábbi táblázat a megfelelő pontok közötti távolságokat mutatja és feltételezzük, hogy az idő arányos a távolsággal.
7. Három olajkút (K) termékét eladhatjuk nyersanyagként (N) vagy részben finomított nehézolajként (F) vagy pedig finomított benzinként (B). Az iparnak mindhárom termékre szüksége van. Az egyes olajkutak termékeit csak egyfajta módon érdemes értékesíteni. Az alábbi táblázat mutatja, hogy az egyes kutakból az
Futószalag” feladat
egyes termékek milyen fajlagos költséggel állíthatók elő. Készítsen optimális gyártási tervet, ha az a célunk, hogy a legkedvezőtlenebb fajlagos előállítási költség a lehető legkisebb legyen!
8. Egy vállalat hat feladatát (F) hat másik vállalat (V) az alábbi táblázat szerint megadott határidővel tudja elvégezni (az időt napokban adtuk meg). Mely vállalatokat kell megbízni az egyes feladatok elvégzésével (egy vállalat csak egy feladatot vállal el), hogy a feladatok minél hamarabb készüljenek el?