17. fejezet. Alapműveletek
A vektor- és tenzorszámítás alapmennyiségei: skalárok, vektorok és tenzorok.
A skalár valós szám, amelyre a valós számok algebrája és függvénytana érvényes.
A vektor nyil, amelyre (az erőkre is érvényes) speciális műveletek értelmezhetők.
A tenzor lineáris vektor-vektor függvény, amely mátrixként is kezelhető.
A skalárokat dőlt betű (c, F), a vektorokat álló félkövér kis betű (a, v), a tenzorokat álló félkö-vér nagybetű (A, S) jelöli. (Kézírással a vektorok egy, a tenzorok két aláhúzással jelölhetők [31]).
A fizikai alkalmazásokban a skalárok olyan mennyiségek, amelyeknek csak nagysága van (tö-meg, sűrűség, energia), a vektoroknak a nagyságuk mellett irányuk is van (sebesség, erő), a tenzorok pedig a 3-dimenziós térben három független irányhoz tartozóan egy-egy vektorral adhatók meg (fe-szültség, alakváltozás).187
A vektor- és tenzorszámítás alapozó fejezetei:
Algebra: az összeadás és szorzás műveletének általánosítása vektorokra és tenzorokra.
Analízis: a differenciálás és integrálás műveletének általánosítása különféle függvényeikre.
Algebrai alapszabályok
A valós számok algebrájában az összeadás és a szorzás műveletére a következő szabályok ér-vényesek, A, B és C tetszőleges valós számok:
Asszociatív (társítható): (A+B)+C = A+(B+C) = A+B+C, és (AB)C = A(BC) = ABC. 188 (17.1) Kommutatív (felcserélhető): A+B = B+A, és AB = BA. (17.2) Disztributív (szétosztható): (A+B)C = AC + BC. (17.3)
A vektorok és tenzorok műveleteire ezeket általánosítjuk (ha lehetséges).
Vektorok értelmezése
A vektorok a geometria eszközei. Az euklideszi térben az irányított szakaszokat (nyilakat) ne-vezik vektoroknak [31]. Bármely vektor (nyíl) önmagával párhuzamosan eltolható, ekkor az azonos-ságát (jelét) megtartja.
A fizikában beszélnek "szabad" és "kötött" vektorokról is. Itt a szabad (eltolható) vektor az alapfogalom (ugyanúgy, mint a geometriában) és a kötött vektorokat függvények segítségével kezeljük.
A kötött vektort ugyanis a fizikai jelentése köti a tér valamely pontjához. Például legyen v vektor egy forgó test valamelyik pontjának sebességvektora. Ez ahhoz a ponthoz kötődik, amelyiknek a sebes-sége. Vagy legyen f egy kiterjedt testre ható erő vektora. Ez kötve van a támadási pontjához. Ezek a kötöttségek v(r) és f(r) függvényekkel kezelhetők, ahol r a tér helyvektora. (A szabad vektorok előnye megmutatkozik például az erők eredőjének szerkesztésénél is, amikor az f vektort a rajz bármely pont-jába eltolhatjuk.)
Képzeljük el, hogy egy gépterem belsejében levő testeket vizsgálunk. A testek mozgását a gép-terem falaihoz viszonyítjuk – ez a fizikai vonatkoztatási rendszer (lásd az 1. fejezetben). A térbe beve-zetünk egy derékszögű Descartes (DD) koordinátarendszert, amit gondolatban a vonatkoztatási rend-szerhez rögzítünk. A térben képzeljünk el nyilakat (vektorokat). Ezeknek fizikai jelentése is lehet, de
187 A vektor- és tenzorszámítás általános elméletében az itt használt tenzorokat másodrendű tenzoroknak nevezik. Ezzel a terminológiával a skalárok nulladrendű tenzorok, a vektorok elsőrendű tenzorok, és beszélnek harmad- és magasabbrendű tenzorokról is. A mechanika bevezető jellegű tárgyalásában azonban az utóbbiakra nincs szükségünk, így több szerzővel összhangban itt csak skalárokról és vektorokról beszélünk, és a másodrendű tenzorokat egyszerűen tenzoroknak nevezzük.
188 Tetszőlegesen átzárójelezhetők. Ezért az sem okoz tévedést, ha a zárójeleket elhagyjuk.
ennél a gondolatmenetnél ez lényegtelen. Tekintsünk egy vektort, amit a-val jelölünk. Az a vektort önmagával párhuzamosan eltoljuk úgy, hogy a kezdőpontja a koordinátarendszer origójába kerül. Ek-kor a vektor végpontja három koordinátával adható meg: a = (ax, ay, az). Ha a meglévő derékszögű Descartes rendszerről egy másik derékszögű Descartes rendszerre térünk át (a tengelyeik különböz-nek), akkor a vektor koordinátái megváltoznak (lásd (7.4) egyenletet), de a vektor maga nem, mert a nyíl helyzete a fizikai vonatkoztatási rendszer testeihez képest ugyanaz maradt. A vektor tehát függet-len a koordinátarendszertől, invariáns a koordináta transzformációkkal szemben.
A vektorok elmélete (algebra és analízis) megalapozható a koordinátarendszertől függetlenül is, ezt nevezik direkt vagy invariáns vagy szimbolikus vagy koordinátamentes tárgyalásnak [31,59].
De felépíthető a koordinátákból alkotott számhármasokra is, ezt nevezik indexes vagy koordinátás tárgyalásnak [95]. Ebben a könyvben a fogalmakat koordinátamentes tárgyalással értelmezzük, és az alapegyenleteket is ebben írjuk fel, mert így egyszerűek [3,59]. A konkrét számítások végzésénél azon-ban legtöbbször át kell térni koordinátákra, ezért a koordinátás tárgyalás alaplépéseit is bemutatjuk.
Vektorok összegét a parallelogramma vagy háromszög szabály értelmezi (17.1. ábra)189. A vektor összeadás asszociatív és kommutatív. Az a + b vektor koordinátái:
(ax + bx, ay + by, az + bz) . (17.4) Vektor abszolút értéke: Az a = (ax, ay, az) vektor nyilának hosszát a vektor abszolút értékének nevezzük, jele |a|. A koordinátákban:
a a2x a2y az2 . (17.5)
Skalár és vektor szorzata: λ skalár szám, a vektor. A λa szorzat olyan vektor melynek hossza: |λ|.|a|, iránya megegyezik a irányával ha λ > 0, és ellentétes, ha λ < 0.190 Ez a szorzás asszociatív, kommutatív, és disztributív a skalár összeadásra és a vektor összeadásra is. Ezen értelmezés magába foglalja az:
a + a = 2a szabályt is. A szorzatvektor koordinátái:
(λax, λay, λaz) . (17.6) Két vektor skaláris szorzata: Az a és b vektorok skaláris szorzatát ab vagy a·b jelöli191, az értéke egy szám (skalár): ab = |a|.|b|.cos γ , ahol γ az egy pontba tolt a és b vektorok által bezárt szög. A skalár-szorzás kommutatív, valamint a vektor összeadásra disztributív. A koordinátákban:
ab = axbx + ayby + azbz , (17.7) Két vektor vektoriális szorzata: Az a és b vektorok axb vektoriális szorzata olyan vektor amely merő-leges a-ra és b-re, hossza: |axb| = |a|.|b|.sin γ,192 olyan irányítással, hogy a, b és axb jobbrendszert193 alkot. Ez a szorzás nem asszociatív (lásd (19.2) egyenletet), és nem kommutatív, mert:
bxa = - axb , (17.8) de a vektor összeadásra disztributív. A koordinátái:
aybzazby azbxaxbz axby aybx
, ,
xb
a , (17.9)
ami könnyen megjegyezhető a (19.36) egyenlet szerint.
Az elemi vektor műveletek alapozó ismertetése megtalálható Hajós könyvében [31].
189Úgy tűnik, hogy először Newton könyvében [1] jelent meg ilyen ábra.
190Ha λ = 0, akkor λa = 0, a nullvektor [31].
191Vektorok skalárszorzását egyes szerzők pont nélkül írják [31,59,30,16,63,149], mások ponttal jelölik [95,3,8,39,49,138].
Mindkét jelölést elfogadjuk, de ebben a könyvben a képletek rövidítése érdekében általában pont nélkül használjuk. A pont alsó helyzetben (.) skalár számok szorzását jelölheti (de elhagyható), fölső helyzetben (·) vektorok skalár szorzatát jelölheti (de elhagyható). Lásd még 19.2. példában.
192axb nagysága egyenlő az a és b által kifeszített parallelogramma (17.1. ábra) területével.
193Ha az a vektort a b vektorba 180 foknál kisebb szöggel forgatjuk, és jobb kezünk behajlított ujjait a forgás irányába állítjuk, akkor axb a hüvelykujjunk irányába mutat.
17.1. ábra. Vektor összeg
Tenzorok értelmezése
A 3-dimenziós euklideszi tér minden x vektorára értelmezett y = y(x) vektor-vektor függvényt homogén lineárisnak mondják, ha tetszőleges x1 és x2vektorokra, és tetszőleges c1és c2valós szá-mokra teljesül, hogy:
y(c1x1c2x2)c1y(x1)c2y(x2) . (17.10 a) A homogén lineáris vektor-vektor függvényeket tenzoroknak hívjuk, jelölésük álló vastag nagybetű:
yAx , (17.10 b) amit úgy mondunk, hogy az A tenzort alkalmazva az x vektorra az y vektort nyerjük. Az A tenzor az x vektorok terét leképezi az y vektorok terére,194 a tenzor a tér speciális (homogén lineáris) x → y torzítása.
A 3-dimenziós térbe derékszögű Descartes koordinátarendszert bevezetve, a (17.10 b) egyenlet koordinátás átírása:
A mátrix sorokba és oszlopokba rendezett számokból áll (aik az i-edik sor k-adik eleme). A (17.11) egyenlet az A mátrix és az x oszlopvektor szorzását igényli. Ehhez a mátrixok kiterjedt elméletéből a mátrix szorzás "sor-oszlop" szabályát idézzük: Az első mátrix soraiban levő elemeket rendre a második mátrix oszlopában levő elemekkel szorozzuk és ezeket összeadjuk. Ennek megfelelően az y = Ax szor-zás a koordinátákban a következő három (skalár) egyenletet jelenti:
3 kapcsolat. Az A tenzor a tér egy leképezését jelenti (függetlenül attól, hogy a térben egyáltalán van-e koordinátarendszer). Ha egy meglévő derékszögű Descartes-féle koordinátarendszerről egy másikra térünk át, akkor az A tenzor mátrixának aik elemei megváltoznak, de az A tenzor maga (a leképezés) nem. Az A tenzor mátrixa tehát a különböző koordinátarendszerekben más és más, ezek azonban ugyanazt a tér-torzítást képviselik.
Alapműveletek tenzorokkal
Első pillanatra meglepő, hogy a tér torzításaira algebrai műveleteket vezetünk be. Ennek jobb megértése céljából a 17.1. példában két tenzor szorzatát szemléltetjük.
17.1. példa. Tenzorok szorzata
Az előbbiekben 3-dimenziós tenzorok fogalmát vezettük be. Ugyanígy értelmezhetők 2-dimenziós (sík-beli) tenzorok. Legyenek A és B síkbeli tenzorok, amelyek a következő torzításokat jelentik (17.2. ábra):
A : a vízszintes tengely irányában kétszeres nyújtás (a 17.2. ábrán az y vektorok tere eltolt origóval van ábrázolva).
B : a függőleges tengely irányában felére zsugorítás.
A két tenzor (tér-torzítás) AB szorzatát a következő egyenlet definiálja:
194Ez a leképezés geometriailag affinitás, a következő tulajdonságokkal: Pontnak pont, egyenesnek egyenes, síknak sík a képe. Aránytartó, azaz egyenesen fekvő pontok távolság-aránya nem változik. A leképezés másodfokú görbéket vagy fe-lületeket másodfokú görbékbe vagy felületekbe visz. Például az x vektorok terében levő egységnyi sugarú gömb képe – nem elfajuló esetben – az y vektorok terében egy ellipszoid.
(AB) x = A(Bx) , (17.15) ahol x a tér tetszőleges vektora. Az egyenlet azáltal definiálja AB szorzatot, hogy a tér bármelyik x vektorára megadja az AB tenzorral nyerhető y vektort. Az egyenlet jobb oldala szerint először a B tenzort kell alkal-mazni az x vektorra, és az így nyert vektorra kell alkalalkal-mazni az A tenzort. Tehát a 17.2. ábrán az AB tenzort úgy kapjuk, hogy először lefelé felére zsugorítunk, majd vízszintesen kétszeresre nyújtunk.
17.2. ábra. 2-dimenziós tenzorok szorzatának szemléltetése
Miért így értelmezzük a szorzat-tenzort? Amikor egy régi fogalomnak (a szorzásnak) új értelmet kívá-nunk adni, akkor ezt úgy célszerű megtenni, hogy a régi műveleti szabályok a lehetőség szerint érvényben ma-radjanak. Valós számok szorzására ismert az asszociativitás (átzárójelezés) szabálya, a (17.1) egyenlet. Ebből a szempontból a (17.15) egyenlet semmi más, mint az átzárójelezés szabályának érvényben tartása.
A tenzorok szorzásának ilyen értelmezése mit jelent a koordinátákban?
Vízszintes és függőleges tengelyű koordinátarendszerben a (17.11) egyenlettel:
Ugyanezt kapjuk, ha a két tenzor szorzatát a mátrixok "sor-oszlop" szorzásával számítjuk. Általános esetben:
A tenzorok szorzata tehát a másodrendű mátrixok sor-oszlop szorzásával könnyen számítható.
Háromdimenziós tenzorok esetén a C = AB szorzat mátrix i-edik sora k-adik oszlopában levő elem:
k amelyben az A-ból az i-edik sor, és a B-ből a k-adik oszlop elemei szerepelnek (ezért nevezik sor-oszlop szorzásnak).
A tenzorok összegét a szorzáshoz hasonló módon egyenlettel értelmezzük:
Bx ami a disztributivitás érvényben tartása. Ez a koordinátákban:
cik aik bik . (17.18) Érdemes megjegyezni, hogy összeadást csak egyforma mennyiségekre értelmeztünk: skalár + skalár, vektor + vektor, tenzor + tenzor, és fizikai mennyiségek esetén az alapegységekből (m, kg, s) képezett dimenziójuknak is egyezni kell. Szorzásokat azonban akármilyen mennyiségekre értelmezhetünk.
A tenzorszámítás kitűnő bevezetését nyújtják [59],[95],[49].
Függvények és differenciálhányadosaik
A függvény fogalmát tanulmányaink során egyvál-tozós valós függvényekre ismertük meg derékszögű Descartes (DD) koordinátarendszerben (17.3. ábra). Le-gyen x és y valós szám (azaz skalárok). Az y = f(x) függ-vény a Tx értelmezési tartománya minden x eleméhez ren-del egy y értéket, ami a Ty értékkészlet eleme.195
f(x) lineáris, ha a képe egyenes.
f(x) folytonos, ha a képe folytonos vonal.196 17.3. ábra. Egyváltozós függvény Határérték. Legyen x egy valós változó és x1 egy valós szám (konstans).197 Azt mondjuk, hogy x tart az x1-hez, jelölésben x → x1, ha a változási tartományán belül egyre közelebb kerül x1-hez. Elképzelve a számegyenesen: az x koordinátájú pont halad az x1 koordinátájú pont felé, és a távolságuk akármilyen kicsiny hibahatárnál is kisebb lesz.
f(x) folytonossága értelmezhető a határértékkel is: f(x) függvény folytonos az x1 pontban, ha x → x1
esetén az f(x) → f(x1). Más szavakkal: a függvény határértéke egyenlő a helyettesítési értékével.
f(x) különbségi hányadosa az x2 > x1 helyeknél (17.3. ábra) a szelő iránytangense:
1 2
1
2) ( )
( x x
x f x f
.
f(x) differenciálhányadosa vagy deriváltja:
dx
df vagy másként jelölve: f ' (x), az x3-nál (17.3. ábra) az érintő iránytangense. Ha x1 → x3 és x2→x3 akkor a különbségi hányados tart a deriválthoz.
Ha f(x) = C (konstans), akkor f ' (x) = 0. Konstans deriváltja zérus.
Ha f(x) = C g(x), akkor f ' (x) = C g'(x). Deriválásnál a konstans kiemelhető vagy beszorozható.
Ha f(x) = g(x) + h(x) akkor f ' (x) = g'(x) + h'(x). Összeg tagonként differenciálható.
Ha f(x) = C xn, akkor f ' (x) = C n xn – 1. Hatványfüggvény így deriválható.
Ha f(x) = sin(x), akkor f ' (x) = cos(x), és ha f(x) = cos(x), akkor f ' (x) = - sin(x).
f(x,y,z) parciális deriválja x szerint x f
: az f-et x szerint deriváljuk úgy, hogy y és z konstans.
f(x,y,z) differenciálja: dz
z dy f y dx f x df f
. (17.19)
A differenciál egy lineáris függvény, amelyben df függő változó, dx, dy, dz koordináta irányú megváltozások a független változók, és adott x,y,z esetén a parciális deriváltak konstansok. Az x,y,z változók kis dx,dy,dz megváltozásai esetén a df differenciál az f(x,y,z) függvény megvál-tozását jól közelíti (17.2. példa).
17.2. példa. A differenciál használata
A függvény legyen: s(t,v,a) = vt + at2/2, amit t = 1, v = 1, a = 1 értékeknél vizsgálunk. Ekkor: s(1,1,1) = 1,5.
A parciális deriváltak: 2
v at t
s , 1
t v
s , 0,5
2 t2
a
s .
A kis változás legyen: dt = 0,1, dv = 0,1, da = 0,1 .
A differenciál: ds = 2 dt + 1 dv + 0,5 da, ami az adott kis változásnál: ds = 0,2 + 0,1 + 0,05 = 0,35.
A függvény valódi változása: s(1,1 , 1,1 , 1,1) – s (1,1,1) = 0,3755.
A differenciállal nyert lineáris becslés százalékos hibája: 0,0255/1,5 = 1,7 % csupán.
195Ez a definíció változtatás nélkül érvényes skalárokból, vektorokból, vagy tenzorokból alkotott x,y párokra is.
196Matematikailag pontosabb: y = f(x) folytonos az x0 helyen, ha akármilyen kicsiny ε > 0 számot adunk is meg (mint pontossági kívánalmat), mindig van olyan δ > 0 szám, hogy |f(x) - f(x0)|< ε , minden olyan x-re, amelyre |x - x0| < δ.
197Számítógép programok írásánál érzékelhető a skalár változók és a skalár konstansok különbözősége.
f(x) integrálja az [a,b] intervallumban az f(x) görbe és az x tengely közötti terület (17.3. ábra).
Az integrált általában a közelítő összegével számítjuk. Legyen a = x0 < x1< x2 … < xn = b egy pontsorozat az [a,b]-ben. Ezzel a közelítő összeg:
[xi-1,,xi]-ben. A közelítő összeg kis téglalapok területeinek összege. A felosztás finomításával198 a közelítő összeg az integrál értékéhez tart. Az integrál jelölése:
ba
Konstans kiemelése (vagy beszorzás):
ba
Vektor-skalár függvény: Legyen r = (x, y, z) egy vektor, és t egy skalár. Az r = r(t) vektor-skalár függvény a koordinátákban: x = x(t), y = y(t), z = z(t). Ez mechanikailag úgy értelmezhető, mint egy anyagi pont pályájának az egyenletei. Az anyagi pont sebessége (különböző jelölésekkel):
( ) , , (x,y,z) (vx,vy,vz)
17.3. példa. Spirális görbe érintője
Az R sugarú H menetemelkedésű spirális vonalon halad egy anyagi pont, t az idő. A pálya egyenletei:
x = R cos(t), y = R sin(t), z = Ht/2π. A pont sebessége differenciálással: vx(t) = - R sin(t), vy(t) = R cos(t), vz(t)
= H/2π. A t1 = π/2 időpontban a sebesség: vx(t1) = - R, vy(t1) = 0, vz(t1) = H/2π, azaz: v(t1) = (- R, 0, H/2π).
Skalár-vektor függvény: Legyen ψ = f(r) egy skalár-vektor függvény, ψ = f(x,y,z). Ez fizikailag úgy tekinthető, mint egy eloszlás (például sűrűségé, vagy hőmérsékleté) az r = (x,y,z) helyvektor függvé-nyében. Ennek a gradiense egy vektor:
A gradiens vektor koordinátái éppen a függvény differenciáljának együtthatói, ezért a (17.19) egyenlet így is írható:
198Az f(x) függvényt integrálhatónak nevezik, ha a pontsor tetszőleges finomításával: több ponttal, max [xi - xi-1]0 esetén a közelítő összeg mindig ugyanahhoz a számhoz tart. Az [a,b]-ben folytonos függvények mindig integrálhatók (a szabály általánosítása: véges zárt tartományon folytonos függvények mindig integrálhatók).
199Emlékeztetünk arra, hogy vektorral való osztás nincs értelmezve, a jelölés formális!
Ha a térben megkeressük azokat a pontokat, amelyekre a függvény ugyanazt az értéket veszi fel, azaz ψ(r) = ψ(r1) vagy f(x,y,z)f(x1,y1,z1), akkor az ennek eleget tevő r helyvektorú pontokat a ψ(r1) értékhez tartozó szintfelületnek nevezik. Egyszerűen belátható, hogy grad ψ vektor merőleges a szintfelületre. Ugyanis, ha dr a szintfelület egyik pontjától a szintfelület másik pontjához mutat, akkor:
dψ = 0, és (17.24) szerint: grad ψ dr = 0, ami a skalárszorzat definíciója alapján (lásd (17.7) egyenlet-nél) azt jelenti, hogy: cos γ = 0, azaz: γ = π/2.
17.4. példa. Skalár-vektor függvény gradiense
Legyen ψ = x2 + yz . A gradiens vektor: grad ψ =
Láncszabály. Ez a többváltozós valós függvények egyik alapvető differenciálási szabálya. Legyenek ψ(x1, x2,…, xn), és x1 = x1(t), x2 = x2(t), … , xn = xn(t) valós függvények. Az utóbbiakat az előbbibe helyettesítve: ψf(x1(t),x2(t),...,xn(t)). Ha azt nézzük, hogy ψ hogyan változik t függvényében, akkor ezt a függvényt differenciáljuk t szerint. Erre ismert a láncszabály:
17.5. példa. Láncszabály
Legyen: ψ = f(x,y,z) = x2 + yz, x(t) = cos(t), y(t) = sin(t), z(t) = t2, ψf(x(t),y(t),z(t)) = cos2(t) + sin(t) t2,
A ψ előbb számított (cos2(t) + sin(t) t2) kifejezését függvényként differenciálva az eredmény ugyanez.
Vektor-vektor függvény: Legyen v = v(r) egy vektor-vektor függvény, például az áramlási sebesség a helyvektor függvényében. Az r = (x,y,z) és v = (vx,vy,vz) vektorokkal v = v(r) függvény a következő 3 Bármely függvény differenciálhányadosa olyan lineáris függvény, ami "kicsiben" jól közelíti az adott függvényt. Képezve (17.26) differenciáljait, a jól közelítő lineáris alakok:
z dz
ami mátrixokkal:
A D tenzort (amit itt a mátrixával adtunk meg) a v = v(r) függvény deriválttenzorának nevezik. Ez természetesen többet jelent, mint egy mátrix: A koordinátarendszertől független (lásd (17.15) egyen-letnél), és kis dr megváltozás esetén (a (17.31) egyenlet) jó közelítéssel adja a dv változást.
17.6. példa. Deriválttenzor
v(r) divergenciája (a deriválttenzor első skalárinvariánsa, a főátlóbeli elemek összege, (20.42) egyenlet):
z
v(r) rotációja (a deriválttenzor vektorinvariánsa, (20.43) egyenlőség):
)
200A vektorral való osztás nincs értelmezve, D = dv/dr deriválttenzor jelölésnek csak dv = D dr formában van értelme!
Mozgó felület sebessége
A kontinuummechanikai számítások egyik összetett feladata a mozgó felületek sebességének számítása.201 Abból indulunk ki, hogy ismert a mozgó felület egyenlete:
f(x,y,z,t) = 0 ,202 azaz f(r,t) = 0 . (17.32) A mozgó felület sebességét
értelmez-zük. Legyen r(t) egy olyan görbe (a 17.4 áb-rán szaggatott vonal), hogy az r(t) pont min-dig a t időponthoz tartozó pillanatnyi felüle-ten van, azaz:
Differenciáljuk (17.33) mindkét oldalát t szerint a (17.25) láncszabállyal:
0 A gradiens vektorról tudjuk, hogy merőleges a felületre. Igaz továbbá, hogy bármely vektor osztva a hosszával az irányába mutató egységvektort adja tehát a felületi normál egységvektor:
f Itt az egyenlet jobb oldala csak a felület egyenletétől függ, az r(t) görbétől független. Ez azt jelenti, hogy bármelyik r(t) görbére számítjuk is, a sebességének n irányú komponense mindig ugyanez! Ezért ezt az un sebességet nevezzük a felület normális irányú sebességének, vagy egyszerűen a felület sebes-ségének 203. Ha az r(t) görbét speciálisan úgy vesszük fel, hogy a pont a felületi normálison halad, akkor a sebessége un. A (17.38) egyenlettel nem csak értelmeztük a felület sebességét, hanem a számí-tására módszert is adtunk.
17.7. példa. Mozgó gömbfelület sebessége I.
Az f(x,y,z,t) = x2 + y2 + z2 – (Vt)2 = 0 olyan gömb egyenlete, melynek sugara R = Vt, és így a felülete V = konstans sebességgel mozog. Ellenőrizzük (17.38) képletet:
R V
Tehát a képlet az ismert sebességet helyesen szolgáltatja.
201A továbbiakban Trousdell és Toupin 3 498. oldalát követjük.
202A 17.5. példához képest itt t is szerepel a független változók között, tehát időben változó felületről van szó.
203A mozgó felület sebességének az értelmezése azért körülményes, mert a felületnek sokszor nincsenek azonosítható pontjai. Az itt adott definíció biztosítja, hogy akárhogyan azonosítjuk is a felület pontjait (r(t) görbékkel), a felület sebes-sége bármelyik azonosítás esetén ugyanaz. A mozgó felületnek csak normális irányú sebessebes-séget tulajdonítunk.
A felületek másik megadási módszere az, hogy parametrizáljuk p és q paraméterekkel. Ekkor az időfüggő felület pontjait a következő függvény szolgáltatja:
)
a felület (17.38) szerinti sebessége:
konstans Ebben n-et (17.41) szerint számíthatjuk, tehát a felület sebességének meghatározásához paraméteres megadás esetén sem kell az f függvényt előállítani, mert a (17.41) és (17.43) képletekkel a felület se-bessége számítható.
17.8. példa. Mozgó gömbfelület sebessége II.
17.5. ábra. Gömb felületének parametrizálása
A 17.7. példában szereplő gömb felületét a Föld szélességi és hosszúsági köreinek mintájára parametrizáljuk (17.5. ábra):
p : a szélességi körökhöz tartozó szög (fölső ábra), q : a hosszúsági körökhöz tartozó szög (alsó ábra).
A gömb egyik r = (x,y,z) pontjának koordinátái (az ábra alapján):
x = R cos(p) cos(q), y = R cos(p) sin(q), z = R sin(p).
Az eredmény egyszerűbben is nyerhető, mert a deriválásnál látható, hogy t amelyeken a felület időegység alatt áthalad) legyen V. Erre:
205Ha az így számított vektor egy zárt felületen befelé mutat, akkor a (-1)-szeresét vesszük!
Integrálás
Térfogati integrál: Legyen ψ(r) egy skalár, vagy vektor, vagy tenzor értékű függvény, ami értelmezve van a 3-dimenziós euklideszi tér V térfogatában. A V térfogatot felosztjuk n számú kis résztérfogatra.
(A felosztásnál ügyelni kell arra, hogy a kis résztérfogatok ésszerű alakúak legyenek, például ne le-gyenek túl laposok.) A kis ΔVi (i = 1, … , n) térfogatok mindegyikében egy ri helyvektorral kijelölünk egy pontot, és tekintjük a ψ(ri) függvényértéket, majd képezzük a ψ(ri) ΔVi szorzatokat, és összegez-zük:
n
i
i i
n ψ ΔV
S
1
)
(r . (17.46) Az Sn összeget a ψ(r) függvény V térfogaton számított integrálja közelítő összegének nevezik. (A szá-mítógépes eljárások is ilyenekkel számítják az integrálokat.) Ha a felosztást finomítjuk (n → ∞, max ΔVi → 0) és a közelítő összegek (akármilyen ésszerű felosztást alkalmazunk is) ugyanahhoz a számhoz tartanak, akkor a függvény integrálható, és az így kapott érték a ψ(r) függvény V térfogaton számított integrálja, amit így jelölünk:
V
n n
dV ψ
S ( )
lim r . (17.47) A jelölésben az integrál elnyújtott S betűje emlékeztet a közelítő összeg summájára, és dV a kis ΔVi térfogatokra 206.
Megjegyzések:
(1) A kontinuumok itteni tárgyalásánál csak egyszerű térfogatokkal találkozunk. Ezekre feltehetjük, hogy V korlátos (nem nyúlik a végtelenbe) és zárt (a határfelületének pontjai is hozzá számítanak). A korlátos és zárt tartományokat kompakt tartományoknak nevezik. Ismert matematikai tétel, hogy a kompakt tartományokon folytonos függvények integrálhatók. Tehát nagyon egyszerű feltételekkel biztosítható, hogy ψ(r) integrálható legyen V-n. Legyen: V kompakt és ψ(r) folytonos.207
(2) Speciális esetben, ha ψ(r) ≡ 1, akkor az integrálja V térfogatát szolgáltatja:
V dV
V
. (17.48) (3) Ha V = V1 + V2 két csatlakozó, közös belső pont nélküli tartomány:
2 1 2
1V V V
V
ψdV ψdV
ψdV .
Felületi integrál: Legyen ψ(r) egy skalár, vektor, vagy tenzor értékű függvény, ami értelmezve van az S felületen. Az
SdS
ψ(r) , (17.49) felületi integrál számításához két kérdést kell megoldani. Egyrészt értelmezni kell ψ(r)dS szorzatot az algebrai szabályok (19. fejezet) alapján. Másrészt elő kell állítani az integrál közelítő összegét. Ehhez az S felületet felosztjuk kis ΔSi (i = 1, … , n) felületdarabokra. Ezek mindegyikében egy tetszőlegesen megválasztott ri helyvektorral kijelölünk egy pontot, és képezzük az
n
i
i i
n ψ ΔS
S
1
)
(r (17.50) közelítő összeget, ahol ΔSi a kis felületdarab területe. Egyszerű S felület (gömb, henger, stb.) esetén ΔSi könnyen számítható. Az általános esetben, például a felület paraméteres r = r(p,q) alakját hasz-nálva:
206Az integrálás itt leírt eljárása értelemszerűen alkalmazható más tartományokon (számegyenesen, görbén, síkbeli tarto-mányon, felületen) értelmezett függvényekre is.
207A függvény koordinátás előállításában minden koordináta legyen folytonos függvénye a helynek.
ΔSi ≈ |rpxrq| Δp Δq , (17.51) ahol Δp, Δq a paraméterek kis növekménye, és a felületet érintő rpΔp és rqΔq vektorok (lásd 17.8.
példa) olyan parallelogrammát feszítenek ki (192. lábjegyzet), melynek területe jól közelíti ΔSi -t. A felosztást finomítjuk (n → ∞, ΔSi → 0, ügyelve arra, hogy a (17.50) szerinti kis parallelogrammák simuljanak a felülethez). Ha akárhogyan alkalmazva ilyen felosztásokat a közelítő összeg mindig ugyanahhoz tart, akkor a függvényt integrálhatónak nevezzük, és ψ(r) integrálja a (17.49) szerinti.
(4) A gyakorlati feladatok többségében az S felület egyszerű alakú, és 2-dimenziós tartományként ér-vényes rá a matematikai tétel: kompakt tartományokon folytonos függvények integrálhatók. Ezzel a felületi integrálok létezése biztosítható. A konkrét számítások azonban nehézségekbe ütközhetnek.
Egy zárt S felület (például kocka) véges sok sima felületdarabból áll, amelyek élek mentén csatlakoz-nak egymáshoz, és az élek csomópontokba futhatcsatlakoz-nak. Célszerű úgy eljárni, hogy az elemeket (felület-darabokat, éleket) leíró függvények (például paraméteres alakban) valamennyien kétszer folytonosan differenciálhatók legyenek. (Ez azt jelenti, hogy ezek a függvények, valamint az összes első és má-sodik parciális differenciálhányadosaik léteznek és kiterjeszthetők az értelmezési tartományuk határára úgy, hogy a kiterjesztett függvény is folytonos, és az éleknél a csatlakozó elemek szögei is számítha-tók.)
(5) Esetenként használunk
S
ψ(r)dS , (17.52) alakú integrálokat is, ahol dS olyan vektor, amelynek nagysága a dS felületelem területe, dS merőleges
ψ(r)dS , (17.52) alakú integrálokat is, ahol dS olyan vektor, amelynek nagysága a dS felületelem területe, dS merőleges