egy-egy 0-val választjuk el. A kosárba annyi 1-est teszünk ahány darab cukorka van az adott fajtából.
Így minden cukorka vásárláshoz egy 3 db 0-át és 8 db 1-est tartalmazó sorozatot rendeltünk, mely hozzárendelés egy-egyértelm ˝u:
Két különböz ˝o vásárlás esetén van olyan kosár amiben a vásárolt cukorkák száma nem azonos, így a hozzájuk rendelt 0-1 sorozatban van két szomszédos nulla akik között az 1-esek száma nem ugyan annyi, így a sorozatok is különböz ˝oek. Minden 3 db 0-át és 8 db 1-est tartalmazó sorozat megkapható egy cukorka vásárlásból, hiszen a sorozatból kiolvasható a vásárlás.
Egy ilyen sorozat 3 db 0 és 8 db 1-es ismétléses permutációja, amib ˝ol (3+8)!3!·8! = 8+4−18
különböz ˝o van.
Bizonyítás 4 féle és 8 db kiválasztott cukorka esetén A 4 féle cukorkának nyitunk egy-egy kosarat. A kosarakat egy-egy 0-val választjuk el. A kosárba annyi 1-est teszünk ahány darab cukorka van az adott fajtából.
Így minden cukorka vásárláshoz egy 3 db 0-át és 8 db 1-est tartalmazó sorozatot rendeltünk, mely hozzárendelés egy-egyértelm ˝u:
Két különböz ˝o vásárlás esetén van olyan kosár amiben a vásárolt cukorkák száma nem azonos, így a hozzájuk rendelt 0-1 sorozatban van két szomszédos nulla akik között az 1-esek száma nem ugyan annyi, így a sorozatok is különböz ˝oek.
Minden 3 db 0-át és 8 db 1-est tartalmazó sorozat megkapható egy cukorka vásárlásból, hiszen a sorozatból kiolvasható a vásárlás.
Egy ilyen sorozat 3 db 0 és 8 db 1-es ismétléses permutációja, amib ˝ol (3+8)!3!·8! = 8+4−18
különböz ˝o van.
Bizonyítás 4 féle és 8 db kiválasztott cukorka esetén A 4 féle cukorkának nyitunk egy-egy kosarat. A kosarakat egy-egy 0-val választjuk el. A kosárba annyi 1-est teszünk ahány darab cukorka van az adott fajtából.
Így minden cukorka vásárláshoz egy 3 db 0-át és 8 db 1-est tartalmazó sorozatot rendeltünk, mely hozzárendelés egy-egyértelm ˝u:
Két különböz ˝o vásárlás esetén van olyan kosár amiben a vásárolt cukorkák száma nem azonos, így a hozzájuk rendelt 0-1 sorozatban van két szomszédos nulla akik között az 1-esek száma nem ugyan annyi, így a sorozatok is különböz ˝oek.
Minden 3 db 0-át és 8 db 1-est tartalmazó sorozat megkapható egy cukorka vásárlásból, hiszen a sorozatból kiolvasható a vásárlás.
Egy ilyen sorozat 3 db 0 és 8 db 1-es ismétléses permutációja, amib ˝ol (3+8)!3!·8! = 8+4−18
különböz ˝o van.
Bizonyítás 4 féle és 8 db kiválasztott cukorka esetén A 4 féle cukorkának nyitunk egy-egy kosarat. A kosarakat egy-egy 0-val választjuk el. A kosárba annyi 1-est teszünk ahány darab cukorka van az adott fajtából.
Így minden cukorka vásárláshoz egy 3 db 0-át és 8 db 1-est tartalmazó sorozatot rendeltünk, mely hozzárendelés egy-egyértelm ˝u:
Két különböz ˝o vásárlás esetén van olyan kosár amiben a vásárolt cukorkák száma nem azonos, így a hozzájuk rendelt 0-1 sorozatban van két szomszédos nulla akik között az 1-esek száma nem ugyan annyi, így a sorozatok is különböz ˝oek.
Minden 3 db 0-át és 8 db 1-est tartalmazó sorozat megkapható egy cukorka vásárlásból, hiszen a sorozatból kiolvasható a vásárlás.
Egy ilyen sorozat 3 db 0 és 8 db 1-es ismétléses permutációja, amib ˝ol (3+8)!3!·8! = 8+4−18
különböz ˝o van.
Bizonyítás általános esetben
Aznféle cukorkának nyitunk egy-egy kosarat. A kosarakat egy-egy 0-val választjuk el. A kosárba annyi 1-est teszünk ahány darab cukorka van az adott fajtából.
Így minden cukorka vásárláshoz egyn−1 db 0-át ésk db 1-est tartalmazó sorozatot rendeltünk, mely hozzárendelés egy-egyértelm ˝u:
Két különböz ˝o vásárlás esetén van olyan kosár amiben a vásárolt cukorkák száma nem azonos, így a hozzájuk rendelt 0-1 sorozatban van két szomszédos nulla akik között az 1-esek száma nem ugyan annyi, így a sorozatok is különböz ˝oek.
Mindenn−1 db 0-át ésk db 1-est tartalmazó sorozat megkapható egy cukorka vásárlásból, hiszen a sorozatból kiolvasható a vásárlás.
Egy ilyen sorozatn−1 db 0 ésk db 1-es ismétléses permutációja, amib ˝ol (n−1+k)!(n−1)!·k! = n+k−1k
különböz ˝o van.
Leszámlálások összefoglaló
sorrend számít nem számít
összes elemet fel kell használni nem kell felhesználni permutáció variáció kombináció ismétlés nélküli n! (n−kn!)! nk
= k!(n−k!)n!
ismétléses (k1k+k2+...+kn)!
1!k2!...kn! nk n+kk−1
Ahol:
I n: a különböz ˝o elemek száma.
I ki: azi. típusú elemek száma.
I k: ennyi elemet választunk ki.
Binomiális tétel
Bizonyítás:Amikor az(x +y)n-net kifejtjük és felbontjuk a zárójeleket akkor fogunkxkyn−k-t leírni ha éppenk darab zárójelb ˝ol választottuk azx-et ésn−k-ból azy-t. Tehát az xkyn−k együtthetója az a szám lesz, hogy hányféleképpen tudok kiválasztanik darab zárójeletnzárójelb ˝ol. Ez a szám pedig nk
.
Binomiális tétel Bizonyítás:Amikor az(x +y)n-net kifejtjük és felbontjuk a zárójeleket akkor fogunkxkyn−k-t leírni ha éppenk darab zárójelb ˝ol választottuk azx-et ésn−k-ból azy-t.
Tehát az xkyn−k együtthetója az a szám lesz, hogy hányféleképpen tudok kiválasztanik darab zárójeletnzárójelb ˝ol. Ez a szám pedig nk
.
Binomiális tétel Bizonyítás:Amikor az(x +y)n-net kifejtjük és felbontjuk a zárójeleket akkor fogunkxkyn−k-t leírni ha éppenk darab zárójelb ˝ol választottuk azx-et ésn−k-ból azy-t. Tehát az xkyn−k együtthetója az a szám lesz, hogy hányféleképpen tudok kiválasztanik darab zárójeletnzárójelb ˝ol. Ez a szám pedig nk
.
Állítás
darabnhosszú pontosank db 1-est tartalmazó 0-1 sorozat van.
Ezen sorozatok két diszjunkt halmazra bonthatóak, az 1-gyel kezd ˝od ˝oekre és a 0-val kezd ˝od ˝okre.
Ha egy ilyen 1-gyel kezd ˝odik akkor a hátsón−1 pozícióból kell kiválasztanom azt ak−1 pozíciót ahova a maradékk −1 db 1-es kerül. Ezért ezekb ˝ol n−1k−1
darab van.
Ha pedig 0-val kezd ˝odik akkor a hátsón−1 pozícióból kell kiválasztani az ak helyet ahova az 1-esek mennek, így ezek száma n−1k
.
Mivel ugyan azt számoltuk meg két különböz ˝o módón ezért
n k
= n−1k−1
+ n−1k .
Állítás
darabnhosszú pontosank db 1-est tartalmazó 0-1 sorozat van.
Ezen sorozatok két diszjunkt halmazra bonthatóak, az 1-gyel kezd ˝od ˝oekre és a 0-val kezd ˝od ˝okre.
Ha egy ilyen 1-gyel kezd ˝odik akkor a hátsón−1 pozícióból kell kiválasztanom azt ak−1 pozíciót ahova a maradékk −1 db 1-es kerül. Ezért ezekb ˝ol n−1k−1
darab van.
Ha pedig 0-val kezd ˝odik akkor a hátsón−1 pozícióból kell kiválasztani az ak helyet ahova az 1-esek mennek, így ezek száma n−1k
.
Mivel ugyan azt számoltuk meg két különböz ˝o módón ezért
n k
= n−1k−1
+ n−1k .
Állítás
darabnhosszú pontosank db 1-est tartalmazó 0-1 sorozat van.
Ezen sorozatok két diszjunkt halmazra bonthatóak, az 1-gyel kezd ˝od ˝oekre és a 0-val kezd ˝od ˝okre.
Ha egy ilyen 1-gyel kezd ˝odik akkor a hátsón−1 pozícióból kell kiválasztanom azt ak−1 pozíciót ahova a maradékk −1 db 1-es kerül. Ezért ezekb ˝ol n−1k−1
darab van.
Ha pedig 0-val kezd ˝odik akkor a hátsón−1 pozícióból kell kiválasztani az ak helyet ahova az 1-esek mennek, így ezek száma n−1k
.
Mivel ugyan azt számoltuk meg két különböz ˝o módón ezért
n k
= n−1k−1
+ n−1k .
Állítás
darabnhosszú pontosank db 1-est tartalmazó 0-1 sorozat van.
Ezen sorozatok két diszjunkt halmazra bonthatóak, az 1-gyel kezd ˝od ˝oekre és a 0-val kezd ˝od ˝okre.
Ha egy ilyen 1-gyel kezd ˝odik akkor a hátsón−1 pozícióból kell kiválasztanom azt ak−1 pozíciót ahova a maradékk −1 db 1-es kerül. Ezért ezekb ˝ol n−1k−1
darab van.
Ha pedig 0-val kezd ˝odik akkor a hátsón−1 pozícióból kell kiválasztani az ak helyet ahova az 1-esek mennek, így ezek száma n−1k
.
Mivel ugyan azt számoltuk meg két különböz ˝o módón ezért
n k
= n−1k−1
+ n−1k .
Állítás
darabnhosszú pontosank db 1-est tartalmazó 0-1 sorozat van.
Ezen sorozatok két diszjunkt halmazra bonthatóak, az 1-gyel kezd ˝od ˝oekre és a 0-val kezd ˝od ˝okre.
Ha egy ilyen 1-gyel kezd ˝odik akkor a hátsón−1 pozícióból kell kiválasztanom azt ak−1 pozíciót ahova a maradékk −1 db 1-es kerül. Ezért ezekb ˝ol n−1k−1
darab van.
Ha pedig 0-val kezd ˝odik akkor a hátsón−1 pozícióból kell kiválasztani az ak helyet ahova az 1-esek mennek, így ezek száma n−1k
.
Mivel ugyan azt számoltuk meg két különböz ˝o módón ezért
n k
= n−1k−1
+ n−1k .
Feladatokhoz megoldásához hasznos:
Skatulya-elv
Ha vanndarab gyufásskatulyánk ésn+1 gyufaszálunk akkor akárhogy rakjuk bele az összes gyufát a skatulyákba,
valamelyik skatulyába legalább 2 darab gyufa fog kerülni.
Szita formula
HaAésBhalmazok akkor|A∪B|=|A|+|B| − |A∩B|, ahol|A|
azAhalmaz elemeinek a számát jelöli.
Általános esetben haA1,A2,A3, . . .An ndarab halmaz akkor