Elosztott MPC városi forgalomirányításhoz

4.2. Elosztott MPC városi forgalomirányításhoz

Általában a legjobb szabályozási algoritmusoknál is az egyik legnagyobb probléma azok gyakorla-ti alkalmazhatósága szokott lenni. Legtöbbször túlzottan nagy számítási kapacitások és számítási idők miatt adódnak problémák. A központi szabályozás esetén az MPC komoly megvalósítha-tósági problémákba ütközhet. Ennek feloldására alkalmazhatjuk az elosztott számításon alapuló irányítást.

Az adaptív közúti forgalomirányítási rendszerek is általában centrális felépítésűek, ahol egy központi irányító számítógéphez futnak be az egész hálózat adatai, és ugyanez a gép számítja ki az optimális jelzéstervet a hálózat összes jelzőberendezése számára. Az optimális beavatkozó jelek kiszámítása azonban nemcsak egy központi helyen történhet, hanem a számítási feladatok szétosztva is elvégezhetők. Ebben az esetben decentralizált rendszerfelépítésre van szükség. A következőkben egy ilyen elosztott, prediktív szabályozás alapú városi forgalomirányító rendszer bemutatására kerül sor, amely fő szabályozási célja a jelzőberendezések előtt sorban álló járművek számának minimalizálása.

4.2.1. Centrális és elosztott MPC szabályozási architektúra

Az előző fejezetben egy általánosított városi hálózat MPC alapú szabályozásának alapelveit is-mertettük. A bemutatott MPC irányítás legegyszerűbben centrális rendszerfelépítésben képzel-hető el. Ekkor egy forgalomirányító központba futnak be a hálózat útszakaszain történő mérések adatai, és e központ számítja ki az optimális jelzésterveket – (4.52) megoldása alapján. A centrá-lis irányító architektúra esetén minden döntést egy központi számítógép hoz meg, amiket aztán továbbít a terepi forgalomirányító berendezések számára. A központi architektúrát a 4.11 ábra mutatja, aholuaz összes szabályozó jelet tartalmazza ésxpedig a közlekedési hálózat állapotait írja le az előző fejezetben foglaltaknak megfelelően.

Rendszer Szabályozó

x u

4.11. ábra. Centralizált irányító rendszer

Az optimális beavatkozó jelek kiszámítása azonban szétosztva is elvégezhető. Elosztott irá-nyító rendszerben központi számítógép nélkül valósítható meg a szabályozás úgy, hogy a terepi gépek elosztják egymás között a szükséges számításokat, miközben egymással is megosztanak mé-rési, ill. számítási adatokat. Az elosztott rendszerekben a döntések már helyben megszületnek, így ”csupán” a forgalomirányító berendezésekben lévő intelligencia segítségével szabályozhatóvá válik az adott közlekedési hálózat. Az elosztott irányítási architektúrát a 4.12ábra szemlélteti.

4.2. Elosztott MPC városi forgalomirányításhoz

Alrendszer 1 Alrendszer 2 Alrendszern

Szabályozó 1 Szabályozó 2 ... Szabályozón

...

...

...

x₁

u₁ u₂ x₂ un xn

4.12. ábra. Elosztott irányítási struktúra

4.2.2. Elosztott MPC szabályozás megvalósítása Jacobi-iterációval

Az elosztott, MPC alapú városi forgalomirányítás egyik megvalósítási lehetősége a Jacobi-módszer [77] alkalmazása, ami egy iterációs algoritmus az alábbi általános alakú, korlátozásokat tartal-mazó, kvadratikus optimalizálási feladat megoldásához:

J(k) = 1

2u^TΦu+β^Tu→min,

Fu−h≤0. (4.63)

(4.63) első sora megegyezik a már levezetett (4.53) MPC költségfüggvénnyel. A második sor a korlátozásokat tartalmazza lineáris vektoregyenlőtlenségként kifejezve. Fu −h ≤ 0 összefüg-gés tehát a rendszerre vonatkozó (4.4) és (4.5) korlátozásokat tömöríti magába N horizontra vonatkozóan.

AzFegy három részből álló hipermátrix, amelynek felső blokkja az (4.5) egyenletnek megfe-lelően a zöldidők lineáris kombinációit tartalmazza. Falsó két blokkja egy negatív és egy pozitív egységmátrix, amellyel az (4.4) szerinti minimumra, ill. maximumra vonatkozó korlátozások tart-hatók be:

4.2. Elosztott MPC városi forgalomirányításhoz

ahol 1^T_j egyeseket tartalmazó sorvektor, amely az j = 1, 2, . . . , n kereszteződések zöldfázisait jelöli ki (mérete ezért csomópontonként változik).

A h hipervektor az F-nek megfelelően három blokkvektorra bontható, ahol a felső rész a csomópontonkénti zöldidők összegének felső korlátait tartalmazó vektorokból (t^sum), a középső rész a minimális zöldidők (t^min), míg az alsó blokk a kiadható maximális zöldek (t^max) vektoraiból áll. Természetesen a vektorok előfordulásának a száma a blokkokban itt is N.

h=

Visszatérve a (4.63) probléma megoldásához, fontos megjegyeznünk, hogy az alkalmazandó Jacobi-algoritmus csak konvex probléma esetén használható. Amennyiben Φ pozitív szemidefinit mátrix (azaz sajátértékei nem negatívok), a (4.63) összefüggés egy konvex optimalizálási feladat [84]. Φ mátrix pozitív szemidefinitségének (Φ 0) bizonyítása a G. függelékben olvasható részletesen.

A megoldás folytatásához a dualitás elméletét használjuk fel [77]. A (4.63) primál probléma ún. Lagrange-féle duál alakra hozható. A Lagrange-dualitás alapgondolata, hogy a korláto-zásokat a célfüggvény kibővítésével vesszük figyelembe. Az optimalizálási probléma Lagrange-egyenlete: ahol λ^T a Lagrange-társváltozókat tartalmazó sorvektor. A duálfüggvény a Lagrange-egyenlet minimumaként határozható meg:

Ldual(λ) = inf

u L(u, λ). (4.68)

Az minimum könnyen kiszámítható, amennyiben a Lagrange-egyenlet gradiensét (azaz az u sze-rinti deriváltját) egyenlővé tesszük nullával [84]:

∇^uL(u, λ)≡0. (4.69)

4.2. Elosztott MPC városi forgalomirányításhoz

(4.69) segítségével az optimálisu^∗ vektorhoz juthatunk:

u^∗ =−Φ⁻¹(β+F^Tλ^∗). (4.70)

(4.67) egyenletbe visszahelyettesítve u^∗ értékét, a Lagrange-egyenlet duálisát kapjuk:

L_dual(λ) =L(u^∗, λ) = 1

ahol az átláthatóság kedvéért P mátrixot és w vektort definiáljuk. A fentiek alapján a (4.63) kvadratikus optimalizálási probléma duálisa végül:

Ldual(k) = 1

2λ^TP λ+λ^Tw→min,

λ≥0. (4.72)

Bizonyítható, hogy ha λ^∗ optimális megoldást nyújt Ldual(k) számára, akkor (4.70) ugyancsak az optimális megoldását adja a primál feladatnak [178].

Mint látható, a duális probléma a primál feladathoz képest jóval egyszerűbb korlátozást tartalmaz: az egyetlen kikötés, hogy a megoldás nem negatív halmazon keresendő. A duális feladat ezáltal gyakorlatilag az alábbi lineáris egyenletrendszer megoldására redukálódik – a pozitivitás feltétele mellett:

P λ=w. (4.73)

Számos numerikus algoritmus létezik a probléma megoldására. A rendszerünkhöz a Jacobi-iterációt választottuk, amely lehetőséget ad az optimalizálási probléma hatékony és elosztott megoldásra. Mivel Φ pozitív szemidefinit mátrix, P mátrix j-edik diagonál eleme is pozitív:

p_jj =a^T_jΦ⁻¹a_j ≥0. (4.74)

Ez azt jelenti, hogy a duál függvény is szigorúan konvex [77]. A szigorú konvexitási feltétel telje-sülésével alkalmazható a nemlineáris Jacobi-algoritmus. Mivel a duál feladat szintén kvadratikus, az iteráció explicit módon felírható. Felhasználva a duál függvény első parciális deriváltját:

wj+ Xm

k=1

pjkλk, (4.75)

a módszer a következő iterációs egyenlettel írható le:

λ_j(t+ 1) = max

κ egy pozitív értékű, súlyozó paraméter. Az iterációban konvergencia biztosítható, amennyiben κ = m⁻¹. Mindamellett nem érdemes ennyire kis értéket választani κ-nak, mivel ez általában szükségtelenül lelassítja az iterációt.

Amint eljutunk λ^∗ optimális megoldáshoz a (4.76) iteráción keresztül, az MPC -