6. Laplace-transzfom´ aci´ o 23
7.1.1. Elm´ elet
Tekints¨uk az ˙x = Ax line´aris differenci´alegyenlet-rendszert, ahol A n× n m´eret˝u m´atrix. A rendszer f´azisk´ep´et a stabilis, instabilis ´es centr´alis alte-rek seg´ıts´eg´evel lehet jellemezni, ezek defin´ıci´oj´at ´es legfontosabb tulajdon-s´agait foglaljuk ¨ossze el˝osz¨or. Jel¨olje a m´atrix saj´at´ert´ekeit multiplicit´assal λ1, λ2, . . . , λn. Jel¨oljeu1, u2, . . . , unazt a b´azistRn-ben, amely a m´atrix val´os Jordan-norm´alform´aj´at adja. Ezen b´azis ´altal´anos meghat´aroz´asa hosszabb el˝ok´esz´ıt´est ig´enyel, azonban a leggyakoribb ´es a tov´abbiakban el˝ofordul´o esetekben a b´azis az al´abbi m´odon egyszer˝uen meghat´arozhat´o. Ha a saj´
at-´
ert´ekek val´osak ´es k¨ul¨onb¨oz˝ok, akkor ezek ´eppen a megfelel˝o saj´atvektorok.
Ha vannak komplex konjug´alt saj´at´ert´ek p´arok, akkor az ezeknek megfele-l˝o komplex saj´atvektor val´os ´es k´epzetes r´esze van a b´azisban. T¨obbsz¨or¨os saj´at´ert´ekek eset´en az ´altal´anos´ıtott saj´atvektorok ker¨ulnek a b´azisba, ha a saj´atalt´er dimenzi´oja kisebb, mint a saj´at´ert´ek algebrai multiplicit´asa. Ha p´eld´aul λ k´etszeres saj´at´ert´ek, de csak egydimenzi´os saj´atalt´er tartozik hoz-z´a, akkor az ´altal´anos´ıtott v saj´atvektort azAv=λv+uegyenlet hat´arozza meg, aholuaz egydimenzi´os saj´atalteret kifesz´ıt˝o saj´atvektor. Megjegyezz¨uk, hogy ekkor v olyan u-t´ol f¨uggetlen vektor, melyre (A−λI)2v = 0, ugyan-is (A−λI)2v = (A−λI)u = 0. Ezen b´azis seg´ıts´eg´evel az al´abbi m´odon defini´alhat´o line´aris rendszerek stabilis, instabilis ´es centr´alis altere.
7.1. Defin´ıci´o Legyen egy, azAval´os norm´alalakj´at meghat´aroz´o b´azis{u1, . . . , un} ⊂ Rn. Jel¨oljeλk azt a saj´at´ert´eket, amelyhez azuk b´azisvektor tartozik (uk nem
felt´etlen¨ul saj´atvektor). Az
Es = span{uk: Reλk <0}, Eu = span{uk : Reλk >0}, Ec = span{uk : Reλk= 0}
27
7. FEJEZET. A STABILIT´AS ELM´ELET ELEMEI 28 altereket rendre az x˙ =Ax line´aris differenci´alegyenlet-rendszer stabilis, in-stabilis, centr´alis alter´enek nevezz¨uk.
Ezek legfontosabb tulajdons´agai az al´abbi t´etelben foglalhat´ok ¨ossze.
7.2. T´etel Az Es, Eu, Ec alterek rendelkeznek az al´abbi tulajdons´agokkal:
1. Es⊕Eu⊕Ec=Rn.
2. Invari´ansak A-ra (azaz A(Ei) ⊂ Ei, i = s, u, c), ´es ∀t ∈ R eset´en eAt-re.
3. Minden p∈Es eset´en eAtp→0, ha t→+∞, s˝ot, van olyan K, α >0, hogy |eAtp| ≤Ke−αt|p|, ha t≥0.
4. Minden p∈Eu eset´en eAtp→0, hat → −∞, s˝ot, van olyan L, β >0, hogy |eAtp| ≤Leβt|p|, ha t≤0.
K´etdimenzi´os rendszerek eset´en az invari´ans alterekkel val´o jellemz´es to-v´abb finom´ıthat´o. Nevezetesen, ha k´etdimenzi´os a stabilis vagy instabilis alt´er, akkor megk¨ul¨onb¨oztethetj¨uk a csom´o ´es a f´okusz t´ıpus´u f´azisk´epet. A k´etdimenzi´os f´azisk´epek al´abbi t´ıpusait vezetj¨uk be a m´atrix saj´at´ert´ekeinek megfelel˝oen.
7.3. Defin´ıci´o Legyenek a 2×2 m´eret˝u A m´atrix saj´at´ert´ekei λ1 ≤λ2. Az
˙
x=Ax rendszer
• stabilis csom´o, haλ1, λ2 val´osak ´es λ1 <0, λ2 <0,
• instabilis csom´o, ha λ1, λ2 val´osak ´es λ1 >0, λ2 >0,
• elfajult stabilis csom´o, ha λ1, λ2 val´osak ´es λ1 =λ2 < 0, ´es a hozz´ajuk tartoz´o saj´atalt´er egydimenzi´os,
• elfajult instabilis csom´o, haλ1, λ2 val´osak ´es λ1 =λ2 >0,´es a hozz´ajuk tartoz´o saj´atalt´er egydimenzi´os,
• nyereg, ha λ1, λ2 val´osak ´es λ1 <0< λ2,
• stabilis f´okusz, ha λ1, λ2 nem val´osak ´es Reλ1 <0, Reλ2 <0,
• instabilis f´okusz, ha λ1, λ2 nem val´osak ´es Reλ1 >0, Reλ2 >0,
• centrum, ha Reλ1 = Reλ2 = 0, azaz λ1 ´es λ2 tiszta k´epzetesek.
7. FEJEZET. A STABILIT´AS ELM´ELET ELEMEI 29 Megjegyezz¨uk, hogy n´egy olyan elfajult f´azisk´ep van, melyekn´el nem csak az orig´o az egyens´ulyi pont (azaz a m´atrix determin´ansa 0), de ezek nem kaptak nevet. Ezen esetek a k¨ovetkez˝ok:
• λ1 = 0, λ2 <0,
• λ1 = 0, λ2 >0,
• λ1 = 0 =λ2, ´es a hozz´ajuk tartoz´o saj´atalt´er k´etdimenzi´os,
• λ1 = 0 =λ2, ´es a hozz´ajuk tartoz´o saj´atalt´er egydimenzi´os.
Erdemes ´´ eszrevenni, hogy a f´azisk´ep t´ıpusa a saj´at´ert´ekek kisz´am´ıt´asa n´elk¨ul, puszt´an a m´atrix determin´ansa (det) ´es nyoma (tr) seg´ıts´eg´evel is meghat´ a-rozhat´o a k¨ovetkez˝ok´eppen. A 2×2 m´eret˝u A m´atrix saj´at´ert´ekeit megha-t´aroz´o karakterisztikus egyenlet λ2−trλ+ det = 0. Teh´at a saj´at´ert´ekek
λ1,2 = 1 2
tr±p
tr2−4 det .
A k´epletb˝ol l´athat´o, hogy pontosan det < 0 eset´en lesznek a saj´at´ert´ekek val´osak ´es k¨ul¨onb¨oz˝o el˝ojel˝uek, azaz ekkor lesz a rendszer nyereg. Ha det>
0, akkor a saj´at´ert´ekek val´os r´esz´enek el˝ojele megegyezik tr el˝ojel´evel. A saj´at´ert´ekek pontosan akkor lesznek komplexek (pontosabban nem val´osak), ha tr2 < 4 det. Teh´at a k¨ovetkez˝ok´eppen d¨onthet˝o el a rendszer t´ıpusa a determin´ans ´es nyom ismeret´eben.
7.4. Lemma Jel¨olje a 2×2m´eret˝u A m´atrix determin´ans´at det ´es nyom´at tr. Az x˙ =Ax rendszer
• stabilis nem elfajult csom´o, ha tr2 >4 det ´es tr<0,
• instabilis nem elfajult csom´o, hatr2 >4 det ´es tr>0,
• elfajult stabilis csom´o, ha tr2 = 4 det ´es tr<0,
• elfajult instabilis csom´o, ha tr2 = 4 det´es tr>0,
• nyereg, ha det <0,
• stabilis f´okusz, ha tr2 <4 det ´es tr<0,
• instabilis f´okusz, ha tr2 <4 det ´es tr>0,
• centrum, ha det >0 ´es tr = 0.
7. FEJEZET. A STABILIT´AS ELM´ELET ELEMEI 30
7.1. ´abra. Az ´ugynevezett (tr,det) diagramm.
Az ´all´ıt´ast az ´ugynevezett (tr,det) diagramm foglalja ¨ossze, melyet a 7.1
´abra mutat. T¨obbdimenzi´os esetben k¨ul¨on¨osen fontos eld¨onteni, hogy milyen felt´etelek mellett lesz az orig´o aszimptotikusan stabilis, azaz a stabilis alt´er n-dimenzi´os. Ez akkor k¨ovetkezik be, amikor a karakterisztikus polinom min-den gy¨oke negat´ıv val´os r´esz˝u. Ennek eld¨ont´es´eben seg´ıt a Routh-Hurwitz-krit´erium.
7.5. T´etel (Routh–Hurwitz-krit´erium)Legyen p(x) = xn+an−1xn−1+. . .+ a1x+a0 egy tetsz˝oleges polinom. Ap minden gy¨ok´enek val´os r´esze pontosan akkor negat´ıv, ha a (7.1) n × n-es m´atrix pozit´ıv definit, azaz f˝ominorjai pozit´ıvak.
an−1 1 0 . . . 0 an−3 an−2 an−1 1 0 . . .
... . .. . .. ... ... ...
... . .. . .. ... ... ...
0 . . . 0 a0 a1 a2 0 . . . 0 a0
(7.1)
7. FEJEZET. A STABILIT´AS ELM´ELET ELEMEI 31