Egzogén döntési sorrendek

Hirata (2009) és De Francesco és Salvadori (2010) egymástól függetlenül meg-mutatta, hogy a feltevéseink mellett a (v) esetben az 1-es vállalat várható profitja π₁, míg a 2-es és 3-as vállalatoké p^d₁k₂ = p^d₁k₃. Az (i)-(iv) eseteket külön állításokban vizsgáljuk.

3.2. állítás (Tasnádi, 2010b). A 2.6., a 2.10., a 2.12., a 3.1. feltevések és a hatékony adagolási szabály mellett, ha a nagyvállalat az egzogéne adott első

3.1. KAPACITÁSKORLÁTOS TRIOPÓLIUM 36 lépő, akkor létezik egyértelmű részjáték-tökéletes egyensúly az alábbi egyensúlyi árakkal és profitokkal:

(p^∗₁, p^∗₂, p^∗₃) = (p^m₁ , p^m₁, p^m₁ ) és (π^∗₁, π₂^∗, π^∗₃) = (π₁, p^m₁ k₂, p^m₁ k₃).

Bizonyítás.A nagyvállalat nyilván[p^d₁, b]intervallumbelip₁ árat állapít meg, és ezért a kisvállalatok a második időszakban nem mondanak p₁-nél kisebb árat.

Indirekte tegyük fel, hogyp_i > p₁ teljesülne valamelyik i∈ {2,3}kisvállalatra.

Ha p_i > p_j, ahol j a másik kisvállalatot jelöli (i 6= j és i, j ∈ {2,3}), akkor az ivállalat nem érhet el π_i-nél több profitot, ami kevesebb mintp^d₁k_i ≤p₁k_i. Ezért az i vállalat számára előnyösebb volna a p₁ ár. Ha p_i = p_j > p₁, ak-kor mindkét kisvállalat érdekelt a második időszakban egyoldalúan a másik kisvállalat aláárazásában. Tehát a második időszakhoz tartozó részjátéknak az egyetlen lehetséges tiszta Nash-egyensúlyi megoldása ap₂ =p₃ =p₁, amelynek egyensúlyi volta könnyen ellenőrizhető.

Ismerve a kisvállalatok második időszakbeli reakcióit a nagyvállalat az első időszakban a reziduális keresleti görbén maximalizálja profitját, és ezért a p^m₁

árat választja. 2

A (ii) esetben a megoldás során feltehető, hogy ha a nagyvállalat azonos profitot érne el

• egy kisvállalattal megegyező alacsonyabb ár megállapításával és

• egy magasabb áron a reziduális kereslet kiszolgálásával,

akkor a nagyvállalat a reziduális kereslet kiszolgálása mellett fog dönteni. Ekkor a nagyvállalat egy a kisvállalatnál magasabb árat fog bemondani. Pótlólagos feltevésünkkel feloldjuk, a nagyvállalat legjobb-válasz függvényének kétérté-kűségét. Megjegyzendő, hogy a nagyvállalat „robusztusabb” döntése mellett tettük le a voksunkat, mivel a kisvállalat árával azonos ár megállapítása a kisvállalatot egy a kérdéses árnál ε-nal kisebb ár meghatározásában tenné ér-dekelté, ami egyébként sem adna részjáték-tökéletes Nash-egyensúlyt.

3.1. KAPACITÁSKORLÁTOS TRIOPÓLIUM 37 3.3. állítás (Tasnádi, 2010b). A 2.6., a 2.10., a 2.12., a 3.1. feltevések és a hatékony adagolási szabály mellett, ha a nagyvállalat az egzogéne adott utolsó lépő, akkor két esetet kell megkülönböztetnünk:

1. az egyértelmű részjáték-tökéletes egyensúly és egyensúlyi profitok rendre (p^∗₁, p^∗₂, p^∗₃) = (p^m₁ , p^d₁, p^d₁) és (π^∗₁, π₂^∗, π^∗₃) = (π₁, p^d₁k₂, p^d₁k₃),

amennyiben k₁ < D(p^d₁)−k₂;

2. a két részjáték-tökéletes egyensúly és a hozzájuk tartozó egyensúlyi profi-tok

(p^∗₁, p^∗₂, p^∗₃) = (p^m₁ , p^d₁, p^u₁) és (π^∗₁, π₂^∗, π^∗₃) = (π₁, p^d₁k₂, p^u₁k₃) vagy (p^∗₁, p^∗₂, p^∗₃) = (p^m₁ , p^u₁, p^d₁) és (π^∗₁, π₂^∗, π^∗₃) = (π₁, p^u₁k₂, p^d₁k₃), ahol p^u₁ a p^u₁min

k₁,(D(p^u₁)−k₂)⁺ = π₁ implicit egyenletet kielégítő két ár kisebbike, amennyiben k₁ ≥D p^d₁

−k₂.

Bizonyítás.Mivel a nagyvállalat sosem választp^d₁ alatti árat, a kisvállatok sem adnak meg p^d₁-nél kisebb árat. Vegyük észre, hogy tiszta részjáték-tökéletes egyensúlyban legalább egyik kisvállalat p^d₁ árat állapít meg, mert különben a nagyvállalat legalább a kisvállalatok egyike alá fog árazni.

Tegyük fel, hogy k₁ < D(p^d₁)−k_i esetén az i kisvállalat p^d₁ árat választ, míg a másik j kisvállalat egy p^d₁ feletti p_j árat. Ekkor a nagyvállalat jobban járna egyp_i =p^d₁ ésp_j közötti árral, ap^m₁ árral szemben, hiszen egyp^d₁-vel csak kismértékben magasabb áron képes a teljes kapacitását értékesíteni és π₁-nél több profitra szert tenni. Tehát aj vállalat profitjaπ^r_j(p_j), ami kevesebb p^d₁k_j -nél, azaz ellentmondásra jutottunk. Összegezve a k₁ < D(p^d₁)−k_i esetben a két kisvállalatp^d₁ árat állapít meg az első időszakban és a nagyvállalatp^m₁ árat.

A k₁ ≥ D p^d₁

−k₂ esetben, az előző esettel ellentétben, a j vállalat első időszaki ára p^u₁ is lehetne, mert a profitjának maximalizálása a D(p) − k_i keresleti görbén a

p^d₁, p^u₁

intervallumon nem eredményezne π₁-nél magasabb profitot a nagyvállalat számára. Így két aszimmetrikus részjáték-tökéletes

3.1. KAPACITÁSKORLÁTOS TRIOPÓLIUM 38 egyensúlyt kapunk. Könnyen ellenőrizhető, hogy a megadott két stratégia-együttes két tiszta részjáték-tökéletes Nash-egyensúly. 2

3.4. állítás (Tasnádi, 2010b). A 2.6., a 2.10., a 2.12., a 3.1. feltevések és a hatékony adagolási szabály mellett, ha csak az egyik kisvállalat, mondjuk a 3, lép elsőként, akkor létezik egyértelmű részjáték-tökéletes egyensúly az alábbi egyensúlyi profitokkal:

(p^∗₁, p^∗₂, p^∗₃) = (X₁^∗, X₂^∗, p^d₁) és (Eπ₁^∗, Eπ^∗₂, π₃^∗) = (π₁, p^d₁k₂, p^d₁k₃),

ahol az 1 és 2 vállalatok második időszakbeli egyensúlyi árai az X₁^∗, X₂^∗ függet-len valószínűségi változók a ϕ^∗₁, ϕ^∗₂ eloszlásmértékekkel, amelyek a D(p)−k₃ keresleti függvényű második időszakbeli Bertrand–Edgeworth játék egy kevert egyensúlyát alkotják.³

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy a 3 vállalat ára p₃ > p^d₁. Az 1 és 2 vállalatok a ϕ1 és ϕ2 kevert stratégiáikat alkalmazzák. Legyen p_i = sup supp(ϕi) és pi = inf supp(ϕ_i) mindkét i ∈ {1,2}-re. Nyilván p

1 ≥ p^d₁, és ezért p

2 ≥ p^d₁. Egy második időszakbeli egyensúlyban nem lehet p₂ > p₁, mivel ez maga után vonná, hogy p₂ áron a 2 vállalat profitja alacsonyabb volna, mint a p^d₁ áron. Ha p₁ = p₂ > p3, akkor a két eloszlás egyike atommentes a p₁ áron, továbbá ϕ₂-nek atommentesnek kell lennie, mivel ellenkező esetben a 2 vállalat jobban járna a p^d₁ árral, mint a p₂ árral. Ezért, ha p₁ > p3, akkor az 1 vállalat a p₁ áron a D(p)−k₂ −k₃ reziduális keresletet elégíti ki, amiből p₁ = p^m₁ következik. Ekkor azonban p3 > p^d₁ miatt az 1 vállalat javíthatna a helyzetén, például egy p^d₁-nél valamivel magasabb ár megadásával, és ezért a 2 vállalat nem állapíthat meg p3-nál magasabb árat, és emiatt (ϕ1, ϕ2) nem alkotna egyensúlyi stratégiaprofilt a második időszakban. Eddig megmutat-tuk, hogy a 3 vállalat nem határoz meg p^d₁-nél magasabb árat. Végül vegyük

3Ebben az alfejezetben a továbbiakban azEπi írásmód hangsúlyozza, hogy a megfelelő kevert stratégiaegyütteshez tartozó nem determinisztikus várható vállalati profitról van szó, mígπi-t akkor írunk, ha a profit determinisztikus.

3.1. KAPACITÁSKORLÁTOS TRIOPÓLIUM 39 észre, hogy ha a 3 vállalat p^d₁ árat állapít meg, akkor a D(p)−k₃ keresleti görbéjű szimultán 1 és 2 vállalatok által játszott Bertrand–Edgeworth-játék kevert egyensúlyában — amely a második időszakbeli kevert egyensúlyi stra-tégiákat adja — az1és2vállalatok nulla valószínűséggel adnak megp^d₁ árat.2

3.5. állítás (Tasnádi, 2010b). A 2.6., a 2.10., a 2.12., a 3.1. feltevések és a hatékony adagolási szabály mellett, ha csak az egyik kisvállalat, mondjuk a3, lép utolsóként, akkor létezik egyértelmű részjáték-tökéletes egyensúly az alábbi egyensúlyi profitokkal:

(p^∗₁, p^∗₂, p^∗₃) = (X₁^∗, X₂^∗, Emax{X₁^∗, X₂^∗}) és (Eπ₁^∗, Eπ₂^∗, Eπ^∗₃) = (π₁, p^d₁k₂, Emax{X₁^∗, X₂^∗}k₃),

ahol az X₁^∗, X₂^∗ független valószínűségi változók adják meg rendre az 1 és a 2 vállalatok első időszaki egyensúlyi árait, amelyek eloszlásmértékei a (ϕ^∗₁, ϕ^∗₂) a D(p) − k₃ keresleti függvényű, az 1 és 2 vállalatok által játszott Bertand-Edgeworth duopólium egy kevert egyensúlyát alkotják. Továbbáp^d₁k₃ <

Emax{X₁^∗, X₂^∗}k₃ < p^m₁ k₃ is teljesül.

Bizonyítás. Az 1 vállalat nyilván nem állapít meg p^d₁-nél alacsonyabb árakat és biztosan b⁰ alatti árat ad meg, aholb⁰ ak₁+k₂ =D(b⁰)implicit egyenlettel értelmezett. Most ha a2vállalat árap₂ < b⁰, akkor a 3vállalat legjobb válasza max{p₁, p₂}. Ezért az 1és2vállalatok az első időszakban a D(p)−k₃ keresleti

görbével szembesülnek. 2