AZ EGYENSÚLY LÉTEZÉSE III - Rövid bevezetés az általános egyensúly elméletébe

3.A. alfejezet: Bevezetés 45

3.A. Bevezetés

Ebben a fejezetben az általános egyensúly létezésével foglalkozunk. Ez a kérdés a 20. század közepe felé a kutatások fo problémájává vált, és az addig sikerrel nem kecsegteto feladat a Kakutani-tétel¹⁸ megjelené-sével egy csapásra megoldhatónak tunt. A fáradozások jutalma nem is maradt el: azAdam Smithtol eredeztetheto, mintegy kétszáz éves sejtés

— elsosorban Kenneth Arrow, Gerard Debreu ésLionel McKenzie mun-kájának¹⁹ köszönhetoen — igazolást nyert. Lássuk, miképpen!

Az eddig megismert Arrow—Debreu-modell elso pillantásra némi ké-telyt ébreszt bennünk arra vonatkozóan, hogy tényleg elégségesek-e a felsorolt feltételek. A gazdasági mechanizmus ismertetése során megad-tuk a termelok és fogyasztók döntési szabályait. Ezek a pont—halmaz leképezések csak akkor jól deniáltak, ha a dönto szerepet játszó feltéte-les szélsoérték-számítási feladatoknak létezik megoldásuk, azaz a prot-, illetve hasznossági függvények ténylegesen felveszik maximumértékeiket.

Ez, látva a feltételeket, egyáltalán nem triviális, hiszen a tevékenységi halmazokról nem tételeztünk fel korlátosságot, és így nem alkalmazhat-juk közvetlen módon aWeierstrass-tételt.

Ezért a továbbiakban eloször deniálunk egy új gazdaságot, amiben ez már nem jelent problémát, majd megmutatjuk, hogy ennek egyensúlyi állapotai szükségképpen egybeesnek az eredeti gazdaság egyensúlyi álla-potaival. Ezután nem marad más hátra, minthogy az egyensúly létezését ebben az új gazdaságban belássuk.

3.B. A szukített gazdaság 3.B.1. Releváns döntések

Egya^∗ tevékenységegyüttes (allokáció) deníciószeruen csak akkor tar-tozhat egy(a^∗, p^∗)egyensúlyi állapothoz, ha naturális egyensúlyban van, azaz, ha

[I i=1

x^∗_i _ [J j=1

y^∗_j + [I i=1

ωi.

18Kakutani(1941).

19Arrow—Debreu(1954), Debreu(1956), McKenzie(1954), McKenzie(1959) vala-mintMcKenzie(1961).

Egy ilyen tevékenységegyüttesben szereplo fogyasztási és termelési te-vékenységek az egyensúly szempontjából relevánsak, míg az olyanok, amelyek nem részei naturális egyensúlyban lévo allokációnak, számunkra most érdektelenek. A továbbiakban egyelore a releváns tevékenységekre koncentrálunk.

3.B.1. Deníció. Egy x_i ∈ X_i fogyasztási tevékenység releváns dön-tés, ha létezik egy naturális egyensúlyban lévo a(∈ Aok) tevékenység-együttes, aminekx_i része. Egyy_j ∈ Y_j termelési tevékenység releváns döntés, ha létezik egy naturális egyensúlyban lévo a(∈ Aok) tevékeny-ségegyüttes, aminek y_j része. A releváns döntések halmazait rendre az X_i^R,(i= 1,2, . . . , I)és azY_j^R,(j= 1,2, . . . , J)szimbólumokkal jelöljük.

3.B.2. Segédtétel. Egye∈ EA−D gazdaságban az

X_i^R,(i= 1,2, . . . , I) és az Y_j^R,(j= 1,2, . . . , J) halmazok nemüres, konvexhalmazok.

Bl}rq|ðwäv.A releváns tevékenységek halmazai triviális módon nem-üresek, hiszen aszigorú önellátás és a tétlenség lehetségessége feltételek

miatt a

b₁, b₂, . . . , b_I,0,0, . . . ,0_(J) tevékenységegyüttes naturális egyensúlyban van.

A konvexitás bizonyításátX_i^R-re végezzük el, a többi teljesen hason-ló. Legyenx¹_i, x²_i ∈X_i^R.Ekkor léteznek olyan

x¹₁, . . . , x¹_i−1, x¹_i+1, . . . , x¹_I, y¹₁, . . . y_J¹ és x²₁, . . . , x²_i−1, x²_i+1, . . . , x²_I, y²₁, . . . y_J² tevékenység (I+J−1)-esek, amelyekre

[I i=1

x¹_i _[^I

i=1

ω_i+ [J j=1

y¹_j és [I i=1

x²_i _[^I

i=1

ω_i+ [J j=1

y²_j. (3.B—1) Miután azX_i, i= 1,2, . . . , Iés azY_j, j= 1,2, . . . , Jhalmazok konvexek, ezértλ∈[0,1]esetén

λx¹_i + (1−λ)x²_i

= x^λ_i ∈X_i, i= 1,2, . . . , I, λy¹_j+ (1−λ)y_j²

= y_j^λ∈Y_j, j= 1,2, . . . , J.

3.B. alfejezet: A szukített gazdaság 47

A (3.B—1) egyenlotlenségekbol az is világos, hogy λ

azaz találtunk egy olyana^λ tevékenységegyüttest, amelynekx^λ_i része és így

x^λ_i ∈X_i^R.

3.B.3. Segédtétel. Egye∈ EA−D gazdaságban az

X_i^R,(i= 1,2, . . . , I) és az Y_j^R,(j= 1,2, . . . , J) halmazok korlátoshalmazok.

Bl}rq|ðwäv. Eloször a termelok releváns döntési halmazainak korlátos-ságát látjuk be. A bizonyítás indirekt. Tegyük fel, létezik olyanj^�,amire Y_j^R3 nem korlátos! A releváns döntések deníciója szerint∀j-re és∀i-re léteznek olyanY_j^R-beli Deniáljukl^q-t a következoképpen:

l^q= max

y_j^q. Nyilván

q→∞lim l^q=∞.

A fogyasztási halmazokra tett alulról korlátossági feltevés miatt [I

46 3. fejezet: Az egyensúly létezése

3.B.2. Segédtétel. Egye∈ EA−D gazdaságban az

X_i^R,(i= 1,2, . . . , I) és az Y_j^R,(j= 1,2, . . . , J) halmazok nemüres, konvexhalmazok.

Bl}rq|ðwäv.A releváns tevékenységek halmazai triviális módon nem-üresek, hiszen aszigorú önellátás és a tétlenség lehetségessége feltételek

miatt a

b₁, b₂, . . . , b_I,0,0, . . . ,0_(J) tevékenységegyüttes naturális egyensúlyban van.

A konvexitás bizonyításátX_i^R-re végezzük el, a többi teljesen hason-ló. Legyenx¹_i, x²_i ∈X_i^R.Ekkor léteznek olyan

x¹₁, . . . , x¹_i−1, x¹_i+1, . . . , x¹_I, y¹₁, . . . y¹_J és x²₁, . . . , x²_i−1, x²_i+1, . . . , x²_I, y²₁, . . . y²_J tevékenység (I+J−1)-esek, amelyekre

ahol c_i azi-edik fogyasztóX_i fogyasztási halmazának egy alsó korlátja.

Ha ezt összevetjük a (3.B—2) egyenlotlenséggel, akkor kapjuk, hogy [J

j=1

y^q_j c−ω. (3.B—3)

Láttuk, hogy l^qhatárértéke végtelen, ezért egy elég nagy, q^◦-at megha-ladóq-ral^qnyilván nagyobb lesz, mint 1. A termelokre tett konvexitási és tétlenségi feltevések miatt az ilyenqértékekre

l^qy_j^q+ (1− 1 l^q)0 = 1

l^qy^q_j ∈Y_j. Továbbál^qdeniciójából tudjuk, hogy

∀j−re 1

l^qy^q_j _1, valamint

maxj

l^qy_j^q

= 1. (3.B—4)

A∀j-reY_j-beli₁

l^qy^q_j∞

q>q⁰ sorozatok korlátosak, tehát kiválasztható be-lolük egy-egy konvergens részsorozat. Legyen ezeknek a határértéke rendrey_j^◦!A termelési halmazokra feltételeztük a zártságot, ezért mond-hatjuk, hogy y_j^◦ ∈ Y_j, ∀j-re. Indexeljünk át vagy tegyük fel, hogy az

l^qy^q_j sorozatok maguk konvergensek! A (3.B—3) egyenlotlenségbol,l^q-val történo osztás után, határértékben kapjuk, hogy

q→∞lim 1 l^q

[J j=1

y^q_j = [J j=1

y_j^◦0.

Mively^◦_j ∈Y_j mindenj-re, ezért [J j=1

y_j^◦∈Y.

Anincsen rózsa tövis nélkül feltétel értelmében [J

j=1

y_j^◦= 0.

3.B. alfejezet: A szukített gazdaság 49

Most megmutatjuk, hogy ebbol mindenj-re azy^◦_j = 0egyenloség követ-kezik, ellenkezo esetben ellentmondásba kerülünk adisznó—kolbász felté-tellel. Tételezzük fel ugyanis, hogyy_k^◦�= 0.Ekkor

y_k^◦=−[

j�=k

y_j^◦.

Ha most tekintjük atétlenség lehetségessége feltétel miatt értelmes (0, . . . ,0, y_k,0, . . . ,0) és az (y₁, . . . , y_k−1,0, y_k+1, . . . , y_J) termelési tevékenységegyütteseket, akkor látható az ellentmondás. Azt kaptuk tehát, hogy

∀j-re y_j^◦= 0,

ami nyilvánvalóan ellentmond a (3.B—4) feltételnek, mert a folytonos normák felett a maximumképzés is folytonos.

Térjünk rá most a fogyasztók releváns tevékenységeinek korlátossá-gára! Tudjuk, hogy∀i-re, haxi ∈X_i^R,akkor

A termelokY_j^R döntési halmazainak korlátossága miatt a fenti egyenlot-lenség két szélso oldala alsó, illetve felso korlátként szolgál a fogyasztók

releváns döntési halmazai számára.

3.B.2. A gazdaság szukítése

A releváns döntési halmazok elozoekben igazolt tulajdonságainak kihasz-nálásával deniáljuk azt az új gazdaságot, amelynek egyensúlyi állapotai megegyeznek majd az eredeti e ∈ EA−D gazdaságéval. A pont további részében szereplo ismeros szimbólumok mind erre az e gazdaságra vo-natkoznak.

LegyenT_e^sz ⊂R^N zárt, korlátos, konvex, valamint legyen∀i-reX_i^R⊂ intT_e^szés∀j-reY_j^R⊂intT_e^sz.²⁰Az új (szukített) gazdaságban a szereplok X_i^sz fogyasztási ésY_j^sz termelési halmazai legyenek rendre azX_i∩T_e^sz,

20AzR^N tér tulajdonságaiból következoen tehátT olyan nemüres, kompakt, konvex halmaz, amely a belsejében tartalmazza az összes releváns döntési halmazt.

48 3. fejezet: Az egyensúly létezése

ahol c_i azi-edik fogyasztó X_i fogyasztási halmazának egy alsó korlátja.

Ha ezt összevetjük a (3.B—2) egyenlotlenséggel, akkor kapjuk, hogy [J

j=1

y^q_j c−ω. (3.B—3)

Láttuk, hogy l^q határértéke végtelen, ezért egy elég nagy, q^◦-at megha-ladóq-ral^q nyilván nagyobb lesz, mint 1. A termelokre tett konvexitási és tétlenségi feltevések miatt az ilyenqértékekre

l^qy_j^q+ (1− 1 l^q)0 = 1

l^qy^q_j ∈Y_j. Továbbál^q deniciójából tudjuk, hogy

∀j−re

l^qy^q_j sorozatok maguk konvergensek! A (3.B—3) egyenlotlenségbol,l^q-val történo osztás után, határértékben kapjuk, hogy

q→∞lim

Anincsen rózsa tövis nélkül feltétel értelmében [J

j=1

y_j^◦= 0.

illetve azY_j∩T_e^sz halmazok, míg a fogyasztók hasznossági függvényei a csak a szukített fogyasztási halmazokon értelmezett Ui függvények. A készletek és a részesedések maradjanak változatlanok.

3.B.4. Deníció. Egye∈ EA−D gazdaságból származtatottesz szukí-tett gazdaságon a következot értjük:

esz=q

N, I, J,{X_i^sz}^Ii=1,{U_i^sz}^Ii=1,{ωi}^Ii=1, Y_j^szJ

j=1,{αij}^j=1,...,J_i=1,...,Ir , ahol

X_i^sz = X_i∩T_e^sz, Y_j^sz =Y_j∩T_e^sz, valamint U_i^sz : X_i^sz→R, es U´ _i^sz(x_i) =U_i(x_i),∀x_i∈X_i^sz.

Vizsgáljuk meg, vajon ez a gazdaságA—D gazdaság,illetveversenyzoi gazdaság-e! Mik lesznek ennek aze_sz gazdaságnak a tulajdonságai?

3.B.5. Állítás. Azesz ∈ E gazdaságban

(i) j= 1,2, . . . , J-re azY_j^sz halmazok nemüres, kompakt, konvex hal-mazok;

(ii) j= 1,2, . . . , J-re0∈Y_j^sz és ígyπ_j(p)0∀p∈P^N-re;

(iii) Y^sz∩R^N+ ={0}; (iv) Y^sz∩ {−Y^sz}={0};

(v) i= 1,2, . . . , I-re azX_i^sz halmazok nemüres, kompakt, konvex hal-mazok;

(vi) i= 1,2, . . . , I-re azU_i^sz hasznossági függvények folytonos függvé-nyek;

(vii) i= 1,2, . . . , I-re azU_i^szhasznossági függvények félig szigorúan kvá-zikonkáv függvények;

(viii) i= 1,2, . . . , I-re haxi ∈ X_i^R, akkor a fogyasztó ebben a pontban lokálisan telhetetlen, azaz ∃x^��_i ∈ X_i^sz∩Ni(xi), Ui(x^��_i)> Ui(xi), ahol Ni(xi)az xi pont tetszoleges nyílt környezete;

(ix) i= 1,2, . . . , I-re ∃b_i∈X_i^sz,amire b_i< ω_i;

3.B. alfejezet: A szukített gazdaság 51

Bl}rq|ðwäv. Csak azokat a pontokat bizonyítjuk, ahol az állítás nem trivialitás.

A (viii) pont a fogyasztók telhetetlenségére vonatkozik. Nem állít-hatjuk, hogy a fogyasztó minden pontban akár lokálisan, akár globáli-san telhetetlen lenne, mert a fogyasztási halmazok kompaktok, és egy kompakt halmaz felett a folytonos hasznossági függvény felveszi a ma-ximumát. Ebbol következoen az ilyen maximumpontokban a fogyasztó telített. Ugyanakkor, az X_i^R halmazok X_i^sz belsejében vannak, és az intT_e^sz∩N_i(x_i) halmaz nyílt. Innen alkalmazható a 2.D.9. Segédté-tel gondolatmenete.

A (xi) pont elso része a fogyasztók döntési szabályából — abból, hogy nem léphetik át költségvetési korlátjukat — triviálisan adódik. Ha z ∈ Z^sz(p)∩R^N₋, akkor tudjuk, hogy a túlkeresletet felépítoxi(p) fogyasz-tási vektorok szükségképpen releváns döntések. Az elobb belátott (viii) értelmében azx_i(p), i= 1,2, . . . , I,pontokban fennáll a lokális telhetet-lenség. A fogyasztók tehát elköltik jövedelmüket, így aWalras-törvény bizonyításában követett gondolatmenet itt is alkalmazható.

3.B.6. Megjegyzés. Vegyük észre, aze_sz ∈ E gazdaság nem A—D gaz-daság, annak ellenére, hogy egy ilyen e ∈ EA−D gazdaságból származ-tattuk. A fogyasztók ugyanis nem telhetetlenek. Szerencsére, ez a ké-sobbiekben semmiféle gondot nem okoz. Ugyanakkor nyilvánvalóan igaz azesz ∈ E^wtartalmazás.

3.B.3. Az e és az e

gazdaságok ekvivalenciája

Fontos kérdés, hogy vajon az eredeti és a szukített gazdaság milyen kap-csolatban van egymással az (általános) egyensúly szempontjából.

3.B.7. Deníció. Legyen e1 ∈ E^w és e2 ∈ E^w két versenyzoi gazda-ság, amelyekben N1 =N2, I1 =I2, valamintJ1 =J2. A két gazdaság egyensúlyilag ekvivalens, ha egyensúlyi állapotaik egybeesnek.

3.B.8. Tétel. Az e ∈ EA−D és az e_sz ∈ E^w gazdaságok egyensúlyilag ekvivalensek.

50 3. fejezet: Az egyensúly létezése

3.B.4. Deníció. Egye∈ EA−D gazdaságból származtatottesz szukí-tett gazdaságon a következot értjük:

esz=q

Vizsgáljuk meg, vajon ez a gazdaságA—D gazdaság,illetveversenyzoi gazdaság-e! Mik lesznek ennek aze_sz gazdaságnak a tulajdonságai?

3.B.5. Állítás. Azesz∈ E gazdaságban ahol Ni(xi)az xi pont tetszoleges nyílt környezete;

(ix) i= 1,2, . . . , I-re ∃b_i∈X_i^sz,amire b_i< ω_i;

Bl}rq|ðwäv. Eloször belátjuk, hogy ha egy (a^∗, p^∗)egyensúlyi állapot az e∈ EA−D gazdaságban, akkor a szukítettben is az. Aza^∗ allokáció egyensúlyi állapot része, ezért naturális egyensúlyban van. Így az ot alko-tó tevékenységek a szukített gazdaság tevékenységi halmazainak elemei.

Az(a^∗, p^∗)állapot tehát a szukített gazdaságban is naturális és szigorú értékegyensúlyban van. Csak azt kell belátnunk, az egyes szereplok opti-málisan cselekszenek. Azy^∗_j termelések optimálisak voltak ap^∗ árrend-szer mellett azY_j halmazokban∀j-re, ugyanakkorY_j^sz ⊂Y_j.Azy_j^∗ ter-melések tehát∀j-re szükségképpen optimálisak a szukített gazdaságban is, és ígyπ^sz_j (p^∗) =π_j(p^∗). Ebbol következoen∀i-re M_i^sz(p^∗) =M_i(p^∗) és ígyx^∗_i ∈B_i^sz(p^∗)⊆Bi(p^∗), amibol azx^∗_i fogyasztások szukített gaz-daságbeli optimalitása is adódik.

Legyen most (a^∗, p^∗) egyensúlyi állapot az esz ∈ E^w gazdaságban!

Az allokációt alkotó tevékenységek nyilván az eredeti tevékenységi hal-mazoknak is elemei, továbbá az allokáció naturális és a p^∗ árrendszer mellett szigorú értékegyensúlyban van. Elegendo tehát megmutatnunk, hogy ∀j-re y^∗_j ∈ Y_j(p^∗) és ∀i-re x^∗_i ∈ X_i(p^∗). Indirekt módon tegyük fel, hogy y^∗_j ∈/Y_j(p^∗). Ekkor létezik olyan y^�_j ∈ Y_j, amirep^∗y^�_j > p^∗y_j^∗. Ugyanakkor, mively^∗_j ∈intT_e^sz,ezért elég kicsi pozitívλ-ra

λy_j^� + (1−λ)y_j^∗=y^λ_j ∈Y_j^sz. Ez ellentmond azy_j^∗∈Y_j^sz(p^∗)tartalmazásnak, mert

p^∗y_j^λ> p^∗y_j^∗.

Ebbol az következik, hogy az eredeti gazdaságban minden termelo opti-mális protja ugyanakkora, mint a szukítettben. Most csak az maradt hátra, hogy a fogyasztókra vonatkozó optimalitást is belássuk. Vegyük észre, hogy ∀i-re a protok változatlansága miattx^∗_i ∈B_i(p^∗)!Tegyük fel, létezik olyan x^�_i ∈B_i(p^∗), amireU_i(x^�_i)> U_i(x^∗_i)! Hasonlóan, mint ahogy a termelore vonatkozó bizonyításban tettük, vegyük e két fogyasz-tási vektor

x^λ_i =λx^�_i+ (1−λ)x^∗_i

konvex kombinációját. Miutánx^∗_i ∈intT_e^sz,ezért elég kicsi pozitívλ-ra x^λ_i ∈ X_i^sz. Ez azonban az U_i^sz függvények folytonossága és félig szigo-rú kvázikonkavitása miatt ellentmond azx^∗_i ∈X_i^sz(p^∗)tartalmazásnak.

3.C. alfejezet: Pont—halmaz leképezések és döntési szabályok 53

Az egyensúly létezésének bizonyításában megtettünk egy kulcslépést.

Ezután már csak azt kell belátnunk, a szukített gazdaságban létezik egyensúly. Ez pedig már nem olyan meglepo, tekintve a szukített gaz-daság tevékenységi halmazainak nemüres, konvex, kompakt voltát.

3.B.9. Megjegyzés. A továbbiakban, annak érdekében, hogy a jelö-lésrendszert egyszerusítsük, az eredeti e∈ EA−D gazdaságra vonatkozó szimbólumokat használjuk a szukített gazdaságra is. Elhagyjuk tehát az utóbbira utaló felso indexeket. Ez — remélhetoleg — semmi problémát nem okoz.

3.C. Pont—halmaz leképezések és döntési sza-bályok

3.C.1. Alapfogalmak, tételek

Ebben az alfejezetben röviden összefoglaljuk azokat a deníciókat és té-teleket, amelyekre az egyensúly létezésének szempontjából szükségünk lesz. Miután ezek a fogalmak minket e helyütt kizárólag e szempont-ból érdekelnek, ezért a közgazdasági szakirodalomban általában szereplo alakjukat adjuk meg, nem törekszünk a teljes általánosságra. Egy alap-veto állítás kivételével a bizonyításokat is megadjuk. A tárgyalásmód igen száraz, az értelmezo megjegyzésektol mentes lesz. Eloször a meg-szokott függvényfogalom általánosításával foglalkozunk.

3.C.1. Deníció (Pont—halmaz leképezések). LegyenS ésT azN dimenziós euklideszi tér két nemüres részhalmaza, azaz S, T ⊂R^N. A Φpont—halmaz (halmazértéku) leképezés, haSminden pontjáhozT egy nemüres részhalmazátrendeli. Ezt többféleképpen jelölhetjük:

Φ :S→2^T^\∅, vagy Φ :S⇒T, vagy Φ (s)⊂T,∀s∈S.

EgyΦpont—halmaz leképezésGgráfjaazS×Tszorzathalmaz egy olyan részhalmaza, amire

G(Φ) ={(s, t)∈S×T|t∈Φ (s)}.

A Φ pont—halmaz leképezés konvex értéku, ha ∀s ∈ S-re Φ(s) konvex halmaz.

52 3. fejezet: Az egyensúly létezése

Az(a^∗, p^∗)állapot tehát a szukített gazdaságban is naturális és szigorú értékegyensúlyban van. Csak azt kell belátnunk, az egyes szereplok opti-málisan cselekszenek. Azy_j^∗ termelések optimálisak voltak ap^∗ árrend-szer mellett azY_j halmazokban∀j-re, ugyanakkorY_j^sz ⊂Y_j.Azy_j^∗ ter-melések tehát∀j-re szükségképpen optimálisak a szukített gazdaságban is, és ígyπ^sz_j (p^∗) =π_j(p^∗). Ebbol következoen∀i-re M_i^sz(p^∗) =M_i(p^∗) és ígyx^∗_i ∈B_i^sz(p^∗)⊆Bi(p^∗), amibol azx^∗_i fogyasztások szukített gaz-daságbeli optimalitása is adódik.

Legyen most (a^∗, p^∗) egyensúlyi állapot az esz ∈ E^w gazdaságban!

x^λ_i =λx^�_i+ (1−λ)x^∗_i

konvex kombinációját. Miutánx^∗_i ∈intT_e^sz,ezért elég kicsi pozitívλ-ra x^λ_i ∈X_i^sz. Ez azonban az U_i^sz függvények folytonossága és félig szigo-rú kvázikonkavitása miatt ellentmond azx^∗_i ∈X_i^sz(p^∗)tartalmazásnak.

3.C.2. Deníció (Folytonosság). AΦpont—halmaz leképezés egys^◦∈ S pontbanfelülrol félig folytonos (f.f.f.), ha egy tetszoleges, azs^◦ pont-hozhoz konvergáló s^q ∈ S, q = 1,2, . . . sorozatra és egy olyan, a t^◦ ponthoz konvergálót^q∈T, q= 1,2, . . .sorozatra, amikret^q∈Φ (s^q),a t^◦∈Φ (s^◦)tartalmazás következik, azaz:

[s^q→s^◦, t^q→t^◦, t^q∈Φ (s^q)] =⇒[t^◦∈Φ (s^◦)].

AΦpont—halmaz leképezésfelülrol félig folytonos,haSminden pontjá-ban az.

A Φ pont—halmaz leképezés egy s^◦ ∈ S pontban alulról félig folytonos (a.f.f.),ha egy tetszoleges, azs^◦ponthoz konvergáló s^q∈S, q= 1,2, . . . sorozatra és egyt^◦∈Φ (s^◦)pontra létezik egy, at^◦-hoz konvergáló t^q∈ Φ (s^q), q= 1,2, . . .sorozat, azaz:

[s^q→s^◦, t^◦∈Φ (s^◦) ] =⇒[∃t^q→t^◦, t^q∈Φ (s^q)].

AΦpont—halmaz leképezés alulról félig folytonos,haS minden pontjá-ban az.

A Φ pont—halmaz leképezés egy s^◦ ∈ S pontban folytonos, ha ugyan-itt egyszerre f.f.f. és a.f.f, és értelemszeruen folytonos, ha S minden pontjában az.

3.C.3. Megjegyzés. A deníciókból látható (vagy ha nem, triviálisan bizonyítható), hogy egy Φ pont—halmaz leképezés akkor és csak akkor f.f.f., ha gráfja zárt.

3.C.4. Megjegyzés. HaT korlátos, akkor a hagyományos függvények folytonossága a pont—pont leképezésekre vonatkozó alulról, illetve felülrol félig folytonossággal egyaránt ekvivalens. Itt kell felhívnunk a gyelmet arra, hogy a hagyományos függvényekre vonatkozóalulról és felülrol félig folytonosságmás fogalom. Ezért az utóbbiakat egy kicsit más névvel il-letjük. Egyϕvalós függvény azs^◦pontbanlentrol félig folytonos (l.f.f.), ha minden ε >0számhoz ∃ olyanU(s^◦)környezet, hogy az s∈ U(s^◦) tartalmazásból aϕ(s)ϕ(s^◦)−εreláció következik. Aϕfüggvényl.f.f., ha értelmezési tartományának minden pontjában az. Ugyanakkor egyϕ valós függvény azs^◦pontbanfentrol félig folytonos (f_p.f.f.)²¹, ha minden ε > 0 számhoz ∃ olyan U(s^◦) környezet, hogy az s ∈ U(s^◦) tartalma-zásból a ϕ(s) _ϕ(s^◦) +ε reláció következik. A ϕ függvény f_p.f.f., ha értelmezési tartományának minden pontjában az.

21Apalsó index a pont—pont leképezésre utal.

3.C. alfejezet: Pont—halmaz leképezések és döntési szabályok 55

A következo két, könnyen igazolható állítás a f.f.f. pont—halmaz le-képezésekre vonatkozik.

3.C.5. Állítás. LegyenΦ :S⇒T₁ésΨ :S⇒T₂kétf.f.f. pont—halmaz leképezés, valamint legyenT₁ ésT₂ korlátos. Ekkor a

(Φ×Ψ) (s) = Φ(s)×Ψ(s), (Φ + Ψ) (s) = Φ(s) + Ψ(s) szorzat-, illetve összegleképezések isf.f.f.-ak.

Bl}rq|ðwäv. Triviális, a deníciók közvetlen folyománya.

A következo fogalom és állítás annyira fontos, hogy külön megadjuk a pont—pont leképezésekre vonatkozó alakját is.²²

3.C.6. Deníció. Legyen f : S → S egy pont—pont leképezés (függ-vény). Az s^∗ ∈ S pontot az f leképezés xpontjának mondjuk, ha f(s^∗) =s^∗.

3.C.7. Tétel (Brouwer). Legyen S ⊂ R^N nemüres, zárt, korlátos, konvex részhalmaza ésf :S→S függvény folytonos. Ekkor azf függ-vénynek létezik xpontja, azaz∃s^∗∈S,amiref(s^∗) =s^∗.

3.C.8. Deníció. Legyen Φ :S ⇒ S egy pont—halmaz leképezés. Az s^∗∈S pontot azΦleképezés xpontjának mondjuk, has^∗∈Φ(s^∗).

A következo tétel, amiBrouwerállításának általánosítása pont—halmaz leképezésekre, dönto szerepet játszott az általános egyensúlyelméleti (és játékelméleti) bizonyításokban.²³

3.C.9. Tétel (Kakutani). LegyenS ⊂R^N nemüres, zárt, korlátos és konvex, valamint legyen Φ : S ⇒ S egy f.f.f., konvexértéku pont—hal-maz leképezés. Ekkor Φ-nek létezik xpontja, azaz ∃s^∗ ∈ S, amire s^∗∈Φ (s^∗).

A következo tételt is többször használjuk majd a késobbiek során, jelentosége ennek is alapveto.²⁴

22Ezt az állítást e helyütt nem bizonyítjuk.

23Kakutani(1941).

24Berge(1963).

54 3. fejezet: Az egyensúly létezése

[s^q→s^◦, t^q→t^◦, t^q∈Φ (s^q)] =⇒[t^◦∈Φ (s^◦)].

AΦpont—halmaz leképezésfelülrol félig folytonos,haSminden pontjá-ban az.

A Φ pont—halmaz leképezés egy s^◦ ∈ S pontbanalulról félig folytonos (a.f.f.),ha egy tetszoleges, azs^◦ponthoz konvergáló s^q∈S, q= 1,2, . . . sorozatra és egyt^◦∈Φ (s^◦)pontra létezik egy, at^◦-hoz konvergáló t^q∈ Φ (s^q), q= 1,2, . . .sorozat, azaz:

[s^q→s^◦, t^◦∈Φ (s^◦) ] =⇒[∃t^q→t^◦, t^q∈Φ (s^q)].

AΦpont—halmaz leképezés alulról félig folytonos,haS minden pontjá-ban az.

A Φ pont—halmaz leképezés egy s^◦ ∈ S pontban folytonos, ha ugyan-itt egyszerre f.f.f. és a.f.f, és értelemszeruen folytonos, ha S minden pontjában az.

3.C.3. Megjegyzés. A deníciókból látható (vagy ha nem, triviálisan bizonyítható), hogy egy Φ pont—halmaz leképezés akkor és csak akkor f.f.f., ha gráfja zárt.

3.C.4. Megjegyzés. HaT korlátos, akkor a hagyományos függvények folytonossága a pont—pont leképezésekre vonatkozó alulról, illetve felülrol félig folytonossággal egyaránt ekvivalens. Itt kell felhívnunk a gyelmet arra, hogy a hagyományos függvényekre vonatkozóalulról és felülrol félig folytonosságmás fogalom. Ezért az utóbbiakat egy kicsit más névvel il-letjük. Egyϕvalós függvény azs^◦pontbanlentrol félig folytonos (l.f.f.), ha mindenε > 0számhoz ∃ olyanU(s^◦)környezet, hogy az s∈ U(s^◦) tartalmazásból aϕ(s)ϕ(s^◦)−εreláció következik. Aϕfüggvényl.f.f., ha értelmezési tartományának minden pontjában az. Ugyanakkor egyϕ valós függvény azs^◦pontbanfentrol félig folytonos (f_p.f.f.)²¹, ha minden ε > 0 számhoz ∃ olyan U(s^◦) környezet, hogy az s ∈ U(s^◦) tartalma-zásból a ϕ(s) _ϕ(s^◦) +ε reláció következik. A ϕfüggvény f_p.f.f., ha értelmezési tartományának minden pontjában az.

21Apalsó index a pont—pont leképezésre utal.

3.C.10. Tétel (Berge). LegyenS ⊂R^N, valamintT ⊂R^N korlátos, valamintΦ : S ⇒T folytonos. Legyen f : S×T → Rfolytonos valós függvény. Deniáljuk aµ:S⇒T pont—halmaz leképezést a

µ(s) =

t∈Φ (s)

f(s, t) = max

v∈Φ(s)f(s, v)

valamint aφ:S →Rfüggvényt a φ(s) = max

t∈Φ(s)f(s, t)

szabállyal. Ekkor aµpont—halmaz leképezés felülrol félig folytonos, aφ

In document Rövid bevezetés az általános egyensúly elméletébe (Pldal 45-63)