Arra kerestem a választ, hogy az időseknek nyújtott lakásért járadék konstrukciók előnyössége igazolható-e egy hasznos-ságelméleti modellel. További kérdésként merült fel, hogy a döntéshozónak milyen termék választása optimális és mi-kor érdemes ezt a terméket megvásárolni az életpályája során.
Mindezeken túlmenően érzékenységvizsgálatot is végeztem annak megállapítására, hogy a lehetőségek preferencia-sor-rendje hogyan reagál a bemenő paraméterek változására.
Modellemben egy szolgáltató kétféle lakásért járadék ter-mék értékesítését végzi. Az első terter-mék a lakás tulajdonjogát egy egyösszegű kifizetésre, a második életjáradékra váltja.
A szolgáltató csődjének valószínűsége nulla (a kifizetéseket várhatóan maradéktalanul ki tudja elégíteni).
2012 decemberétől az Európai Unióban a biztosítási díjkal-kulációban is tilos a nemek szerinti diszkrimináció. A
modell-beli szolgáltató ennek megfelelően nemtől független, uniszex halandósági táblából indul ki a szolgáltatás összegének kalku-lációja során (a halandósági táblák forrása: KSH, 2007), továbbá egységesen 65 éves minimum belépési korhatárt szab meg.
A modellem egy reálmodell, vagyis mivel minden jöve-delem és kiadás (nyugdíjak és a lakásért kapott életjáradék, ingatlan értéke, fogyasztási javak) inflációja azonos, áruk azo-nos mértékben növekszik, így ennek hatásától eltekinthetünk és elég a befektetéseken elérhető reálhozamot figyelembe venni. (Az infláció ezért sem modellparaméter, mivel model-lemben a döntéshozó optimalizálására semmilyen hatással nincs.) A reálkamatlábról felteszem, hogy a vizsgált időszak alatt konstans és ismert, eszerint kamatoznak a döntéshozó megtakarításai és ezzel diszkontál a biztosító is (ez az elvárt hozam). A modell összes pénzben mért változója reálértéken szerepel, millió forintban.
A modellben egy 65 éves döntéshozónak kell optimalizál-nia fogyasztását és halála esetén örökül hagyott vagyonát.
További feltevések az alapmodellben: a döntéshozó nő (tehát a női halálozási valószínűségeknek megfelelően kalkulál), hasznosságát pedig egyedül optimalizálja, ezen csak örök-hagyási motivációja mutat túl. Emellett ismert a maximá-lisan elérhető életkor is, ezt 100 évnek tekintem (a 100. évét megélő személy is meghal legkésőbb a 101. születésnapjáig).
A nyugdíjas rendelkezik fix jövedelemmel (nyugdíj), amelyet kiegészíthet a lakásért járadék termékből származó bevétellel.
Hitelt nem vehet fel (vagyis nem lehet negatív megtakarítása egyik időszakban sem).
A döntéshozó nyugdíjas a következő hasznossági függ-vényét optimalizálja. A hasznossági függvényem Fratantoni (1999) és Ágoston (2008) hasonló problémát vizsgáló modelljei-nek vonatkozó összefüggésén alapul.
(1) ρ β
ahol Ct a t időszakbeli fogyasztás, Dt a t időszakbeli örökölhe-tő vagyon, Pt a t időszak megélésének valószínűsége, Qt pe-dig annak esélye, hogy az adott személy épp a t időszakban hal meg*, b a kockázatkerülési, r pedig az örökhagyási pa-raméter. (A b-t Ágoston [2008] a nemzetközi szakirodalomra hivatkozva 1 és 2 közöttinek tekinti, amit én is irányadónak vettem. A paraméter nagyobb értéke nagyobb mértékű kocká-zatkerülést, nagyobb „simítási motivációt” feltételez. Míg az r paraméter értéke az örökhagyásos modellekben 1, az örök-hagyás nélküliekben 0.) Röviden összefoglalva: a fogyasztók a fogyasztástól függő tagot az adott periódus megélésének, az örökhagyásuktól függőt pedig az adott periódusban történő elhalálozásuk valószínűségével súlyozzák.
A lakásért járadék termékekkel elérhető kifizetést a követ-kezőképpen modelleztem. Az L értékű lakásért a t időszakban kapható egyszeri és élethosszig tartó kifizetések értéke:
(2) t i
* Ezek a valószínűségek az úgynevezett halandósági táblákból számíthatók.
Feltevésem szerint a döntéshozók a nemüknek megfelelő kihalási rendet isme-rik, és ennek megfelelően optimalizálnak, szemben a szolgáltatóval, akinek a
„genderdirektíva” miatt kötelező uniszex adatokkal dolgozni.
(3)
∑
ahol π az úgynevezett loading (szolgáltatási díj)* értéke. Az egyszerű szolgáltatásmodellben a szolgáltató az egyszeri ki-fizetésért fix (reál)értékű ingatlant kap, ezt csak a vásárló vár-ható halálozásának megfelelően az elvárt hozammal jelenér-tékre kell hoznia. Ezzel szemben járadéknál a kiadási oldal is bizonytalan, azokat a túlélési valószínűségeknek és az elvárt hozamnak megfelelően diszkontálni kell.** Logikus a feltéte-lezés, hogy ez utóbbi esetben a biztosító a nagyobb kockázat miatt nagyobb loadingot is alkalmaz.
A fogyasztó döntési lehetőségeit meghatározó költségveté-si korlát a következő:
(4) Xt+1=(Xt+Y−Ct+Bt)⋅(1+r),
ahol Xt a t-edik periódus eleji megtakarítás, Y az állandó jöve-delem (éves nyugdíj), Bt a lakásért járadék termékből a t-edik időszakban származó jövedelem, r pedig a piaci, inflációtól
* A loading a nettó díjon felüli, a nettó díjjal arányos szolgáltatási díj. Ez a mo-dellemben már a biztosító profitját és a kockázati prémiumot is tartalmazza, és minden belépési kor esetén azonos. A termékekre 0 százalékos loading esetén teljesül az ekvivalencia elve, vagyis a kiadások jelenértékének várható értéke megegyezik a bevételek jelenértékének várható értékével, mely a hagyomá-nyos életbiztosítás nettó díja kiszámításának egyik alapösszefüggése (Banyár, 2003). A két termékre a szolgáltató akár különböző mértékű loadingot is meg-határozhat.
P , vagyis a (3) járadékképlet törtjének nevezője a várhatóan kifi-zetendő éves életjáradéktagok diszkontált száma.
megtisztított (reál-) effektív hozam. Kiegészítő feltételek, hogy a döntéshozónak minden időszakban pozitív mennyiséget kell fogyasztania, és megtakarítása sem lehet negatív, azaz Ct > 0 és Xt+1 ≥ 0, t =65, …, 100.
Az örökhagyás képlete Dt = L + Xt+1, ha még nem vásárolt és Dt = + Xt+1, ha már vásárolt lakásért járadék terméket. A költ-ségvetési korlát a következő implicit feltevéseket tartalmazza:
(1) A döntéshozó minden megélt periódus (év) elején meg-kapja az összes jövedelmét és azonnal fel is használja a fo-gyasztásra költött részt, az el nem költött pénze (megtakarítá-sa) pedig az időszak végéig kamatozik.
(2) Amennyiben az egyén az adott periódusban meghal, akkor az örökösök az időszak végén kapják meg az így fel-kamatoztatott megtakarításokat és (amennyiben nem váltotta be lakásért járadék termékre) a lakást, a szolgáltató az azonos okból megüresedett lakáshoz szintén az időszak végén juthat hozzá.