3. Eredm´ enyek ´ altal´ anos v´ egesen gener´ alt tartom´ anyok felett 24
3.4. Div´ızi´ opontok g¨ orb´ eken v´ egesen gener´ alt tartom´ anyok felett
y0 reprezent´aci´oi, melyekre
s(˜x), s(˜y), s(˜x0), s(˜y0)≤exp
(2d)expO(r)(2N)(log∗N)·expO(r)·(h+ 1)3 . (3.16) Megjegyezz¨uk, hogy a fenti eredm´eny effekt´ıv abban az ´ertelemben, hogy elm´eletileg elj´ar´ast biztos´ıt a (3.15) halmaz ¨osszes elem´enek meghat´aroz´as´ahoz. Val´oban, csak v´eges sok olyanZ[X1, . . . , Xr]-beli polinom van, melynek m´erete a (3.16) korl´at alatt van, ´es ezek effekt´ıv m´odon felsorolhat´ok. Tov´abb´a, (x, y)∈ C akkor ´es csakis akkor teljes¨ul, ha l´eteznek olyan ˜x,y,˜ x˜0,y˜0 ∈Z[X1, . . . , Xr] polinomok, melyeknek m´erete a (3.16) korl´at alatt van, ´es amelyekre
˜
x·x˜0−1, y˜·y˜0−1, F˜(˜x,y)˜ ∈ I. (3.17) Teh´at csak annyit kell tenn¨unk, hogy felsoroljuk az ¨osszes olyan (˜x,y,˜ x˜0,y˜0) polinom n´egyest melyre s(˜x), s(˜y), s(˜x0), s(˜y0) kisebb a t´etelbeli korl´atn´al, ´es ellen˝orizz¨uk, hogy (3.17) tel-jes¨ul-e. V´eg¨ul csoportos´ıtanunk kell az ¨osszes olyan n´egyest melyben (˜x, ˜y) ugyanazt az (x, y)∈(A∗)2 p´art reprezent´alja ´es minden csoportb´ol kivesz¨unk egy elemet. ´Igy egy olyan list´at kapunk, mely a (3.15) halmaz minden elem´ere pontosan egy reprezent´aci´ot tartalmaz.
3.4. Div´ızi´ opontok g¨ orb´ eken v´ egesen gener´ alt tarto-m´ anyok felett
Legyen ism´et A := Z[z1, . . . , zr] ⊃ Z egy v´egesen gener´alt tartom´any ´es jel¨olje K az A h´anyadostest´et, K∗ pedig K nem-nulla elemeinek multiplikat´ıv csoportj´at. Jel¨olje K a K algebrai lez´artj´at, ´es K∗ a K egys´egcsoportj´at. Legyen Γ a K∗ egy v´egesen gener´alt r´eszcsoportja ´es legyen F(X, Y)∈A[X, Y] egy polinom. 1960-ban Lang [39] bel´atta, hogy az (3.11) egyenletn´el ´altal´anosabb
F(x, y) = 0 x, y ∈Γ ismeretlenek (3.18)
egyenletnek csak v´eges sok megold´asa van, felt´eve, hogy F nem oszthat´o egyetlen
XmYn−α vagy Xm−αYn (3.19)
alak´u polinommal sem, ahol m, n nem-negat´ıv eg´eszek, melyek nem mindegyike nulla,
´
es α ∈ Γ. Lang bizony´ıt´asa ugyanakkor ineffekt´ıv volt. B´erczes [7] (ez egyben a jelen disszert´aci´o 3.5. T´etele is) a teljesen ´altal´anos esetben, v´egesen gener´alt tartom´anyok fe-lett igazolta Lang eredm´eny´enek egy effekt´ıv v´altozat´at. Megjegyezz¨uk, hogy az effekt´ıv eredm´enyek enyh´en szigor´ubb felt´etel mellett ker¨ultek igazol´asra mint Lang eredm´enye.
Nevezetesen a (3.19) felt´etelben az effekt´ıv esetben α∈Γ helyettα ∈K∗ szerepel.
Jel¨olje Γ a Γ div´ızi´ocsoportj´at, azaz a Γ := n
x∈K∗ | ∃m ∈N, xm ∈Γo
´
altal defini´alt csoportot. Lang ([41], [42], ld. m´eg [43]) azt sejtette, hogy a fenti egyenletnek csak v´eges sok x, y ∈ Γ megold´asa van ugyanazon (3.19) felt´etel mellett, de most α ∈ Γ
´
ert´ekeket megengedve. Liardet [46], [47] dolgozataiban igazolta Lang sejt´es´et, de eredm´enye ineffekt´ıv volt.
A sz´amtest esetben Liardet t´etel´enek egy effekt´ıv verzi´oj´at B´erczes, Evertse, Gy˝ory ´es Pontreau [10] bizony´ıtott´ak (ld. egy´uttal jelen disszert´aci´o 2.8. T´etel´et).
Ebben az alfejezetben Liardet t´etel´enek effekt´ıv v´altozat´at ismertetem a teljesen ´ alta-l´anos esetben. Ez Liardet t´etel´enek az els˝o effekt´ıv v´altozata ebben az ´altal´anoss´agban.
Az eredm´eny a [6] egyszerz˝os dolgozatomban ker¨ult bizony´ıt´asra.
Az eredm´eny¨unk nem csak effekt´ıv, hanem kvantitat´ıv is abban az ´ertelemben, hogy explicit fels˝o korl´atot is ad az x, y ∈ Γ megold´asok m´eret´ere. A bemutatott eredm´eny k¨oz¨os ´altal´anos´ıt´asa Bombieri ´es Gubler [16, p. 147, Theorem 5.4.5], B´erczes, Evertse, Gy˝ory ´es Pontreau [10] (ld. jelen disszert´aci´o 2.7. T´etele) valamint B´erczes [7] (ld. je-len disszert´aci´o 3.5. T´etele) eredm´enyeinek. Tov´abb´a, az ismertetett eredm´eny szint´en
´
altal´anos´ıt´asa B´erczes, Evertse ´es Gy˝ory [8] (ld. jelen disszert´aci´o 2.3. K¨ovetkezm´enye) valamint Evertse ´es Gy˝ory [27] egys´egegyenletekre vonatkoz´o eredm´enyeinek.
A bizony´ıt´as f˝o eszk¨oze Gy˝ory (ld. [34], [35]) egy az 1980-as ´evekben bevezetett effekt´ıv specializ´aci´os m´odszere, pontosabban annak Evertse ´es Gy˝ory [27] ´altal 2013-ban finom´ıtott v´altozata. A bizony´ıt´as f˝o neh´ezs´ege, hogy egyr´eszt nem csak a megold´asok magass´ag´at, de a K feletti foksz´am´at is becs¨uln¨unk kell, m´asr´eszt Γ elemeire nem ´all rendelkez´es¨unkre semmilyen k´ezenfekv˝o reprezent´aci´o. Kiemelend˝o m´eg, hogy az irodalomban ez az els˝o effekt´ıv v´egess´egi eredm´eny egy tetsz˝oleges v´egesen gener´alt csoport div´ızi´ocsoportja feletti diofantikus egyenlet megold´asaira.
Legyen A:=Z[z1, . . . , zr] egy v´egesen gener´alt tartom´any, amint azt a 3.1 alfejezetben defini´altuk, ´es jel¨oljeK azAh´anyadostest´et. Legyenekγ1, . . . , γs∈K∗ aK test tetsz˝oleges nem-nulla elemei, alkalmas (g1, h1), . . . ,(gs, hs) reprezent´ans p´arok seg´ıts´eg´evel megadva.
Defini´aljuk a
Γ :=
γ1l1. . . γsls | l1, . . . , ls∈Z (3.20) v´egesen gener´alt csoportot ´es annak
Γ :=
δ ∈K | ∃m ∈Z>0 : δm ∈Γ (3.21)
div´ızi´ocsoportj´at.
Legyen I ⊂ Z2≥0 egy nem-¨ures halmaz, ´es F(X, Y) = P
(i,j)∈IaijXiYj ∈ A[X, Y] egy polinom amelyik teljes´ıti az al´abbi felt´etelt:
F nem oszthat´o egyetlen
XmYn−α vagy Xm−αYnalak´u nem-konstans polinommal sem ahol m, n∈Z≥0 ´es α∈K∗.
(3.22)
Megjegyezz¨uk, hogy minden olyan polinom eset´en amely nem teljes´ıti a (3.22) felt´etelt, megadhat´o egy olyan Γ v´egesen gener´alt csoport, melyre a (3.18) egyenletnek v´egtelen sok megold´asa van. Megjegyezz¨uk tov´abb´a, hogy ez a tulajdons´ag effekt´ıv m´odon eld¨onthet˝o, amint az szerepel a disszert´aci´o 8. fejezet´eben (ld. m´eg [7]). Legyen N := degF az F teljes foksz´ama, ´es tegy¨uk fel, hogy F az aij ((i, j) ∈ I) egy¨utthat´oinak alkalmas ˜aij reprezent´ansai ´altal van megadva.
Tegy¨uk fel tov´abb´a, hogy
( degf1, . . . ,degft,degg1, . . . ,deggs,degh1, . . . ,deghs,deg ˜aij ≤d
h(f1), . . . , h(ft), h(g1), . . . , h(gs), h(h1), . . . , h(hs), h(˜aij)≤h, (3.23) ahol (i, j)∈I ´esd >1, h >1 val´os sz´amok.
3.6. T´etel. (B´erczes [6]) Legyen A egy v´egesen gener´alt tartom´any mint fent, ´es Γ az im´ent defini´alt div´ızi´ocsoport. LegyenF(X, Y)∈A[X, Y]egy polinom, amelyik teljes´ıti a (3.22) felt´etelt. Defini´aljuk a
C :={(x, y)∈(Γ)2|F(x, y) = 0} (3.24) halmazt.
(i)Ekkor l´etezik olyan m pozit´ıv eg´esz, melyre m ≤exp
N6(2d)exp{C3(r+s)}(h+ 1)4s (3.25)
ahol C3 egy alkalmas, effekt´ıv m´odon kisz´am´ıthat´o konstans, ´ugy, hogy erre az m´ert´ekre xm ∈Γ ´es ym ∈Γ, minden (x, y)∈ C eset´en.
(ii)Pontosabban, l´etezik egy olyanC4effekt´ıv m´odon kisz´am´ıthat´o abszol´ut konstans, hogy minden(x, y)∈ C eset´en l´eteznek olyan t1,x, . . . , ts,x, t1,y, . . . , ts,y eg´eszek, melyekre
ti,x, ti,y ≤exp exp
N12(2d)exp{C4(r+s)}(h+ 1)8s
(3.26) mindeni= 1, . . . , s, ´ert´ekre, ´es
xm =γ1t1,x. . . γsts,x, ym =γ1t1,y. . . γsts,y. (3.27)
Irodalomjegyz´ ek
[1] M. Aschenbrenner, Ideal membership in polynomial rings over the integers, J.
Amer. Math. Soc.,17 (2004), 407–442.
[2] A. Baker, Contributions to the theory of Diophantine equations I. On the repres-entation of integers by binary forms, Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A, 263 (1967/68), 173–191.
[3] A. Baker, Bounds for the solutions of the hyperelliptic equation, Proc. Cambridge Philos. Soc., 65 (1969), 439–444.
[4] A. Baker,Transcendental number theory, Cambridge University Press, London-New York, 1975.
[5] A. Bakerand G. W¨ustholz,Logarithmic forms and Diophantine geometry, vol. 9 of New Mathematical Monographs, Cambridge University Press, Cambridge, 2007.
[6] A. B´erczes, Effective results for division points on curves inG2m,J. Th´eor. Nombres Bordeaux,27 (2015), 405–437.
[7] A. B´erczes, Effective results for unit points on curves over finitely generated doma-ins, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc.,158 (2015), 331–353.
[8] A. B´erczes,J.-H. EvertseandK. Gy˝ory, Effective results for linear equations in two unknowns from a multiplicative division group,Acta Arith.,136(2009), 331–349.
[9] A. B´erczes,J.-H. EvertseandK. Gy˝ory, Effective results for Diophantine equa-tions over finitely generated domains, Acta Arith.,163 (2014), 71–100.
[10] A. B´erczes, J.-H. Evertse, K. Gy˝ory and C. Pontreau, Effective results for points on certain subvarieties of tori, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., 147 (2009), 69–94.
[11] F. Beukers and H. P. Schlickewei, The equation x+y= 1 in finitely generated groups, Acta Arith., 78 (1996), 189–199.
[12] F. Beukers and D. Zagier, Lower bounds of heights of points on hypersurfaces, Acta Arith., 79 (1997), 103–111.
[13] E. Bombieri, Effective Diophantine approximation onGm,Ann. Scuola Norm. Sup.
Pisa Cl. Sci. (4), 20 (1993), 61–89.
[14] E. Bombieri and P. B. Cohen, Effective Diophantine approximation on GM. II, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4),24 (1997), 205–225.
[15] E. Bombieri and P. B. Cohen, An elementary approach to effective Diophantine approximation on Gm, in: Number theory and algebraic geometry, Cambridge Univ.
Press, Cambridge, 2003, pp. 41–62.
[16] E. Bombieri and W. Gubler, Heights in Diophantine geometry, Cambridge Uni-versity Press, Cambridge, 2006.
[17] E. Bombieri and U. Zannier, Algebraic points on subvarieties of Gnm, Internat.
Math. Res. Notices, (1995), 333–347.
[18] B. Brindza, OnS-integral solutions of the equationym =f(x),Acta Math. Hungar., 44 (1984), 133–139.
[19] B. Brindza, On the equationf(x) = ym over finitely generated domains,Acta Math.
Hungar., 53 (1989), 377–383.
[20] B. Brindza, The Catalan equation over finitely generated integral domains, Publ.
Math. Debrecen,42 (1993), 193–198.
[21] B. Brindzaand A. Pint´´ er, On equal values of binary forms over finitely generated fields, Publ. Math. Debrecen, 46 (1995), 339–347.
[22] Y. Bugeaud, Bornes effectives pour les solutions des ´equations en S-unit´es et des
´
equations de Thue-Mahler, J. Number Theory, 71 (1998), 227–244.
[23] Y. BugeaudandK. Gy˝ory, Bounds for the solutions of unit equations,Acta Arith., 74 (1996), 67–80.
[24] J. Coates, An effective p-adic analogue of a theorem of Thue, Acta Arith., 15 (1968/69), 279–305.
[25] J.-H. Evertse, Points on subvarieties of tori, in: A panorama of number theory or the view from Baker’s garden (Z¨urich, 1999), Cambridge Univ. Press, 2002, pp.
214–230.
[26] J.-H. Evertse and K. Gy˝ory, Discriminant Equations in Diophantine Number Theory, Cambridge University Press, to appear.
[27] J.-H. Evertse and K. Gy˝ory, Effective results for unit equations over finitely generated integral domains, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 154 (2013), 351–380.
[28] J.-H. Evertse and K. Gy˝ory, Unit Equation in Diophantine Number Theory, Cambridge University Press, 2015.
[29] J.-H. Evertse, H. P. Schlickewei and W. M. Schmidt, Linear equations in variables which lie in a multiplicative group,Ann. of Math. (2), 155(2002), 807–836.
[30] K. Gy˝ory, Sur l’irr´eductibilit´e d’une classe des polynˆomes. II,Publ. Math. Debrecen, 19 (1972), 293–326.
[31] K. Gy˝ory, Sur les polynˆomes `a coefficients entiers et de dicriminant donn´e II,Publ.
Math. Debrecen,21 (1974), 125–144.
[32] K. Gy˝ory, On the number of solutions of linear equations in units of an algebraic number field, Comment. Math. Helv.,54 (1979), 583–600.
[33] K. Gy˝ory, R´esultats effectifs sur la repr´esentation des entiers par des formes d´ e-composables, Queen’s Papers in Pure and Applied Math., No. 56, Kingston, Canada, 1980.
[34] K. Gy˝ory, Bounds for the solutions of norm form, discriminant form and index form equations in finitely generated integral domains, Acta Math. Hungar., 42 (1983), 45–
80.
[35] K. Gy˝ory, Effective finiteness theorems for polynomials with given discriminant and integral elements with given discriminant over finitely generated domains, J. Reine Angew. Math., 346 (1984), 54–100.
[36] K. Gy˝ory, Discriminant form and index form equations, in: Algebraic Number The-ory and Diophantine Analysis, Walter de Gruyter, Berlin – New York, 2000, pp.
191–214.
[37] K. Gy˝oryandK. Yu, Bounds for the solutions ofS-unit equations and decomposable form equations, Acta Arith., 123 (2006), 9–41.
[38] G. Hermann, Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale, Math. Ann., 95 (1926), 736–788.
[39] S. Lang, Integral points on curves, Inst. Hautes ´Etudes Sci. Publ. Math., (1960), 27–43.
[40] S. Lang, Diophantine geometry, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathema-tics, No. 11, Interscience Publishers (a division of John Wiley & Sons), New York-London, 1962.
[41] S. Lang, Division points on curves, Ann. Mat. Pura Appl. (4),70 (1965), 229–234.
[42] S. Lang, Report on diophantine approximations,Bull. Soc. Math. France,93(1965), 177–192.
[43] S. Lang, Fundamentals of Diophantine geometry, Springer-Verlag, New York, 1983.
[44] M. Laurent, Equations diophantiennes exponentielles, Invent. Math., 78 (1984), 299–327.
[45] W. LeVeque, On the equation ym =f(x),Acta Arith., 9 (1964), 209–219.
[46] P. Liardet, Sur une conjecture de Serge Lang, C. R. Acad. Sci. Paris S´er. A, 279 (1974), 435–437.
[47] P. Liardet, Sur une conjecture de Serge Lang, in: Journ´ees Arithm´etiques de Bor-deaux (Conf., Univ. BorBor-deaux, BorBor-deaux, 1974), Soc. Math. France, Paris, 1975, pp.
187–210. Ast´erisque, Nos. 24–25.
[48] K. Mahler, Zur Approximation algebraischer Zahlen. I, Math. Ann., 107 (1933), 691–730.
[49] R. C. Mason, Diophantine equations over function fields, Cambridge University Press, 1984.
[50] C. J. Parry, The p-adic generalisation of the Thue-Siegel theorem, Acta Math., 83 (1950), 1–100.
[51] C. Pontreau, A Mordell-Lang plus Bogomolov type result for curves in G2m, Mo-natsh. Math., 157 (2009), 267–281.
[52] B. Poonen, Mordell-Lang plus Bogomolov, Invent. Math.,137 (1999), 413–425.
[53] G. R´emond, D´ecompte dans une conjecture de Lang, Invent. Math., 142 (2000), 513–545.
[54] G. R´emond, Sur les sous-vari´et´es des tores, Compositio Math.,134 (2002), 337–366.
[55] G. R´emond, Approximation diophantienne sur les vari´et´es semi-ab´eliennes,Ann. Sci.
Ecole Norm. Sup. (4),´ 36 (2003), 191–212.
[56] A. SchinzelandR. Tijdeman, On the equationym =P(x),Acta Arith.,31(1976), 199–204.
[57] W. M. Schmidt, Heights of points on subvarieties ofGnm, in: Number theory (Paris, 1993–1994), Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1996, vol. 235 ofLondon Math. Soc.
Lecture Note Ser., pp. 157–187.
[58] C. Siegel, Approximation algebraischer Zahlen,Math. Z.,10 (1921), 173–213.
[59] V. G. Sprindˇzuk and S. V. Kotov, An effective analysis of the Thue-Mahler equation in relative fields (Russian), Dokl. Akad. Nauk. BSSR, 17 (1973), 393–395, 477.
[60] A. Thue, ¨Uber Ann¨aherungswerte algebraischer Zahlen,J. Reine Angew. Math.,135 (1909), 284–305.
[61] L. A. Trelina, S-integral solutions of Diophantine equations of hyperbolic type (in Russian), Dokl. Akad. Nauk. BSSR, 22 (1978), 881–884;955.
[62] J. V´egs˝o, On superelliptic equations, Publ. Math. Debrecen, 44 (1994), 183–187.
[63] S. Zhang, Positive line bundles on arithmetic varieties,J. Amer. Math. Soc.,8(1995), 187–221.