I. rész
1. Luh-Walker-Paul algoritmus
(4.44)
amely tehát magában foglalja az (i+1)-edik kartag valamennyi (lineáris, Coriolis és centrifugális) gyorsulás összetevőjét.
1. Luh-Walker-Paul algoritmus
A mechanikai alapokat összefoglalása után megismerkedünk az ún. Luh-Walker-Paul-féle algoritmussal, amely egy 1986-ban kiadott amerikai szakkönyv szerint (akkoriban) a leghatékonyabbnak számított a robotdinamikai feladatok megoldása során.
Az algoritmus első részeként rekurzív kinematikai összefüggéseket fogunk felírni, amelyek különböző alakúak lesznek attól függően, hogy a vizsgált csukló prizmatikus (P), vagy rotációs (R).
Eszerint, ha az (i+1)-edik csukló prizmatikus, akkor az (i+1)-edik kartag szögsebessége illetve szöggyorsulása
, (4.45)
. (4.46)
Ha ellenben az (i+1)-edik csukló rotációs, akkor az (i+1)-edik kartag szögsebessége illetve szöggyorsulása
, (4.47)
. (4.48)
A lineáris sebességek és gyorsulások prizmatikus csukló esetén
,
Robotok dinamikai jellemzése
Az ezeknek megfelelő összefüggések rotációs csukló esetén a következő alakban lesznek érvényesek
,
(4.53)
.
(4.54)
illetőleg a szükséges helyettesítések elvégzése után
,
(4.55)
.
(4.56)
Ezzel az algoritmus kinematikai részét illetően minden szükséges összefüggés rendelkezésünkre áll. Mielőtt rátérnénk a dinamikai szakasz ismertetésére, némi figyelmet kell, hogy szenteljünk annak a körülménynek, hogy a Newton-Euler egyenletekben szereplő változók mind tömegközéppontra vonatkozó mennyiségekkel, ezzel szemben a jelen algoritmus csuklókra vonatkozó mennyiségekkel számol.
A két különböző reprezentáció közötti kapcsolatot az alábbi egyenletek adják meg
,
(4.57)
.
(4.58)
Az egyenletek értelmezését a 4.6. ábra - segíti.
4.6. ábra
-Tisztázásra szorul még az a kérdés, hogyan módosul a (4.5) egyenletben szereplő perdület (impulzusmomentum), ha azt nem tömegközéppontra vonatkoztatjuk. Mint ismeretes, minden kartag tehetetlenségi tenzora a kartag orientációjától függő mennyiség.
Jelöljük -val azt a 3×3-as rotációs mátrixot, amelyik az i-edik kartag koordinátarendszeréből a világ-koordinátarendszerbe történő transzformálását valósítja meg, jelöljük továbbá az i-edik kartag saját koordinátarendszerének origóján (tehát nem a tömegközéppontjára) értelmezett tehetetlenségi tenzorát -sal.
Energetikai megfontolásokkal (a forgásból adódó kinetikus energiák elemzésével) belátható, hogy a tehetetlenségi tenzor két fajta reprezentációja között az alábbi összefüggés érvényes
.
(4.59)
Most már valóban minden összefüggés rendelkezésünkre áll ahhoz, hogy a Luh-Walker-Paul-algoritmust teljes egészében átlássuk.
II. rész - rész
Tartalom
1. A mozgásvizsgálat elemei ... 43 1. Az anyagi pont mozgása ... 43 1.1. Anyagi pont kinematikája ... 43 1.2. Az anyagi pont mozgásegyenletei ... 44 1.3. Erőterek, konzervatív erőtér, potenciális energia ... 45 1.4. Centrális erők, felületi tétel ... 46 2. Kényszerített mozgások ... 46 2.1. Az elsőfajú Lagrange-féle egyenletek ... 47 2.2. Időtől függő kényszerfeltételek ... 48 2.3. Nem ideális kényszerek ... 48 3. Anyagi pont egyensúlya ... 49 3.1. A virtuális munka elve ... 49 3.2. A d'Alembert-elv ... 50 4. Mozgó vonatkoztatási rendszerek ... 50 4.1. Merev testek kinematikai egyenletei ... 50 4.2. A dinamika alapegyenlete mozgó vonatkoztatási rendszerben ... 51 2. Merev test rendszerek dinamikája ... 56 1. A mozgásegyenletek szintetikus leírása ... 56 1.1. Anyagi pontrendszer dinamikai alapegyenletei ... 56 1.2. Merev testek dinamikai egyenletei ... 58 1.2.1. Súlypont, impulzus, perdület, tehetetlenségi nyomaték ... 58 1.2.2. Kinetikai nyomaték, perdületderivált, impulzus- és perdülettétel ... 60 1.2.3. Kinetikus energia ... 61 1.3. Elsőfajú Lagrange-egyenletek ... 62 1.3.1. Példa: ... 64 2. Holonom rendszerek analitikus leírása ... 69 2.1. Általános koordináták ... 69 2.2. Virtuális sebesség ... 70 2.3. A másodfajú Lagrange-egyenletek ... 70 2.4. A kinetikus energia függése az általános koordinátáktól ... 71 2.5. A mozgásegyenletek potenciálos erők esetén ... 72 2.5.1. A gömbi inga mozgásegyenletei ... 73 2.5.2. Síkbeli inga mozgásegyenlete ... 74 2.6. A mechanikai összenergia változása ... 75 2.7. Nem potenciálos általános erők ... 76 2.7.1. Giroszkopikus erők ... 76 2.7.2. Disszipatív erők ... 78 2.8. Az általános potenciál ... 79 2.9. A Hamilton-féle kanonikus mozgásegyenletek ... 81 2.9.1. Általános impulzus ... 81 2.9.2. A Hamilton-függvény ... 82 2.10. Routh-egyenletek ... 84 2.10.1. Ciklikus koordináták ... 84 2.10.2. A Routh-függvény ... 85 2.10.3. Példa ... 85 3. Mozgások jellemzése és stabilitása ... 88 1. Egy szabadsági fokú csillapított rezgések ... 88 1.1. Szabad rezgések ... 88 1.2. Gerjesztett rezgések ... 89 2. Mechanikai rendszerek egyensúlya ... 90 2.1. Virtuális teljesítmény elve ... 91 2.2. Dinamikus egyensúly ... 92 2.3. Stabilitási alapfogalmak ... 93 3. Holonom szkleronom rendszerek kis mozgásai ... 94 3.1. A mátrix differenciálegyenlet ... 94 3.2. Csillapítatlan rezgések ... 96
rész
3.2.1. Sajátkörfrekvenciák, lengésképek ... 96 3.3. Stabilitás ... 97 3.3.1. A sajátvektorok ortogonalitása ... 98 3.4. A saját-körfrekvenciák becslési módszerei ... 99 3.4.1. A Rayleigh-hányados ... 99 3.4.2. Stodola-iteráció ... 100 3.4.3. Rayleigh-elv ... 101 3.4.4. Dunkerley-becslés ... 102 4. Mechanizmusok vizsgálati módszerei ... 108 1. Szerkezeti vizsgálat ... 108 1.1. Kinematikai pár, szabadsági fok ... 108 1.1.1. Mechanizmus szabadságfoka (DoF, szf.), mobilitása ... 109 1.2. Mechanizmusok csoportra bontása ... 109 1.2.1. Kinematikai inverzió ... 110 5. Robotok kinematikai és dinamikai alapegyenletei ... 112 1. Geometriai összefüggések ... 112 1.1. Homogén transzformációk ... 112 2. Kinematikai alapegyenletek ... 114 2.1. A robot Jacobi-mátrixa ... 114 3. Dinamikai egyenletek ... 115 4. Anholonom rendszerek mozgásegyenletei ... 116 4.1. Routh–Voss-egyenletek ... 116 4.2. Appell–Gibbs-egyenletek ... 118 4.2.1. A kvázisebességek ... 118 4.2.2. A Gibbs-féle gyorsulásenergia és a mozgásegyenletek ... 118 4.3. Merev test mozgásegyenletei ... 119 4.3.1. Bevásárló kocsi anholonom modellje ... 120
1. fejezet - A mozgásvizsgálat elemei
1. Az anyagi pont mozgása
1.1. Anyagi pont kinematikája
A háromdimenziós térben mozgó anyagi pont mindenkori helyzetét három skalárfüggvénnyel adhatjuk meg, melyeket a pont koordinátáinak nevezünk. Derékszögű Descartes-féle koordinátarendszerben (DDKR) ezek az , és függvények. Ezekkel megadható az anyagi pont időtől függő helyvektora, mozgásának törvénye:
(1.1)
A helyvektorok végpontjait összekötve kapjuk meg az anyagi pont mozgásának pályáját.
Az anyagi pont sebességvektora, mint a helyvektor változási gyorsasága, megegyezik a helyvektor idő szerinti deriváltjával:
(1.2)
A deriválás természetéből adódóan ez érintőleges a pályára az adott pillanatban:
(1.3)
ahol a sebesség vektor nagysága, az ún. pályasebesség és a pálya érintőegységvektora. A pályasebesség idő szerinti integrálásával kapjuk az anyagi pont által megtett utat vagy pályabefutás törvényét:
(1.4)
A sebességvektor idő szerinti deriváltja az gyorsulásvektor, amely felbontható egy pálya menti tangenciális gyorsulásra és egy pályára merőleges normális gyorsulásra:
(1.5)
ahol az ún. pályagyorsulás, a pályagörbe görbületi sugara az adott pontban és a főnormális irányú egységvektor. Tehát a tangenciális gyorsulás a sebességvektor nagyságának változását adja meg, míg a normális gyorsulás komponens a sebességvektor irányának változásával van összefüggésben.
A mozgásvizsgálat elemei
Példa – Anyagi pont mozgása csavarvonalon:
1.2. Az anyagi pont mozgásegyenletei
Dinamikai alapfogalmak (emlékeztető): merev test, vonatkoztatási rendszer, koordináta rendszer, szabadsági fok. Newtoni axiómák: inerciarendszer, dinamika alaptörvénye, akció-reakció elve, (erőösszeg).
A dinamika alaptörvénye
Ismerjük az pontszerű tömegre, anyagi pontra ható erők eredőjét, az
(1.6)
vektorfüggvényt (egy inerciarendszerben). Meghatározandó az anyagi pont mozgástörvénye.
Megoldás a
(1.7) dinamikai alapegyenlet segítségével: másodrendű vektori differenciálegyenlet integrálása. Az (1.7) egyenlet három vetületi komponense adja meg az anyagi pont mozgásegyenleteit. Az általános megoldás 6 integrálási állandót tartalmaz, melyeket a kezdeti (indítási) feltételek határoznak meg.
Bizonyos esetekben felírható a mozgásegyenletek egy vagy több első integrálja, egy alakú, elsőrendű differenciálegyenlet.
Elemi munka, munkatétel, teljesítménytétel
Az (1.7) egyenletet -tal megszorozva a következőt kapjuk:
ahol az anyagi pont kinetikus energiájának idő szerinti deriváltja, pedig az anyagi pontra ható erő teljesítménye, azaz a teljesítménytétel:
. (1.8)
Ezt az idő szerint integrálva kapjuk a munkatételt:
azaz
(1.9)
ahol az erő ún. elemi munkája. A munka tehát az erő út szerinti integrálja (Poncelet, 1829), amely általában a kezdő és végpontokon túl függ az ezeket összekötő görbétől is. Több erő munkája algebrailag adódik össze, az erők vektori összeadásából következően.
1.3. Erőterek, konzervatív erőtér, potenciális energia
Speciális esetben: vektortér. Az időben állandó erőteret konzervatív erőtérnek hívjuk, ha van olyan skaláris függvény — potenciál, vagy potenciális energia (Lagrange, 1736 – 1813) —, amelynek negatív gradiense az erő:
(1.10)
Konzervatív erőtérben bármely zárt görbe mentén végzett munka zérus, azaz a végzett munka független az úttól, és egyenlő a kezdő- és végpontokban felvett potenciálértékek különbségével:
(1.11)
Konzervatív erőtérben az elemi munka teljes differenciál. A potenciálos erőtér1örvénymentes (rotációja zérus):
A egyenlettel meghatározott felületet ekvipotenciális felület (nívófelület). A potenciálos erő mindig merőleges a nívófelületre.
Példák:
• Földi nehézségi erőtér:
• Gravitációs erőtér:
• Lineáris rugó potenciálja: (ahol az merevségű rugó deformációja).
A (teljes) mechanikai energia megmaradásának tétele. Konzervatív erőtérben a munkatétel:
azaz (1.12)
tehát a mozgásegyenletek egy első integrálja.
A mozgásvizsgálat elemei körmozgást vagy elliptikus rezgést létrehozó erő, de a gravitációs erő is.
Szorozzuk meg az (1.7) egyenletet vektoriálisan -ral:
(1.13) időközök alatt egyenlő területet súrol (Kepler második törvénye).
Az (1.14) egyenletben a három integrálási állandó által alkotott vektor a pálya síkjának normálisának irányát valamint a felületi sebesség nagyságát rögzíti. Ez utóbbi a pálya síkjában felvett polárkoordinátákkal:
tehát
2. Kényszerített mozgások
Ha az anyagi pont mozgását előírt geometriai feltételek korlátozzák, kényszermozgásról beszélünk. A kényszerfeltételek általában egy adott, merevnek tekinthető és nyugvó felületen vagy görbén történő mozgást írnak elő a felület illetve görbe egyenleteinek formájában:
A felületen való áthatolást, illetve az attól való elválást rendszerint egy felületre merőleges (ideális) kényszererő gátolja meg:
(1.15)
Nyugalomban levő anyagi pont esetén a kényszererő az anyagi pontra ható aktív vagy szabaderő felületre merőleges összetevőjének ellentetjével egyenlő:
2.1. Az elsőfajú Lagrange-féle egyenletek
A kényszererő tehát a felület illetve a görbe gradienseinek lineáris kombinációjaként is előállítható:
illetve
(1.16)
(1.17)
Ezekkel kapjuk az elsőfajú Lagrange-féle mozgásegyenleteket: az (1.15) mozgásegyenletben 4 (illetve 5) skalár ismeretlen (függvény) lesz ( és illetve és ), de a megoldáshoz szükséges egyenletet illetve egyenleteket éppen a geometriai kényszer, az előírt felület (illetve görbe) egyenletei szolgáltatják:
(1.18)
Az (ideális) kényszererő munkája nyugvó felület vagy görbe esetén zérus, hiszen az elmozdulás a felület vagy görbe mentén, érintőlegesen történik, azaz a kényszererőre merőlegesen. A munka kiszámításánál elegendő a szabaderőket figyelembe venni, és így érvényes az energiamegmaradás tétele (ld. szabadon eső anyagi pont, vagy tetszőleges görbe mentén mozgó anyagi pont).
Példák:
1. Mozgás lejtőn: lejtő irányú koordinátákkal — , Megoldás: a normális irányú
kényszererő nagysága, A mozgástörvény:
2. Mozgás csavarvonalon: a tengelyű csavarvonal paraméteres egyenlete
amiből a görbe egyenletei behelyettesítéssel:
A mozgásvizsgálat elemei
a mozgásegyenlet pedig:
2.2. Időtől függő kényszerfeltételek
Mozgó felület (vagy görbe) esetén , vagy az idő szerint differenciálva:
(1.19)
Viszont elképzelhető alakra nem hozható, nem integrálható, ún. kinematikai kényszerfeltétel is, , mely sok esetben az (1.19) egyenlethez hasonlóan lineáris függvénye az sebességvektornak:
(1.20)
Ez alapján a kényszerek az alábbiak szerint csoportosíthatók:
1. holonom, szkeloronom:
2. holonom, reonom:
3. anholonom, szkleronom:
4. anholonom, reonom: ,
5. egyéb (pl. egyenlőtlenségekkel megadott kényszerfeltételek, ld. fonálinga)
A szabadsági fokok számát minden kényszeregyenlet eggyel csökkenti, azonban az anholonom kényszerfeltételek a kezdeti konfigurációs teret nem korlátozzák, csak az (induló) lehetséges pályákat.
2.3. Nem ideális kényszerek
A csúszási súrlódásra vonatkozó tapasztalati törvény (Coulomb, 1736 – 1806): az érintkező felületek között fellépő súrlódási erő
(1.21)
ahol a csúszási súrlódási együttható, a felületek között ébredő nyomóerő, pedig annak a testnek (érintkezési pontjának) a sebessége, amelyikre hat (gátolja a test mozgását).
A súrlódási erőnek ez a formája hibrid jelleget mutat, ui. egy olyan fizikai törvényszerűséget takar, amely az kényszererőtől függ és így nyilván nem tekinthető egyértelműen szabad erőnek.
Ezzel szemben nyugalmi vagy tapadási súrlódáskor, azaz amikor a sík felületen nyugvó test a rá ható érintőleges húzóerő hatására mindaddig nyugalomban marad, míg
(1.22)
a felületen ébredő erőkomponens valódi kényszererő, amit az szabaderő határoz meg.
3. Anyagi pont egyensúlya
Anyagi pont egyensúlya alatt annak tartós nyugalmi állapotát (vagy egyenesvonalú egyenletes mozgását) értjük, azaz amikor a gyorsulása zérus: . Így az (1.18) egyenlet alapján:
(1.23)
azaz egyensúlyban levő anyagi pontra ható szabad- és kényszererők eredője zérus („egyensúlyban vannak”).
Példa Anyagi pont egyensúlyi helyei egy gömbfelszínen ( , ).
3.1. A virtuális munka elve
Tekintsük a szabad anyagi pontot, mely egyensúlyban van: .
Vegyük ennek egy lehetséges kis, idő nélküli, képzelt elmozdulását. Ezt az elgondolt elmozdulást virtuális elmozdulásnak nevezzük, mely végtelen rövid idő alatt megy végbe . Így tehát az egyensúlyban levő szabad anyagi pontra ható erők virtuális munkája zérus:
(1.24)
Ez a megfogalmazás kényszerekre is általánosítható, amennyiben ezentúl a virtuális elmozduláson a kényszerfeltételek által megengedett elmozdulást értünk ekkor ugyanis az ideális
kényszererő virtuális munkája is zérus és így
(1.25)
A jobbról balra irány igazolása a Lagrange-féle multiplikátor módszer alkalmazásával történhet, a többváltozós függvények szélsőértékeinek mellékfeltételek esetén való kiszámításához hasonló módon:
A mozgásvizsgálat elemei
3.2. A d'Alembert-elv
A mozgásegyenletek szabad és kényszermozgások esetén is összefoglalhatók a virtuális munka elvéhez hasonló alakban, amennyiben d'Alembert nyomán az ellentettjét mint olyan inerciális erőt tekintjük, amellyel az gyorsulású anyagi pont „egyensúlyban” van:
(1.26)
ideális kényszerek és a kényszerfeltételeket kielégítő virtuális elmozdulás esetén.
Példa Anyagi pont mozgása gömbfelületen.
Mozgás előírt görbén. Ebben az esetben az
dinamikai alapegyenletet célszerű felbontani a görbe érintő irányú, főnormális irányú és binormális irányú összetevőinek irányába
ahol a sebesség nagyságát megváltoztató gyorsulás, a (harmadik) egyenlet a szabaderők és kényszererők binormális irányú összetevőinek egyensúlyát fejezi ki, míg a sebességű anyagi pont görbületi sugarú pályán való mozgásához szükséges gyorsulás (centripetális gyorsulás), az ezt biztosító erők eredője pedig a centripetális erő. Amennyiben a tagot látszólagos, ún. tehetetlenségi erőként fogjuk fel, amely az anyagi pont normális irányú látszólagos egyensúlyát biztosítja, akkor ezt a tagot centrifugális erőnek nevezzük.
4. Mozgó vonatkoztatási rendszerek
4.1. Merev testek kinematikai egyenletei
Egy merev test két tetszőleges, és pontja közötti távolság állandó:
(1.27)
azaz merőleges -re, mégpedig irányának változását az szögsebesség vektorral adhatjuk meg. Így az és pontok sebessége:
(1.28)
Ez a merev test tetszőleges két pontjának sebessége közötti összefüggést leíró ún. redukciós képlet, ami a merev testek statikájában tanult, egy erő illetve pontokra számított nyomatékai között fennálló redukciós formulával analóg:
(1.29)
Ez azt jelenti, hogy a merev test tetszőleges pontjának sebességének megadásához elég ismernünk a ún. kinematikai vektorkettőst, azaz a kinematikai vektorkettős jellemzi a merev test sebességállapotát.
A (1.28) kifejezést tovább deriválva az idő szerint kapjuk az és pontok gyorsulása közötti összefüggést:
(1.30)
ahol a merev test szöggyorsulása. Ez a képlet írja le tehát a merev test gyorsulásállapotát, azaz ehhez egy pont gyorsulásának, a merev test szöggyorsulásának és szögsebességének ismerete szükséges.
A továbbiakban vizsgáljuk az anyagi pont pillanatnyi mozgását egy ismert mozgásállapotú merev testhez rögzített koordinátarendszerben.
4.2. A dinamika alapegyenlete mozgó vonatkoztatási rendszerben
Ismerjük egy merev testhez mint „mozgó” vonatkoztatási rendszerhez (MVR) rögzített
koordinátarendszer origójának sebességét és gyorsulását, valamint a merev test szögsebességét és szöggyorsulását.
Ezzel az éppen a geometriai ponton áthaladó anyagi pont álló koordinátarendszerbeli és mozgó koordinátarendszer szerinti helyvektora között a kapcsolat:
(1.31)
ahol a sebességállapotú MVR origójának helyvektora az abszolút, „álló”
koordinátarendszerben.
Az anyagi pont álló rendszerben észlelt és a MVR-beli sebessége közötti kapcsolat (1.31) deriválásából:
(1.32)
ahol a ponton áthaladó anyagi pont relatív sebessége a MVR-ben, pedig a -nek mint a MVR-hez rögzített pontnak a sebessége, az álló rendszerből észlelt ún. szállító sebesség. A tehát a MVR-beli idő szerinti deriváltat jelöli, azaz csak a koordináták deriváltját, a MVR-ben állónak képzelt koordinátatengelyekét nem. Így egy tetszőlegesMVR-beli vektor tényleges idő szerinti deriváltja a következő:
A mozgásvizsgálat elemei
Az anyagi pont gyorsulása pedig az előzőeket újból idő szerint deriválva:
(1.33)
azaz
ahol az ún. Coriolis-gyorsulás (Coriolis, 1792 – 1843), az ún. relatív vagy látszólagos gyorsulás a MVR-ben, pedig a MVR-hez rögzített pontnak az álló rendszerből észlelt gyorsulása az ún. szállító gyorsulás.
Ezt beírva az inerciarendszerben érvényes alapegyenletbe átrendezés után megkapjuk a mozgó rendszerben érvényes alapegyenletet:
(1.34)
ahol az aktív erő melletti két tag az ún. tehetetlenségi erők: az szállító erő, és a Coriolis-erő.
Példa
Az egyenletű parabola pályán mozog egy tömegű anyagi pont.
1. Határozzuk meg a gyorsulásvektort az (3,0,3) helyen, m/s állandó sebesség esetén!
, , így:
2. Írjuk fel a pályán mozgó anyagi pont mozgásegyenleteit, ha a pálya a függőleges tengely körül szögsebességgel egyenletesen forog!
A pályagörbén való mozgást reonom (időtől függő) kényszeregyenletek határozzák meg:
Így a d'Alembert-elv alapján, mivel a nehézségi erő az egyetlen aktív erő:
amiből és felhasználásával kapjuk, hogy
Mivel teljesen szabadon választható és az és kényszerek által megengedett virtuális elmozdulás másik két koordinátája fentiek szerint -szel már kifejezhető, ezért
ahol , és a kényszerfeltételekből illetve idő szerinti deriválással kaphatók meg.
Vizsgáljuk meg, hogy mi a feltétele a pályagörbén való relatív egyensúlynak, azaz amikor nincs függőleges elmozdulás, hanem az síkkal párhuzamos sugarú körpályán mozog az anyagi pont a forgó parabolapálya egy adott pontjával együtt!
Tehát
amit beírva a kapott differenciálegyenletbe adódik, hogy:
Ez a kifejezés csak vagy esetén teljesül. Míg esetén tetszőleges, az utóbbi esetben pedig , azaz bárhová helyezve a parabola pályán az anyagi pontot relatív nyugalomban marad, ha
.
3. Nézzük meg a relatív egyensúly feltételét a forgó parabolapályához rögzített koordinátarendszerben felírt virtuális munka elvével
A mozgásvizsgálat elemei
Így
amiből a és a összefüggésekkel adódik az egyensúly feltétele:
4. Írjuk fel a forgó parabolapályához rögzített koordinátarendszerben a parabolapályán mozgó anyagi pont mozgásegyenleteit!
Az elsőfajú Lagrange-egyenletekkel:
azaz
Vagyis a mozgást meghatározó egyenletek rendszere:
amiből , valamint
Ezzel a -t megadó differenciálegyenlet:
Ugyanez az ívhossz, és a kifejezéssel:
amiből következik, hogy esetén a pályagyorsulás előjelét az előjele adja meg.
5. Hogyan változik az (a) pontra adott válasz, ha a pálya a függőleges tengely körül rad/s szögsebességgel egyenletesen forog? Határozzuk meg az tömegpontot a pályán tartó kényszererő
összetevőit ebben az esetben!( , m/s,
m/s2, )
6. Határozzuk meg a (3,0,3) pontból m/s elindított anyagi pont sebességét az origón való áthaladáskor (6.234 m/s)! Adjuk meg a mozgást meghatározó erőtér potenciálfüggvényét (ha van ilyen)!
2. fejezet - Merev test rendszerek dinamikája
A következőkben anyagi pontokból vagy tömegpontokból álló rendszerek mozgásegyenleteit vezetjük le, azonban később ezeket az egyenleteket merev testekből álló rendszerekre is érvényesnek tekintjük.
1. A mozgásegyenletek szintetikus leírása
1.1. Anyagi pontrendszer dinamikai alapegyenletei
Az tagú anyagi pontrendszer tömegű tagjának mozgását a rá ható külső, szabad- és reakcióerők eredője és a többi anyagi ponttal való kölcsönhatásból származó belső erők eredője határozza meg a dinamika alapegyenlete szerint:
(2.1)
ahol a -adik tömegpont gyorsulása. Továbbá nyilvánvaló, hogy és Newton III. axiómája miatt valamint tegyük fel, hogy a belső erők centrális erők, azaz .
Az anyagi pontok között működő belső erők némelyike lehet az anyagi pontok között lévő geometriai vagy kinematikai kényszerkapcsolatból származó ideális belső kényszererő, melyeknek az anyagi pontra ható eredőjét -val jelöljük, az egyéb belső erők eredőjét pedig -val, azaz
Az anyagi pontra hathatnak tehát a geometriai vagy kinematikai kényszerfeltételek által meghatározott ideális kényszererők , illetve a kényszerfeltételektől független, de valamilyen módon előírt vagy fizikai törvényszerűség által meghatározott szabaderők .
Amennyiben az anyagi pontok helyvektorai egymástól illetve a környezettől geometriailag illetve kinematikailag függetlenek, úgy szabad mechanikai rendszerről beszélünk, melynek állapotát egy tetszőleges időpillanatban a (kinematikailag) független mozgástörvényeket alkotó darab skalárfüggvénnyel adhatjuk meg. Ezeket a skalárfüggvényeket a fenti darab dinamikai skalár egyenlet határozza meg. Egy mechanikai rendszer szabadsági foka alatt állapotának egyértelmű leírásához szükséges független skaláregyenletek számát értjük, tehát egy darab anyagi pontból álló szabad mechanikai rendszer szabadsági
foka .
Az egyes anyagi pontokra felírható dinamikai egyenletek összegzésével, a belső erőket kiejtve, jutunk az impulzustételhez:
(2.2)
ahol a külső erők vektori összege, , és a pontrendszer impulzusa,
tömege illetve súlypontjának (tömegközéppontjának) helyvektora. Az utóbbit a pontrendszernek az origóra számított statikai nyomatékából határozhatjuk meg:
(2.3)
azaz a pontrendszer statikai nyomatéka a saját súlypontjára nulla.
Felhasználva, hogy a belső erők centrálisak, az egyes anyagi pontok impulzusderiváltjának origóra számított nyomatékait összegezve a perdülettételt kapjuk:
(2.4)
ahol az és erők origóra számított nyomatékainak összege, pedig a pontrendszer origóra számított kinetikai nyomatéka, ami a koordinátarendszer egy rögzített pontjára vonatkoztatva megegyezik a pontrendszer ugyanazon pontjára számított perdületének idő szerinti deriváltjával:
(2.5)
A perdületvektor és a kinetikai nyomaték vektor definíciója alapján megmutatható, hogy a ún.
impulzus vektorkettősre és a ún. kinetikai vektorkettősre is érvényes a redukciós formula:
(2.6) Általánosan a kinetikai nyomaték és a perdületderivált vektor közötti kapcsolat:
(2.7)
tehát , ha például vagy .
A dinamika alapegyenletei anyagi pontrendszerre tehát a következő alakban foglalhatók össze:
vagy másképpen:
(2.8)
Merev test rendszerek dinamikája
azaz az anyagi pontrendszer egy bizonyos pontra redukált kinetikai vektorkettőse egyenlő a pontrendszerre ható külső erőknek ugyanarra pontra redukált vektorkettősével.
azaz az anyagi pontrendszer egy bizonyos pontra redukált kinetikai vektorkettőse egyenlő a pontrendszerre ható külső erőknek ugyanarra pontra redukált vektorkettősével.