Döntési változók választása

k (i ∈ {1,2}) stratégiaprofil. Továbbá a játéknak pontosan akkor van tiszta Nash-egyensúlya, ha p^c ≥p.

A 3.4. állítás már rávilágít a két termelési mód különbözőségére, mivel ren-delésre történő termelés esetén nagy kapacitások esetén is a piactisztító áron történő értékesítés a Nash-egyensúlyi.

Bár a készletre történő termelési játék kevert Nash-egyensúlyának meg-határozása egy nehéz és egyelőre megoldatlan feladat, mégis sikerült a két termelési módot, az árak és a profitok tekintetében, összehasonlítani.

3.5. tétel (Tasnádi, 2004b). Teljesüljenek az alapfeltevéseink, a keresleti görbe konkavitása,n= 2, k = k₁ = k₂ ésc > 0. Ekkor a készletre történő ter-melési és a rendelésre történő terter-melési játékok várható egyensúlyi profitjai azonosak, míg a készletre történő termelés egyensúlyi árai sztochasztikusan dominálják a rendelésre történő termelés árait, ha szimmetrikus egyensú-lyokra szorítkozunk.

A profit egyezőség és a készletre történő termelés melletti magasabb árak meglepőek, ugyanis arra számíthatnánk, hogy a készletképződés miatti vesz-tesség csökkenti a profitot és kevésbé agresszív árazást eredményez.

3.4. Döntési változók választása

Dastidar (1996) és Qin és Stuart (1997) a Bertrand és Cournot modell ke-resztezésével kapott vegyes modellekben vizsgálta a döntési változó endogén megválasztásának kérdését. Az értekezésben található elemzés ezzel szemben a Bertrand típusú árversenyt a Bertrand–Edgeworth típusú árversennyel he-lyettesíti.

Jelölje K = Pn

i=1ki a vállalatok aggregált kapacitását és a keresleti gör-bére vonatkozó alapfeltevéseinken kívül legyen pD(p) szigorúan konkáv. A kapacitáskorlátos esetből indulunk ki, amelyben a vállalatok aktivitását a K − k_n < a feltevéssel biztosítjuk. Jelölje N = {1, . . . , n} a vállalatok halmazát, I ⊂ N az ármeghatározó vállalatok halmazát és J = N \ I a

mennyiség meghatározó vállalatok halmazát. Az ár és mennyiségi döntéseket tartalmazza a p ∈ [0, b]ⁿ és a q ∈ ×ⁿ_j=1[0, k_j] vektor. Megjegyzendő, hogy j ∈ J vállalat esetén ap_j értéke nem bír jelentéssel és hasonló igaz aq_i értékre az i ∈ I vállalat esetén. Adott (p,q) vállalati döntések esetén a vállalatok összkínálata p áron

Még értelmezendő a keresletet a vállalatokhoz rendelő mechanizmus és a mennyiséget meghatározó vállalatok termékeinek eladási ára, amely az ár-meghatározó és a mennyiséget ár-meghatározó vállalatok döntéseinek függvénye.

A mennyiséget meghatározó vállalatok eladási árát jelölje p^∗(p,q) és értéke egyezzen meg azzal a legkisebb árral, amelyen a kereslet nem haladja meg az összkínálatot. Formálisan p^∗(p,q) =

inf{p∈ [0, b]| D(p) ≤ S_p,q(p)}= min{p ∈ [0, b] | D(p) ≤ S_p,q(p)}. A p^∗(p,q) áron az aggregált kínálat meghaladhatja a piaci keresle-tet. Ez utóbbi esetet szemlélteti az 1. ábra, amelyben két ármeghatározó és egy mennyiség meghatározó vállalat versenyez egymással. Az 1. ábrá-ban látható helyzetben a mennyiséget meghatározó vállalat termékének ára p3. Áregyezőségek esetén az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy előbb a mennyiség meghatározó vállalatok szolgálhatják ki a fogyasztókat és csak utána osztoznak az azonos árat megállapító ármeghatározó vállalatok kapa-citásuk arányában a fogyasztókon. Ez utóbbi feltevésünk első része, hogy a mennyiségi játékosok prioritást élveznek a fogyasztók kiszolgálásában az ár-játékosokkal szemben, megkívánja az árjátékosok mennyiségi és a mennyiségi játékosok áralkalmazkodását. A j ∈ J mennyiségi játékos által kiszolgált kereslet

3.4 Döntési változók választása 17

1. ábra. Mennyiségi játékos termékének ára Az i ∈ I árjátékos által kiszolgált kereslet

∆_i(p,q) =

Ezért az i ∈ I vállalat profitja

πi(p,q) =pi∆i(p,q).

A továbbiakban OI-vel jelöljük az I árjátékosokkal rendelkező kevert oligo-póliumot.

Az OI játék tiszta Nash-egyensúlyára vonatkozik a következő állítás.

3.6. tétel (Tasnádi, 2010). A feltevéseink teljesülése esetén az alábbiak érvényesek az O_I kevert oligopóliumra.

1. Ha q^m_i ≥ k_i bármely i ∈ N vállalatra, akkor a tiszta Nash-egyensúlyi megoldásban a vállalatok a piactisztító áron értékesítik teljes kapacitá-sukat.

2. Ha I = {i}, q_i^m < k_i és p^d₁ ≤ p^m_i , akkor az egyensúlyi megoldás a domináns vállalati árvezérlés modelljét adja.

3. Ha |I| = 0, akkor a Cournot-megoldás az egyedüli tiszta Nash-egyensúly.

4. Minden egyéb esetben nem létezik tiszta Nash-egyensúly.

Abban az esetben, amikor több árjátékos esetén nincsen tiszta Nash-egyensúlyaO_I-nek a szimmetrikus kapacitások esetére korlátozzuk magunkat és csak kváziszimmetrikus kevert Nash-egyensúlyi megoldásokkal foglalko-zunk.²

3.5. állítás (Tasnádi, 2006). Az alapfeltevéseink, konkáv kereslet, szim-metrikus kapacitások (k = k_i), elégséges kapacitások (q^m = q_i^m < k) és leg-alább két ármeghatározó vállalat mellett, az O_I kevert oligopóliumnak létezik egyértelmű kevert kváziszimmetrikus Nash egyensúlya, amelyben az ármeg-határozó vállalatok árainak atommentes egyensúlyi eloszlásfüggvénye

F_|I|(p) = egy valószínűséggel k mennyiséget termel. Továbbá az így adott egyensúlyban a mennyiség meghatározó vállalatok értékesítési ára a

G_|I|(p) =

A 3.5. állításban megadott kváziszimmetrikus egyensúlyi stratégiák se-gítségével megállapíthatjuk, hogy az árjátékosok számának növekedése a mennyiségi játékosok számának csökkenésének terhére, sztochasztikus érte-lemben alacsonyabb árakhoz vezet.

2Kváziszimmetrikus egyensúlyban az összes mennyiségi játékos azonos stratégiát választ és hasonló igaz az árjátékosokra is.

3.4 Döntési változók választása 19 3.7. tétel (Tasnádi, 2006). A 3.5. állítás feltételeinek teljesülése és kvázi-szimmetrikus egyensúlyi stratégiák választása mellett az elsőrendű sztochasz-tikus dominanciát tekintve, az O_I oligopólium árai dominálják az O_I⁰ oligo-póliumbeli árakat, ha |I| > |I⁰|.

Az eddigi eredmények egzogén adott döntési változók mellett oldották meg a vegyes oligopóliumot. A következő két tétel meghatározza az endogéne megvalósuló vegyes oligopóliumot. Az első eredményben feltesszük, hogy a vállalatok a döntési változóik megválasztásával egyidejűen megadják annak értékét is (szimultán szerep és érték választás). Ebben az esetben nem kell kevert egyensúlyi megoldásokkal foglalkozni.

3.8. tétel (Tasnádi, 2010). A feltevéseink teljesülése esetén a szimultán szerep és érték választási játéknak az alábbi tiszta Nash-egyensúlya van:

1. Ha q_i^m ≥ ki minden i ∈ N vállalatra, akkor sok tiszta Nash-egyensúly létezik, amelyekben mindegyik vállalat számára közömbös, hogy ár- vagy mennyiség meghatározóként viselkedik, továbbá a vállalatok kapacitás-korláton termelnek és a piaci ár megegyezik a piactisztító árral.

2. Ha q_i^m < k_i valamely i ∈ N vállalatra, akkor két tiszta Nash egyensúly lehetséges. Az egyik a Cournot megoldást eredményezi, míg a másik a domináns vállalati árvezérlés modelljét adja, amelyben egy az q^m_i < k_i és p^d₁ ≤ p^m_i feltételeknek megfelelő árjátékos határozza meg a p^m_i piaci árat.

Egy másik lehetséges esetben előbb a döntési változók megválasztására kerül sor, majd azok értékeinek meghatározására. Ebben az úgynevezett szek-venciális szerep és érték választási játékban a kevert egyensúlyi megoldások nem kerülhetők meg.

3.9. tétel (Tasnádi, 2006). A 3.5. állítás feltételei mellet, továbbá kevert kváziszimmetrikus Nash-egyensúlyi megoldás esetén a szekvenciális szerep és érték választási játéknak az alábbi tiszta Nash-egyensúlya van:

1. Ha q^m ≥k, akkor sok tiszta Nash-egyensúly létezik, amelyekben mind-egyik vállalat számára közömbös, hogy ár- vagy mennyiség meghatáro-zóként viselkedik, továbbá a vállalatok kapacitáskorláton termelnek és a piaci ár megegyezik a piactisztító árral.

2. Ha q^m < k, akkor az egyetlen tiszta részjáték-tökéletes Nash-egyensúlyban a vállalatok a Cournot kibocsátást választják.