A Bochner-tétel általánosítása

Ebben az alfejezetben Bochner [14] és Choski [26] tételét járjuk körbe, és általánosítjuk ki.

124. segédtétel. Legyen I = {j, k}, Xi halmazok, C_i ⊆ P(X_i) σ-kompakt halmazrendszerek

∀i∈I. Ha

1. f_ij(C_j)⊆ C_i ∀(i≤j),

2. f_ij⁻¹({x_i})∩ C_j σ-kompakt halmazrendszer ∀x_i ∈Xi, ∀(i≤j),

akkor C$p⁻¹_i (C_i)∪p⁻¹_j (C_j) σ-kompakt halmazrendszer P(P = lim←−((Xi,(I,≤), f_ij|_i≤j))-ben.

Bizonyítás. Azt fogjuk látni, hogy haCn∈ C, és∩^m_n=1Cn6=∅ ∀m∈N, akkor ∩_nCn6=∅. Két esetet különböztetünk meg:

1. Az iésj elemek nincsenek relációban egymással.

Ebben az esetbenP =X_i×X_jDescartes-szorzat,∀C_n∈ C, a deníció miatt vagy∃C_nⁱ ∈ C_i, hogy Cn = p⁻¹_i (C_nⁱ), vagy ∃C_n^j ∈ C_j, hogy Cn = p⁻¹_j (Cn^j). Ekkor Cn = C_nⁱ ×Xj vagy C_n=X_i×Cn^j ∀n. Legyen N_i ={n∈N|C_n=p⁻¹_i (C_nⁱ), C_nⁱ ∈ C_i}, hasonlóan legyenN_j deniálva. Ekkor∩_nCn= (∩_n∈NiC_nⁱ)×(∩_n∈NjCn^j), haNi ésNj halmazok nemüresek. Ha N_i üres, akkor∩_nC_n=X_i×(∩_n∈NjCn^j), ha pedigN_j üres, akkor∩_nC_n= (∩_n∈NiC_nⁱ)×X_j. Mivel C_i, C_j σ-kompakt halmazrendszerek, így ∩_n∈NiC_nⁱ 6= ∅ és ∩_n∈NjCn^j 6= ∅, tehát

∩_nC_n6=∅.

2. Legyeni≤j (j≤ieset tárgyalása teljesen azonos).

Ebben az esetben P = Xj, és az 1. feltevés miatt pi(Cn) = fij(Cn) ∈ C_i ∀n. Mivel

∩^m_n=1C_n6=∅ ∀m∈N,∩^m_n=1f_ij(C_n)6=∅ ∀m∈N, ígyC_i σ-kompaktsága miatt ∩_nf_ij(C_n)6=

∅. Legyen xi ∈ ∩_nfij(Cn) tetsz®leges, ekkor a 2. feltevés miatt f_ij⁻¹({x_i})∩Cn ∀n∈Nj

σ-kompakt halmazrendszer. x_i választása miatt ∩^m_n=1(f_ij⁻¹({x_i})∩C_n) 6=∅ ∀m ∈N, így

∩_n(f_ij⁻¹({x_i})∩Cn)6=∅. Legyenxj ∈ ∩_n(f_ij⁻¹({x_i})∩Cn), ekkor:

a: x_i=f_ij({x_j}), b: x_j ∈ ∩_nC_n,

tehát,∩_nCn6=∅. Q.E.D.

A következ® két példa az 1. és 2. feltevések szükségességét mutatják.

125. példa. A 124. segédtételben az 1. feltevés nem áll, a 2. feltevés áll.

A 2. feltevés áll, hiszen bármely pont inverz képe véges sok pontot tartalmaz.

Legyen

126. példa. A 124. segédtételben a 2. feltevés nem áll, az 1. feltevés áll.

Legyenek Xi =Xj = [0,1].

Az 1. feltevés áll, hiszen a véges sok pontból álló halmazok kompaktak.

A 2. feltevés nem áll, hiszen(0,1) =f_ij⁻¹({1}), és(0,1)∩C_j nemσ-kompakt halmazrendszer.

A 124. segédtétel bizonyításából látható, hogy ha(I,≤)az üres reláció, vagy ha(I,≤) mind-egyik eleme csak önmagával van relációban, akkor I számosságától függetlenül C $ ∪_ip⁻¹_i (C) σ-kompakt halmazrendszer.

127. következmény. Legyenek X_i halmazok, C_i ⊆ P(X_i) σ-kompakt halmazrendszerek, (I,≤) az üres reláció, vagy olyan halmaz, hogy mindegyik eleme csak önmagával van relációban. Ekkor C$∪_i∈Ip⁻¹_i (C_i) σ-kompakt halmazrendszerP(P = lim←−(X_i,(I,≤), f_ij|_i≤j))-ben.

Bizonyítás. Azt fogjuk látni, hogy haC_n∈ C, és∩^m_n=1C_n6=∅ ∀m∈N, akkor ∩_nC_n6=∅. Ebben az esetben X = Q

i∈IXi, és ∀n-hez ∃i(n) ∈ I, és ∃C_nⁱ⁽ⁿ⁾ ∈ C_i(n), hogy Cn = p⁻¹_i(n)(Cnⁱ⁽ⁿ⁾). Legyen N_i = {n ∈ N | C_n = p⁻¹_i(n)(Cnⁱ⁽ⁿ⁾), Cnⁱ⁽ⁿ⁾ ∈ C_i(n)}, ekkor C_n = Cnⁱ⁽ⁿ⁾× Q

j∈I\{i}Xj ∀n. Tehát ∩_nCn =∩_n(Cnⁱ⁽ⁿ⁾×Q

j∈I\{i(n)}Xj) =Q

i∈I((∩_n∈NiCnⁱ⁽ⁿ⁾)∩Xi). Mivel C_i halmazrendszerek σ-kompaktak, és∩^m_n=1C_n 6=∅ ∀m∈N, így ∩_n∈NiCnⁱ⁽ⁿ⁾ 6=∅ ∀i∈I, tehát a

Kiválasztási Axióma miatt∩_nCn6=∅. Q.E.D.

Ha ∃i, j∈I, hogy i≤j, akkorC már nem feltétlenül σ-kompakt halmazrendszer.

128. példa. Ha ∃i, j∈I, hogy i≤j, akkor C már nem feltétlenül σ-kompakt halmaz-rendszer.

Legyenek X_i =X_j =X_k= [0,1].

Legyen i≤j,k≤j, ési, k elemek ne legyenek relációban egymással.

Legyenek f_ij =id_[0,1],f_kj =id_[0,1].

Legyenek C_i ={(0,1),{∅}},C_j ={∅},C_k a kompakt halmazok.

A 124. segédtétel 1. pontja teljesül, hiszen az üres halmaz képe az üres halmaz.

A 124. segédtétel 2. pontja teljesül, hiszen tetsz®leges halmaz metszete az üres halmazzal az üres halmaz, melyσ-kompakt halmazrendszer.

Legyen

C1 = f_ij⁻¹((0,1)) = (0,1) C₂ = f_kj⁻¹([0,¹₂]) = [0,¹₂]

...

Cn = f_kj⁻¹([0,¹_n]) = [0,¹_n] ...

Ekkor ∩^m_n=1C_n6=∅ ∀m∈N, de∩_nC_n6=∅.

129. állítás. Legyen ((X_i,M_i,C_i, µ_i),(I,≤), f_ij|_i≤j) mérték inverzrendszer, és legyenC_i ⊆ M_i σ-kompakt halmazrendszer∀i∈I. Ha

1. (I,≤) rendelkezik a következ® tulajdonságokkal:

• van legkisebb eleme,

• teljesen rendezett,

• minden elemhez van rákövetkez® elem, 2. fij(C_j)⊆ C_i ∀(i≤j),

3. f_ij⁻¹({x_i})∩ C_j ∀(i≤j) σ-kompakt halmazrendszer ∀x_i ∈Xi,

4. ((Xi,M_i,C_i, µ_i), fij,(I,≤))|_i≤j mérték inverzrendszer majdnem sorozatmaximális,

akkor C $ ∪_i∈Ip⁻¹_i (C_i) µ-majdnem σ-kompakt halmazrendszer M-ben, ahol (P,M, µ) = w−lim←−((Xi,M_i,C_i, µ_i),(I,≤), f_ij|_i≤j).

Bizonyítás. Az 1., a 4. feltétel és a 92. állítás miatt (P,M, µ) = w−lim←−((Xi,M_i,C_i, µ_i), (I,≤), f_ij|_i≤j)létezik és egyértelm¶.

Azt fogjuk látni, hogy tetsz®leges Cn∈ C-re,∃A⊆lim←−(Xi,(I,≤), f_ij|i≤j), hogy µ^?(A) = 0, és, hogy ha ∀m∈N-re{A∩(∩^m_n=1C_n)6= 0, akkor ∩_nC_n6=∅.

Az 1. feltétel miatti1legkisebb elem. Tudjuk, hogy∀n-hez∃i(n)∈I, és∃C_nⁱ⁽ⁿ⁾∈ C_i(n), hogy C_n =p⁻¹_i(n)(Cnⁱ⁽ⁿ⁾). Ekkor ∩^m_n=1f_i1i(n)(Cnⁱ⁽ⁿ⁾) 6=∅ ∀m ∈ N. A 2. feltétel miatt f_i1i(n)(C_n) ∈ C_i1

∀n∈N, aC_i1 σ-kompaktsága miatt∩_nf_i1i(n)(Cnⁱ⁽ⁿ⁾)6=∅.

Legyen N_i ={n∈N|C_n=p⁻¹_i (Cnⁱ⁽ⁿ⁾), Cnⁱ⁽ⁿ⁾∈ C_i(n)},∀i∈I.

Legyen xi1 ∈ ∩_nf_i1i(n)(Cnⁱ⁽ⁿ⁾) tetsz®leges. Ekkor a 3. feltétel miatt f_i⁻¹_1i2({x_i1}) ∩ C_i2 σ-kompakt halmazrendszer. x_i1 választása miatt∩^m_n=1(f_i⁻¹

1i2({x_i1})∩(∩_n∈Ni

2Cnⁱ⁽ⁿ⁾))6=∅ ∀m∈N, így∩_n(f_i⁻¹_1i2({x_i1})∩(∩n∈N_i

2Cnⁱ⁽ⁿ⁾))6=∅. Legyenxi2 ∈(f_i⁻¹_1i2({x_i1})∩(∩n∈N_i

2Cnⁱ⁽ⁿ⁾))tetsz®leges, ekkor:

a: x_i1 =f_i1i2({x_i2}), b: x_i2 ∈p_i2(∩_nC_n).

Alkalmazva ezt az eljárást az i1 ≤i2 ≤i3 ≤. . .láncra, kapunk pontok egy halmazát, mely pontok a következ® tulajdonságokkal bírnak∀n∈N-re:

c: xin =finin+1({x_in+1}), d: xin ∈pin(∩_nCn).

A d:pontból a Kiválasztási Axióma miatt ∃x∈Q

i∈IX_i, hogyx_i(n)=pr_i(n)(x) ∀n.

A 4. feltétel miatt, ∃A_in ⊆X_in, hogy µ^?_in(A_in) = 0∀n, ésp⁻¹_i

nim(A_in)⊆A_im ∀(n≤m). Legyen A $ ∩_np⁻¹_in (Ain). Ekkor világos, hogy µ^?(A) = 0. Tegyük fel, hogy ∀m ∈ N-re {A ∩(∩^m_n=1C_n) 6= 0. Ekkor x_in-ek választhatóak a következ®képpen: x_in ∈ X_in \ A_in (itt használjuk ki, hogyp⁻¹_inim(Ain)⊆Aim ∀(n≤m)).

A c : pont és a 4. feltétel miatt ∃x ∈ Q

iX_i, mely kielégíti x_in =f_inin+1(x_in+1) = p_in(x), xin ∈(Xin\(Ain))∀n∈N, ésx∈lim←−(Xi,(I,≤), f_ij|i≤j).

Így {(∩_np⁻¹_i

n (A_in))∩(∩_nC_n) = {A∩(∩_nC_n)6=∅, tehát ∩_nC_n 6=∅. Ebb®l következik, hogy

C µ-majdnemσ-kompakt halmazrendszer M-ben. Q.E.D.

130. következmény. Legyen (X_i,(I,≤), f_ij|_i≤j inverzrendszer, és legyen C_i ⊆ P(X_i) σ -kom-pakt halmazrendszerek. Ha

1. (I,≤) rendelkezik a következ® tulajdonságokkal:

• van legkisebb eleme,

• teljesen rendezett,

• minden elemhez van rákövetkez® elem, 2. f_ij(C_j)⊆ C_i ∀(i≤j),

3. f_ij⁻¹({x_i})∩ C_j ∀(i≤j) σ-kompakt halmazrendszer ∀x_i ∈X_i, 4. (X_i,(I,≤), f_ij|_i≤j))sorozatmaximális,

ekkorC$∪_i∈Ip⁻¹_i (C_i)σ-kompakt halmazrendszerP(P = lim←−(X_i,(I,≤), f_ij|_i≤j)))-ben, ésP 6=∅. Bizonyítás. A 129. állítás bizonyításából közvetlenül látható. Q.E.D.

A két új feltétel (1., 4.) szerepének illusztrálására íme két példa:

131. példa. A 129. állítás 1. feltétele nem áll, a többi áll.

Legyen I ={1,¹₂,¹₄, . . . ,_2n¹ , . . . ,0}, a szokásos rendezéssel.

Legyen Xi = (0,1]∀i∈I\ {0},X0 ={0}.

Legyen f_ij =id_(0,1] ∀(i≤j),i6= 0. f_0i = 0 ∀i∈I-re.

Ha i6= 0, akkor legyen C_i =σc{(0,_n¹],(_n¹,_n²], . . . ,(ⁿ⁻¹_n ,1]}, ahol n= ¹_i ∀ivéges halmazrend-szer, tehát σ-kompakt halmazrendszer ∀i ∈ I \ {0}. C₀ pedig legyen a véges sok pontból álló halmazok osztálya.

Az 1. feltétel nem teljesül, hiszen a szokásos rendezést vettük.

A 2. feltétel teljesül, hiszen egyre nomabbak aσ-kompakt halmazrendszerek.

A 3. feltétel teljesül, hiszen bármely pont inverzképe véges sok pont.

A 4. feltétel teljesül, hiszen (0,1] = lim←−(Xi,(I,≤), f_ij|i≤j).

132. példa. A 129. állítás 4. feltétele nem áll, a többi áll.

Legyen I ={0,¹₂,³₄, . . . ,²ⁿ₂⁻¹n , . . . ,1}, a szokásos rendezéssel.

C_i elemei legyenek a véges sok pontból álló halmazok∀i.

Az 1. feltétel teljesül a szokásos rendezés használata miatt.

A 2. feltétel teljesül, hiszen véges sok pont képe véges sok pont.

A 3. feltétel teljesül, hiszen bármely pont inverz képe elmetszve véges sok pontból álló halmazokkalσ-kompakt halmazrendszert alkot.

A 4. feltétel nem teljesül, hiszen f_ij-k nem szürjektívek.

Világos, hogy [0,1] =P = lim←−(Xi,(I,≤), f_ij|i≤j).

133. állítás. Legyen ((X_i,M_i,C_i, µ_i),(I,≤), f_ij|_i≤j) mérték inverzrendszer, ahol C_i ⊆ M_i σ -kompakt halmazrendszer ∀i∈I. Ha

1. (I,≤) felfelé irányított halmaz,

2. (X,A, µ) =w−lim←−((Xi,M_i),(I,≤), f_ij|_i≤j) létezik,

3. ∀(i₁ ≤i2≤, . . .) sorozatra, ∪_np⁻¹_in (C_in) µ-majdnem σ-kompakt halmazrendszer, 4. µ_i szorosC_i-n∀i∈I,

akkor (X,M, µ) = lim

←−((X_i,M_i, µ_i),(I,≤), f_ij|_i≤j) létezik.

Bizonyítás. Azt mutatjuk meg, hogyµ σ-additív∪_i∈Ip⁻¹_i (M_i)-n.

A 4. feltételb®l adódik, hogy µmegszorítva∪_i∈Ip⁻¹_i (M_i)-re szoros∪_i∈Ip⁻¹_i (C_i)-n.

Legyenek A₁, A₂, . . . , A_n, . . . ∈ ∪_i∈Ip⁻¹_i (M_i) diszjunkt halmazok. A_n-ek deniciója miatt

∃i(n)∈I, és∃Aⁱ⁽ⁿ⁾_n ∈ M_i(n), hogyAn=p⁻¹_i(n)(Aⁱ⁽ⁿ⁾n ) ∀n. Legyeni1=i(1). Az 1. feltétel miatt

∃i^? ∈ I, hogy i₁ ≤i^?, és i(2) ≤i^?. Legyen i₂ = i^?. Deniáljuk az i₁ ≤ i₂ ≤. . . sorozat többi elemét hasonlóan. Könnyen látható, hogy∀n-hez ∃A_i(n) ∈ M_in, hogy An =p⁻¹_in (A_i(n)). Ekkor a 3. tulajdonság, és a 102. segédtétel miatt µ σ-additív ∪_i∈Ip⁻¹_i (M_i)-n. Ekkor a 106. tétel miatt(X,M, µ) = lim←−((Xi,M_i, µ_i),(I,≤), f_ij|i≤j) létezik. Q.E.D.

A következ® állítás Metivier [60] (269. old.) és Mallory & Sion [51] eredményeinek általáno-sítása.

134. állítás. Legyen ((Xi,M_i,C_i, µ_i), fij,(I,≤))|_i≤j mérték inverzrendszer, ahol C_i ⊆ M_i, σ -kompakt halmazrendszer ∀i∈I. Ha

1. fij(C_j)⊆ C_i ∀(i≤j),

2. f_ij⁻¹({x_i})∩ C_j ∀(i≤j) σ-kompakt halmazrendszer∀x_i∈ Xi, 3. ((Xi,M_i,C_i, µ_i), fij,(I,≤))|_i≤j majdnem sorozatmaximális, 4. µ_i szorosC_i halmazrendszeren ∀i∈I,

5. I felfelé irányított,

akkor (X,M, µ) = lim←−((Xi,M_i, µ_i),(I,≤), f_ij|_i≤j) létezik és egyértelm¶.

Bizonyítás. A 129. állítás miatt tetsz®legesi₁≤i₁ ≤. . .sorozat esetén ∪_np⁻¹_i

n(C_in)µ-majdnem σ-kompakt halmazrendszer. A 92. állítás, a 133. állítás, és 106. tétel miatt (X,M, µ) = lim←−((X_n,M_n, µ_n),(I,≤), f_ij|_i≤j) létezik és egyértelm¶. Q.E.D.

A bizonyítás tanulmányozásából kiderül, hogy a 134. állítás feltételei mellett σ-kompakt halmazcsalád inverzképei által alkotott halmazcsalád nem feltétlenülσ-kompakt. Tehát csak µ σ-additivitása kapható meg a ilyetén feltételekkel.

A következ® tétel Bochner [14] és Choski [26] eredménye.

135. tétel (Bochner-Choski-tétel). Ha (((X_i, τ_i), B(X_i, τ_i), µ_i),(I,≤), f_ij|_i≤j) olyan majd-nem sorozatmaximális, Radon valószín¶ségi mérték inverzrendszer, ahol (Xi, τi)-k Hausdor topologikus terek, és (I,≤) felfelé irányított halmaz, akkor (X,M, µ) = lim

←−(((X_i, τ_i), B(X_i, τ_i), µ_i),(I,≤), f_ij|_i≤j) mérték inverzlimesz létezik, és egyértelm¶ (M=σ(∪_ip⁻¹_i (B(Xi, τi)))).

Bizonyítás. Csak megjegyzéseket teszünk.

1. (I,≤) felfelé irányított,

2. Hausdor topologikus tér kompakt halmazaiσ-kompakt halmazrendszert alkotnak, 3. f_ij-k folytonosak, és kompakt halmaz folytonos képe kompakt halmaz,

4. zárt halmaz inverz képe zárt, és Hausdor topologikus tér esetén zárt halmaz metszete kompakt halmazzal kompakt halmaz,

5. a Radon valószín¶ségi mértékek szorosak a kompakt halmazokon, és végesek.

A fenti megjegyzések szerint teljesülnek a 134. állítás feltételei, így (X,M, µ) = lim←−(((Xn, τ_n), B(X_n, τ_n), µ_n),(I,≤), f_ij|_i≤j) mérték inverzlimesz létezik, és egyértelm¶. Q.E.D.

Az eredmény meglehet®sen régi és alapvet®. Két megjegyzést f¶zünk hozzá:

136. megjegyzés. Fontos látni, hogyµnem feltétlenül szoros a kompakt halmazokon, így nem feltétlenül Radon-mérték.

137. megjegyzés. M-ban a mérhet® halmazok száma nem elég nagy" (csak szorzatmérhet®-ségi struktúra van).

Már Bochner is megjegyzi, hogy nyitott az a kérdés, hogyµmikor Radon-mérték. A radonság fontossága a mérhet® halmazok megfelel® számának biztosítása miatt fontos. A sztochasztikus folyamatok elemzésekor fontos, hogy bizonyos halmazok, pl. a mintaösvény, mérhet®ek legyenek.

Ezt biztosítjaµRadon-mérték volta.

138. következmény. Legyen (((X_i, τ_i), B(X_i, τ_i), µ_i),(I,≤), f_ij|i≤j)majdnem sorozatmaximá-lis Baire-mérték inverzrendszer, ahol (Xi, τi)-k Hausdor topologikus terek, µ_i-k szorosak a kompakt halmazokon, és (I,≤) felfelé irányított halmaz, ekkor ((X, τ), B(X, τ), µ) = lim←−(((X_i, τi), B(Xi, τi), µ_i), fij,(I,≤))Baire-mérték inverzlimesz létezik, és egyértelm¶ (M=σ(∪_ip⁻¹_i (B (X_i, τ_i)))).

Bizonyítás. Lásd a 135. tétel bizonyítását, és a 136., 137. megjegyzéseket. Q.E.D.

In document Pintér Miklós (Pldal 71-79)