1. Bevezetés
Amikor mi, laikusok távolról közelítünk meg egy építményt, figyelmünk fokozatosan terelődik át az egészről a részletekre, szem előtt tartva a teljes egységet, a koncepciót, a fizikai környezet által meghatározott feltételeket, az arányokat, a szimmetriát, a színeket, finomságot, fény és árnyék kölcsönhatását és a harmóniát.
Az ókori görögök, főleg Püthagorasz és követői, a püthagoreusok szerint a tökéletes harmónia (azaz kapocs) a legkisebb természetes számok arányaival fejezhető ki. A püthagora-szi harmóniára egyik legszebb példánk a következő: ha egy háromszög oldalainak aránya 3:4:5, akkor a háromszög derékszögű. Ez éppen Püthagorasz tételéből következik, mert
2 2 . 3 4 52
Az igazság kedvéért meg kell itt említenünk, hogy bár a matematikatörténet ezt Pütha-gorasznak tulajdonítja (hiszen ő bizonyította), a babiloniak is használták ezt egy évezreddel Püthagorasz előtt, azzal a különbséggel, hogy ők nem tudták, hogy ez igaz valamennyi derék-szögű háromszögre.
A Püthagorasz-tétel (másképpen írva Pitagorasz-tétel) tulajdonképpen közvetlen őse a nagy Fermat-sejtésnek (amit érdekes módon, bár 1994-ben bonyolult matematikai módsze-rekkel bizonyítottak, előszeretettel továbbra is sejtésnek nevezünk). Ez a sejtés a püthagoraszi alapokat kapcsolja össze a matematika legbonyolultabb elképzeléseivel, ami több mint három évszázadon át lenyűgözte a matematikustársadalmat. Maga a feladat olyan egyszerű, hogy egy kisiskolás is megértheti.
1670-ben Toulouse-ban Pierre de Fermat (1601–1665) francia matematikus és jogász halála után megjelent a „Diophantosz Arithmeticája Pierre Fermat megjegyzéseivel” című kötet, melyben Fermat a 8. probléma tőszomszédságában széljegyzetként kijelentette, hogy az
n n n
x y z egyenletnek bármilyen rögzített n3, 4,5,... számra nincsen pozitív egész
x y z, ,
megoldása. Matematikusok nemzedékeit „őrjítette meg” ingerkedő megjegyzésével, amit szintén ide írt be:„Igazán csodálatos bizonyítást találtam erre a tételre, de ez a margó túl keskeny, semhogy ide-írhatnám.” (Lásd Simon Singh, A nagy Fermat-sejtés, Park Könyvkiadó, Budapest, 1999.) Hogy miért említjük ilyen részletességgel ezt az érdekes, püthagoraszi gyökerekkel rendelkező, de csak a múlt évszázad végén bizonyított feladatot? Többek között azért, mert az előadáson elhangzó tételeket (legtöbbjüket itt nem is bizonyítjuk) évek múltán könnyen elfe-lejthetik, ezt valószínűleg nem. Míg az itt tanult matematikatételek nagy többségének az utca embere hátat fordítana, még a Fermat-sejtés bizonyítása előtti időkben, New Yorkban, a Nyolcadik utcai metróállomás falán a következő falfirka jelent meg:
„xnyn zn: nincs megoldás. Igazán csodálatos megoldást találtam erre a tételre, de most nincs időm ideírni, mert jön a metró”.
Az arány (pl. 3:4) neve görögül logosz, az aránypáré (pl. 6:8=9:12) pedig analógia. A görögök szerint világszemléletünk három alapfogalma a harmónia, a logosz és a szimmetria.
Andrea Palladio (1508–1580) észak-itáliai építész hitvallása szerint egy valamirevaló épület-nek hármas követelményépület-nek kell megfelelnie: kényelem, tartósság, szépség, ha ezek közül valamelyik is hiányzik, az épület nem méltó nevére. Palotáival és villáival, új arányaival, tisz-ta vonalvezetésével a reneszánsz építészet egyik legtermékenyebb mesterévé vált, megszám-lálhatatlan követővel. A Villa Capra „La Rotonda” matematikai precizitással kiszámolt ará-nyossággal rendelkező Palladio-villa terveit a római Pantheon ihlette és Vicenza városán kí-vül, egy dombtetőre épült. Elnevezése, a „La Rotonda” a központi, kör alakú kupolás hallra utal. Az épület a fent említett credo minden egyes pontjának megfelel, szimmetrikus szerkeze-teit, díszítőelemeit, klasszikus formáit több mint négyszáz évig utánozták.
Amikor Püthagorasz Hippaszosz nevű fiatal tanítványa felfedezte, hogy a 2 (pl. az egységnyi oldalú négyzet átlójának hossza) nem fejezhető ki két természetes szám hányado-saként, tehát a „püthagoreus értelemben véve nem szám”, a püthagoreusok egész világszemlé-lete összeomlott. Úgyhogy inkább vízbe fojtották Hippaszoszt és továbbra sem vettek tudo-mást az ilyen számok létezéséről. Talán ez az egyetlen dicstelen tett, ami a nevükhöz kapcsol-ható. A 2-t és az irracionális számokat csak a mester halála után merték újra „életre kelteni”.
Vegyünk most egy 1 és 2oldalú téglalapot. Megkétszerezve a rövidebbik oldalt, 2 és 2 oldalú téglalapot kapunk, ami ugyanolyan arányú, mert 1: 2 2 : 2. Ez azt mutatja, hogy két egyforma papírlapot „ügyesen” egymás mellé rakva olyan nagyobb lapot kapunk, mely hasonló az eredetihez.
Ha egy egységnyi hosszúságú szakaszt úgy osztunk két részre, hogy a kisebbiknek és a nagyobbiknak az aránya egyenlő legyen a nagyobbiknak és az egésznek az arányával, azaz a nagyobbik részt x-szel jelölve, 1
1 x x x
másodfokú egyenletet kapunk, melynek egyetlen
pozitív megoldása az 1 5
x 2 és ekkor a nagyobbik és kisebbik aránya 1 5 2
, az aranymetszési arány. Az aranymetszésről Velencében, 1509-ben Fra Luca Paccioli „De Divina Proportione” címmel könyvet írt, melyet barátja, Leonardo da Vinci illusztrált. Nézzük meg az aranymetszés egyéb előfordulását is. Fibonacci, a középkor kiemelkedő matematiku-sa, 1200 körül, nyulak szaporodását vizsgálva, bevezette és tanulmányozta a következő nume-rikus sorozatot: 1,1,2,3,5,8,13,21,…, azaz általánosan un2 un1un. A Fibonacci-sorozat egymást követő tagjainak hányadosa: 1; 2; 1,5; 1,666; 1,6; 1,625; 1,6153, ..., az aranymetszés értékéhez tart.
1. Bevezetés 5
A Fibonacci-számok arányai a természetben is megtalálhatók: a szilvafa gallyain a levelek általában félfordulatra követik egymást, a bükknél, mogyorónál ez 1/3, a tölgynél, sárgabaracknál 2/5, körtefánál, nyárfánál 3/8, mandulánál, fűzfánál 5/13, és így tovább. Ezek az arányok éppen a másodszomszéd Fibonacci-számok arányai. Kepler szerint éppen az aranymetszés adta az ötletet a Teremtőnek, hogy bevezesse a hasonló dolgoknak hasonló dol-gokból való származtatását.
Bevezetőnk nem teljes, ha nem teszünk említést a párhuzamos egyeneseket időnként metszőknek ábrázoló perspektivitásról. A perspektív transzformáció a reneszánsz ideje alatt terjedt el, főként a firenzei Filippo Brunelleschinek köszönhetően. Tanítványa, Masaccio olyan Szentháromság-képet festett a firenzei Santa Maria Novella templom falára, hogy azt hitték, áttörték a templom falait. Ahogy a perspektivitás nem a végső szó a transzformációk világában, úgy Brunelleschi sem az az építészetben. Azóta is nagyszerű megoldások, koncep-ciók születnek, egyre újabb harmóniákat teremtünk, igyekezvén minél jobban kihasználni a rendelkezésünkre álló matematikai eszközöket, lehetőségeinket és képzeletünket.
„I am certain of nothing, but the holiness of the heart’s affections and the truth of Imagination… What the Imagination seizes as Beauty must be Truth.” (John Keats, Letter, November 22, 1817.)
2. Numerikus sorozatok fogalma, határértéke