Az információáramlás iránya skálamentes gráfon

A továbbiakban is a gyenge fogolydilemma játékot fogjuk vizsgálni úgy, hogy a játékosok egy skálamentes gráfon helyezkednek el. A kapcsolati rendszert megadó grá-fot a szokásos Barabási-Albert eljárás szerint generáljuk [3]. Azi-edik játékos, amely k_iszomszéddal rendelkezik, nyereményét az alábbi formula segítségével számolhatjuk ki:

Πe_i=αΠ_i+ (1−α)Π_i

k_i , (2.1)

aholΠ_i ak_iszomszéddal játszott fogolydilemma játék nyereményének az összege. A 0 ≤ α ≤ 1 paraméter változtatása folyamatos átmenetet tesz lehet˝ové a szerényebb

együttm ˝uködést eredményez˝o normált (α= 0) esetb˝ol a magas együttm ˝uködést bizto-sító, abszolút nyereménnyel számoló (α= 1) esetbe [68].

Kezdetben minden játékos véletlenszer˝uen együttm ˝uköd˝o vagy él˝osköd˝o stratégiát választ. Egy elemi Monte Carlo lépés során a véletlenszer˝uen választott x játékos, amelynek a (2.1) egyenlet alapján számolt nyereményeΠe_xátveheti aΠe_ynyereménnyel rendelkez˝oyszomszédja stratégiáját, haΠe_y >Πe_x. A stratégiaátadás valószín˝usége:

W(s_x→s_y) = Πey−Πex

(1−α)b+αbk_m , (2.2)

aholk_mak_xésk_y értékek közül a nagyobb. A fenti formula lényegében a (1.4) stra-tégiaátadási valószín˝uség módosított változata, figyelembe véve azαparaméter szere-pét.

Els˝oként feltérképeztük azt, hogy azαparaméter révén hangolt átmenet a külön-böz˝obértékeknél miként befolyásolta az együttm ˝uködés szintjét. Err˝ol jó áttekintést ad a 2.5. ábra. Eszerint a nyeremény részben normálása alig csökkenti a magas együtt-m ˝uködése szintet, az együtt-majdneegyütt-m együtt-minden neegyütt-mzérusαértéknél fennmarad, és csak a leg-nehezebb körülmények között (b≥1.6) csökken látható mértékben.

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

2.5. ábra. Az együttm ˝uköd˝ok aránya a skálamentes gráfon abésαparaméterek függ-vényében.

Annak megértésére, hogy milyen mechanizmus révén csökken le az együttm ˝ukö-dési szint a reguláris gráfokat jellemz˝o viszonylag alacsony szintre α = 0-nál, be-vezettünk egy olyan mennyiséget, ami az eltér˝o fokszámú játékosok állapotára ad in-formációt. Ha a játékosok közötti kapcsolatot két, irányított kötésnek tekintjük, akkor

ρ_cl jelöli az együttm ˝uköd˝o játékosok felé mutató kötések arányát. Ha ezt az értéket az együttm ˝uköd˝o játékosok arányát megadóρ_c mennyiséghez viszonyítjuk, akkor egy könnyen mérhet˝o, az együttm ˝uköd˝o játékosok általános elhelyezkedésér˝ol informáló χ=ρ_cl/ρ_c mennyiséget kapunk. Haρ_cl > ρ_c, akkor azt mondhatjuk, hogy az együtt-m ˝uköd˝ok aránya jelent˝osebb a nagyobb fokszáegyütt-mú helyeken. Ugyanakkor χ < 1 azt jelentené, hogy a több kapcsolattal rendelkez˝o centrumokban az átlagostól nagyobb az él˝osköd˝ok aránya. Aχ≈1érték jelentése az, hogy nincs lényeges eltérés az együttm ˝u-köd˝ok térbeli eloszlásában, ilyenkor a stratégia választásában a fokszám nem lényeges szempont. A hányados 1-hez közeli értéke akkor is megvalósulhat, ha a rendszer lé-nyegében teljesen együttm ˝uköd˝o vagy él˝osköd˝o állapotban van.

A 2.6. ábra bal oldali részén az említett mennyiséget (szaggatott kék vonal) áb-rázoltuk az α függvényében, rögzített bértéknél. Viszonyításként az átlagos együtt-m ˝uködési szintet is ábrázoltuk (folytonos piros görbe). Nagyαértékeknél a játékosok lényegében mindenhol az együttm ˝uködést választották, ezért az említett stratégia egy-aránt elfoglalja a kis és nagy fokszámmal rendelkez˝o helyeket is. Azαértékét tovább csökkentve az együttm ˝uködési szint csökken, viszont aχértéke emelkedik, mutatva, hogy a nagy fokszámú helyeken az együttm ˝uköd˝ok aránya nagyobb, mint ahogy az egész rendszerre jellemz˝o átlagból az következne. Azα = 0értékhez közeledve aχ értéke újra közelít az 1-hez, de ennek hátterében az áll, hogy a rendszer ismét homo-gén, kizárólagosan él˝osköd˝o állapotba kerül.

0

2.6. ábra. Az együttm ˝uköd˝ok aránya és aχparaméter értéke (bal oldal, szaggatott kék vonal), valamint a különböz˝o fokszámmal jellemezhet˝o csoportokra mért együttm ˝ukö-dési arány (jobb oldal) azαfüggvényében, rögzítettb= 1.5értéknél. S, M és L rendre a kis, közepes és nagy fokszámmal rendelkez˝o játékosok körében mért együttm ˝uködési szintet jelenti.

Az eddigi megfigyelések további pontosítása érdekében a különböz˝o fokszámmal rendelkez˝o csoportokra közvetlenül is megmérhetjük az együttm ˝uköd˝ok arányát. Eh-hez a játékosokat a kapcsolataik számát tekintve három csoportra osztottuk, függ˝oen attól, hogy kevés (S), közepesen sok (M), vagy sok kapcsolattal (L) rendelkeznek.

Figyelembe véve azt, hogy a fokszám eloszlás skálamentes, a kapcsolatokat logarit-mikus skálán osztottuk fel három egyenl˝o osztályra. A külön ezekre a csoportokra átlagolt együttm ˝uködési szinteket mutatja a 2.6. ábra jobb oldala, a bal oldalival meg-egyez˝o b = 1.5-es értéknél. Az el˝obbi tapasztalatainkkal összhangban, ez a vizsgá-lat is azt jelzi, hogy a nagy fokszámmal rendelkez˝o játékosok (centrumok) körében mindig nagyobb az együttm ˝uködési szint, mint az egész rendszerre tekintve. Mivel az α = 0 a homogén gráfoknál (pl. rácsoknál) megfigyelhet˝o együttm ˝uködési szin-tet eredményezi, ezért a fenti megfigyeléseinket úgy is összegezhetjük, a nemzérus α-nál megfigyelt, megnövekedett együttm ˝uködési készség mindig együtt jár a cent-rumok „példamutatásával”, azoknak az átlagot lényegesen felülmúló együttm ˝uködési készségével.

A tapasztalt különbségek mélyebb megértésére érdekében a továbbiakban mértük a bevezet˝oben már említett stratégiaátadási és átvételi valószín˝uségeket. Az egyes fok-számú játékosokra bontva,P_a(k)annak a valószín˝uségét mutatja, hogy egyk fokszám-mal rendelkez˝o játékos stratégiát vesz át egy szomszédjától a stacionárius állapotban.

Hasonlóan,P_d(k)annak a valószín˝uségét jelenti, hogy egykkapcsolattal rendelkez˝o játékos stratégiát ad át egy szomszédjának. Ennek a két valószín˝uségnek az össze-hasonlítását mutatja a 2.7. ábra különböz˝o α értékeknél. Szembet˝un˝o, hogy normált nyereménynél (α = 0) a nagy számban jenlév˝o, kis fokszámú játékosok a stratégia invázió forrásai, míg a lényegesen kevesebb számú, de több kapcsolattal rendelkez˝o játékosok csupán a stratégia átvételére képesek. A teljesen normált esett˝ol kicsit is el-térve (α= 0.02) a stratégiaátadás iránya drámai módon megváltozik és a kis létszámú, de nagy fokszámmal rendelkez˝o játékosok lesznek a stratégiaátadás els˝odleges forrá-sai. Azαértékét növelve egyre inkább kialakulnak az egyenl˝otlen szerepet feltételez˝o csoportok és ilyenkor a stratégia átvétele kizárólagosan a nagy számban jelenlev˝o, de els˝osorban a centrumokkal kapcsolatot fenntartó játékosokra lesz jellemz˝o, amit az utolsó panel a 2.7. ábrán is jól illusztrál. Ezek alapján azt mondhatjuk, hogy a ská-lamentes gráf együttm ˝uködést segít˝o hatásának a hátterében lényegében ugyanaz a mechanizmus áll, amit homogén kapcsolati gráfon (rácson), de eltér˝o tanítási képes-ség˝u játékosok alkalmazásával már megfigyeltünk.

0.000

2.7. ábra. A stratégiaátadási (piros folytonos) és átvételi (kék szaggatott) valószín˝usé-gek a játékosok kapcsolatainak (fokszámának) a függvényében különböz˝oα értékek-nél.

Az er˝osen aszimmetrikussá, egyirányúvá váló stratégiaáramlást támasztja alá az átvételt illetve átadást megadó függvények összehasonlító ábrázolása is különböz˝o α-nál a 2.8. ábrán. Jól látható, hogy amint az α-t zérusról növeljük, a nagy fokszámú centrumok stratégiaátvev˝o képessége gyorsan csökken és már α = 0.1-nél is elha-nyagolható mérték˝uvé válik. Ezzel szemben a stratégia átadásában márα = 0.02-t˝ol kezdve folyamatosan kiemelked˝o szerepük van. Az, hogy az ábrázolt valószín˝uségek α = 0.1 és 0.2-nél nagyobb abszolút érték˝uek, mint a legnagyobb együttm ˝uködést eredményez˝o α = 1-nél, azzal magyarázható, hogy ezeknél azαértékeknél nagyobb mérték˝u a stratégiák keveredése, tehát kevésbé homogén a rendszer, ami csökkenti a stratégiaátadás gyakoriságát a stacionárius állapotban.

Összefoglalva, ez a munka rámutatott arra, hogy az egyirányú stratégiaáramlás teszi lehet˝ové annak a mechanizmusnak a m ˝uködését, ami révén az együttm ˝uködés közösen élvezhet˝o el˝onye kialakul. Ezt elérhetjük a játékosok egyenl˝oségének a meg-szüntetésével vagy egy alkalmasan választott heterogén kölcsönhatási topológia vá-lasztásával. A továbbiakban azt fogjuk vizsgálni, hogy milyen szerepe van a

kapcso-0.00

2.8. ábra. A stratégiaátadási (átvételi) valószín˝uségek fokszám-függésének összeha-sonlítása különböz˝oαértékeknél a bal (jobb) oldali ábrán.

lati rendszer topológiájának akkor, ha feltételezzük a játékosok eltér˝o stratégiaátadó képességét.