Emlékeztetünk arra, hogy egy A = (A, X, δ) kimen® jel nélküli automata tekinthet® egy (A, F) unér algebrának is, ahol az egyváltozós m¶veletek F halmaza a (3.1) transzformációk halmaza. Így az algebrai struktúrák elmé-letében fontos kongruenciafogalom is átvihet® automatákra. Legyen ρ egy ekvivalencia az A állapothalmazon. A ρ relációt az A automata kongruen-ciájának nevezzük, ha minden a, b∈ A állapotpárra és x ∈X bemen® jelre teljesül az
(a, b)∈ρ =⇒ (δ(a, x), δ(b, x))∈ρ (4.1) implikáció. A ρ kongruenciához tartozó osztályozást az A állapothalmaz kompatibilis osztályozásának hívjuk. Mivel (4.1) ekvivalens az
(a, b)∈ρ =⇒ (δx(a), δx(b))∈ρ
implikációval, ezértρ az(A, F) unér algebra egy kongruenciája. Ezt a kong-ruenciafogalmat általánosítjuk Mealy és Moore automatákra.
Legyen A = (A, X, Y, δ, λ[µ]) tetsz®leges Mealy [Moore] automata. A ρ ⊆ A2 ekvivalenciát A kongruenciájának nevezzük, ha bármely a, b ∈ A állapotpárra ésx∈X bemen® jelre (4.1) fennáll, továbbá még a
(a, b)∈ρ =⇒ λ(a, x) =λ(b, x) [µ(a) =µ(b)] (4.2) feltétel is teljesül. Ez parciális automata esetén jelentse azt is, hogy δ(a, x) [λ(a, x), µ(a)] akkor és csak akkor van értelmezve, ha δ(b, x) [λ(b, x), µ(b)] is értelmezve van. Szokásρ-t A-kongruenciának vagy állapotkongruenciának is nevezni. A ρ(⊆ A2) ekvivalencia akkor és csak akkor kongruencia, ha az (a, b)∈ρ feltételb®l minden p∈X∗ bemen® szóra következik, hogy
(ap, bp)∈ρ és λ(a, p) =λ(b, p) [µ(δ(a, p)) =µ(δ(b, p))]. (4.3) A (4.3)-beli állítások helyettesíthet®k a következ®kkel:
(ap, bp)∈ρ és λ(a, p) =λ(b, p) [µ(ap) =µ(bp)]. (4.4)
LegyenA = (A, X, Y, δ, µ) Moore automata és π(⊆A2), amelyre
(a, b)∈π ⇐⇒ µ(a) =µ(b) (a, b∈A). (4.5) A π reláció az A állapothalmaz egy ekvivalenciája, amelyet az A Moore automata jelekvivalenciájának nevezzük.
4.1. Következmény
Ha ρ az A = (A, X, Y, δ, µ) Moore automata kongruenciája, akkor ρ ⊆ π és ρ az Aλ Mealy automatának is kongruenciája. Megforditva, ha ρ az Aλ
Mealy automata egy kongruenciája, akkor ρ∩π az A Moore automata egy kongruenciája.
Bizonyítás. Legyenρ azA= (A, X, Y, δ, µ)Moore automata kongruenciája.
Ha(a, b)∈ρésx∈X, akkor (4.2) szerint(δ(a, x), δ(b, x))∈ρésµ(a) =µ(b), amib®l ismét (4.2) szerint µ(δ(a, x) =µ(δ(b, x)). Ígyρ ⊆π, s mivel µδ =λ, ezért ρ azAλ Mealy automata kongruenciája.
Megfordítva, legyen ρ az Aλ Mealy automata egy kongruenciája. Ha (a, b) ∈ ρ ∩ π és x ∈ X, akkor µ(a) = µ(b), továbbá a (4.3) szerint, a λ = µδ összefüggést is felhasználva, (δ(a, x), δ(b, x)) ∈ ρ és µ(δ(a, x)) = µ(δ(b, x)). Amib®l((δ(a, x), δ(b, x))∈ρ∩π, azazρ∩π azAMoore automata kongruenciája.
Legyen ρ az A = (A, X, Y, δ, λ[µ]) Mealy [Moore] automata egy kong-ruenciája és A/ρ az A állapothalmaz ρ-szerinti faktorhalmaza. Deniáljuk az A/ρ= (A/ρ, X, Y, δρ, λρ[µρ]) Mealy [Moore] automatát, amelyre a δρ át-menetfüggvényt és a λρ kimenetfüggvényt [µρ jelfüggvényt] minden a ∈ A állapotra és x∈X bemen® jelre a
δρ(ρ[a], x) = ρ[δ(a, x)], (4.6) λρ(ρ[a], x) =λ(a, x) [µρ(ρ[a]) = µ(a)] (4.7) összefüggésekkel értelmezzük. Könnyen belátható, hogy az A/ρ automata jól deniált. A/ρ-t az A automata ρ szerinti faktorautomatájának nevez-zük. Természetesen kimen® jel nélküli automatákra csak a (4.6) feltételt kell tekinteni.
Az αρ :a →ρ[a] leképezés az A automatának az A/ρ faktorautomatára való homomorzmusa. Ezt azAautomatának azA/ρfaktorautomatára való természetes (vagy kanonikus) homomorzmusának nevezzük. Érvényes az alábbi ún. homomoratétel, amely kimen® jel nélküli automatákra ekvivalens az unér algebrákra vonatkozó homomoratétellel. A homomoratételt és az utána következ® két izomoratételt csak Mealy automatákra mondjuk ki, bár nyilvánvalóan Moore automatákra is igaz.
4.2. Tétel
Ha A = (A, X, Y, δ, λ) és A0 = (A0, X, Y, δ0, λ0) Mealy automaták és α az A-nakA0-re való homomorzmusa, akkorkerα kongruencia azA-n és A0 ∼= A/kerα.
Igazak az alábbi ún. izomoratételek is, amelyek kimen® jel nélküli au-tomatákra szintén ekvivalensek az unér algebrákra vonatkozó izomoratéte-lekkel:
4.3. Tétel
Ha A = (A, X, Y, δ, λ) egy Mealy automata, ρ egy kongruenciája és B = (B, X, Y0, δ, λ)olyan részautomatájaA-nak, hogy mindena∈A-raB∩ρ[a]6=
∅, akkor A/ρ∼=B/ρB. 4.4. Tétel
Ha ρ és τ az A Mealy automata olyan kongruenciái, hogy τ ⊆ρ, akkor ρ/τ kongruencia az A/τ faktorautomatán és A/ρ∼= (A/τ)/(ρ/τ).
Hasonlóan, az algebrai struktúrákhoz, tetsz®leges Aautomata kongruen-ciái is teljes hálót alkotnak a Függelékben megadott m¶veletekre, amelyet az A automata kongruenciahálójának hívunk és C(A)-val jelölünk. Egy algeb-rai struktúra kongruenciahálójának ιA és ωA, az ún. triviális kongruenciák, a legkisebb ill. a legnagyobb eleme. Az algebrai struktúrát egyszer¶nek ne-vezzük, ha csak triviális kongruenciái vannak. Minthogy minden kimen® jel nélküli automata a (3.1)-ben deniált müveletekre unér algebrának is tekint-het®, ezért egy kimen® jel nélküli automatát is akkor nevezünk egyszer¶ nek, ha csak triviális kongruenciái vannak. Minden legfeljebb kétállapotú kimen®
jel nélküli automata egyszer¶.
Természetesen ιAidentikus reláció minden automata esetén kongruencia.
Ha azonban az automata kimen® jeles, akkor az ωA univerzális reláció csak nagyon speciális esetben kongruenciája az automatának. Az egyszer¶ség kér-dése kimen® jeles automaták esetében is lényeges, ezért megvizsgáljuk, hogy az univerzális reláció milyen Mealy [Moore] automatákra kongruencia.
Ha a kimen® jel csak a pillanatnyi bemen® jel függvénye, azaz bármely a, b∈A állapotokra és x∈X bemen® jelre
λ(a, x) = λ(b, x),
akkor az A Mealy automatát memória nélküli automatának nevezzük. Egy Moore automatát akkor nevezünk memória nélkülinek, ha a hozzá tartozó Mealy automata memória nélküli. Könnyen belátható a
4.5. Lemma
Az A = (A, X, Y, δ, λ) Mealy automatáraωA akkor és csak akkor kongruen-cia, ha A memória nélküli automata.
Az egyszer¶ kimen® jeles automaták denícióját a 9. fejezetben adjuk meg. Ezekkel az automatákkal aII. részben foglalkozunk. Az egyszer¶ kime-n® jel nélküli automatákat pedig a 24. fejezetben vizsgáljuk részletesebben.
Deniáljuk az A= (A, X, δ)automataAállapothalmazán a következ®τk (k∈N) binér relációkat:
(a, b)∈τk ⇐⇒ (∀p∈Xk) (ap=bp). (4.8) 4.6. Tétel
Bármelyk ∈N esetén τk azA = (A, X, δ) automata kongruenciája és τk ⊆ τk+1. Ha τk = τk+1, akkor minden i pozitív egész számra τk = τk+i. Ha
|A|=n, akkor van olyan0≤k ≤n−1, amelyreτk =τk+1.
Bizonyítás. Minden k ∈ N esetén τk ekvivalencia és τk ⊆ τk+1. τ0 = ιA
nyilvánvalóan kongruencia. Ha 1≤k, x, y ∈X ésq ∈Xk−1, akkor (ax)(qy) = (axq)y = (bxq)y= (bx)(qy),
vagyis τk kongruencia. A második állításhoz elegend® megmutatni, hogy ha τk = τk+1, akkor τk+1 = τk+2. Mivel τk+1 ⊆ τk+2, ezért csak azt kell megmutatni, τk+2 ⊆ τk+1. Ehhez legyenek p∈Xk ésx, y ∈ X tetsz®legesek.
Ha(a, b)∈τk+2, akkor
(ax)(py) =axpy =bxpy = (bx)(py),
azaz (ax, bx)∈τk+1 =τk. Amib®l következik, hogy axp=bxp, azaz (a, b) ∈ τk+1. Ha |A| = n és ck a τk-osztályok száma, akkor 1 ≤ ck ≤ n. Legyen k∈N a legkisebb, amelyre τk=τk+1. De
ιA =τ0 ⊂τ1 ⊂τk =τk+1 ⊆ωA, amib®l következik az utolsó állítás.
Az A = (A, X, δ) automatát denitnek nevezzük, ha van olyan k ∈ N, amelyre τk = ωA. A denit automatákkal a 29. fejezetben foglalkozunk részletesebben.
Az A = (A, X, δ) automatát redukált állapotúnak nevezzük, ha τ1 = ιA, azaz, ha
(∀x∈X) (δ(a, x) = δ(b, x)) ⇐⇒ a=b. (4.9) Bármely A = (A, X, δ) automatának az A/τ1 faktorautomata redukált ál-lapotú homomorf képe. Nyilvánvaló, hogy minden legalább háromálál-lapotú egyszer¶ automata redukált állapotú. A következ® egyszer¶ példa is mutatja, hogy az állítás megfordítása nem igaz.
4.7. Példa
Az A = (A, X, δ) automata redukált állapotú, de nem egyszer¶, ahol A = {1,2,3}, X ={x} és
δ(1, x) = 2, δ(2, x) = 1, δ(3, x) = 3.
Feladatok
4.1. Legyen ρ az A = (A, X, δ) automata kongruenciája. Az A/ρ fak-torautomata akkor és csak akkor egyszer¶, ha A-nak nincs olyan τ kongruenciája, amelyreρ⊂τ ⊂ωA. (→ Megoldás)
4.2. HaB azAautomata homomorf képe, akkor C(B)izomorfan beágyaz-ható C(A)-ba. (→ Megoldás)