Az adatátvitel elméleti alapjai

Információt úgy lehet vezetéken továbbítani, hogy valamilyen fizikai jellemzőt, például feszültséget vagy áramerősséget változtatunk rajta. Ha a feszültség vagy az áramerősség változását egy egyváltozós időfüggvénnyel, f(t)-vel írjuk le, akkor modellezni tudjuk a jelek viselkedését, és így lehetőség nyílik a jelek matematikai eszközökkel történő elemzésére. A következő szakaszokban ezzel az elemzéssel foglalkozunk majd.

1.1. Fourier-analízis

A 19. század elején Jean-Baptiste Fourier francia matematikus bebizonyította, hogy bármely T periódusidejű, periodikus g(t) függvény előállítható szinuszos és koszinuszos tagok (általában végtelen) összegeként:

2.1. egyenlet - 2.1

ahol f = 1/T az alapfrekvencia, an és bn pedig az n-edik harmonikus (tag) szinuszos, illetve koszinuszos amplitúdója. Ezt a felbontást Fourier-sornak nevezzük. A Fourier-sor alapján az eredeti függvény visszaállítható, azaz a T periódusidő és az amplitúdók ismeretében az eredeti időfüggvény meghatározható a (2.1) összeg alapján.

Egy időkorlátos adatjel (az összes valódi jel ilyen) tárgyalásakor azt feltételezzük, hogy a teljes jelalak örökké ismétlődik (azaz a T és 2T közötti intervallumbeli viselkedés ugyanaz, mint a 0 és T közötti intervallumban).

Az an amplitúdót bármilyen g(t) függvényhez ki tudjuk számolni, ha a (2.1) egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk sin(2 kft)-vel, majd az így kapott kifejezést integráljuk 0 és T között. Mivel

ezért az összegnek csak egyetlen tagja marad: an. A bn-es kifejezések összege kiesik. Hasonlóan, ha a (2.1) egyenlet mindkét oldalát cos(2 kft)-vel szorozzuk meg, majd 0 és T között integrálunk, akkor megkapjuk bn-t.

Ha viszont az egyenlet mindkét oldalát egyből integráljuk, akkor megkaphatjuk a c-t. Az előbb említett műveletek végrehajtása után a következőket kapjuk:

1.2. Sávkorlátozott jelek

A fentiek oly módon kapcsolódnak az adatátvitelhez, hogy a valóságos csatornák különböző frekvenciájú jeleket különbözőképpen befolyásolnak. Tegyük fel, hogy egy 8 bites bájt formájában kódolt ASCII „b” karaktert akarunk elküldeni. A továbbítandó bitminta a 01100010. A 2.1.(a) ábra bal oldalán azt láthatjuk, hogy a számítógép kimenetén hogyan változik a feszültség értéke. A jel Fourier-sora az alábbi együtthatókat tartalmazza:

A 2.1.(a) ábra jobb oldalán az első néhány harmonikus amplitúdójának négyzetes középértékét, azaz a

kifejezést láthatjuk. Ezek az értékek azért érdekesek, mert négyzetösszegük arányos az adott frekvencián továbbított energiával.

Nincs olyan adatátviteli eszköz, amely a jeleket energiaveszteség nélkül tudná továbbítani. Ha a Fourier-sor összes tagja azonos mértékben csillapodna, akkor az elküldött jelnek csak az amplitúdója csökkenne, de a jelalak nem torzulna (tehát ugyanolyan szép négyszögletű hullámalak lenne, mint amilyet a 2.1.(a) ábrán láthatunk). Sajnos a valós átviteli közegek a Fourier-sor egyes tagjait különböző mértékben csillapítják, így a jelalak mindig torzul. Általában 0 és egy bizonyos fc frekvencia között a komponensek lényegében csillapítás nélkül terjednek, míg e felett az fc vágási frekvencia felett a komponensek erősen csillapodnak. [A frekvencia mértékegysége egyébként rezgés/másodperc vagy Hertz (Hz)]. Azt a frekvenciatartományt, amelyen belül a csillapítás mértéke nem túl nagy, sávszélességnek (bandwidth) nevezzük. A gyakorlatban a csillapítás megváltozása nem igazán éles, ezért a sávszélesség 0-tól addig a frekvenciáig tart, amelynél a jel teljesítménye az eredeti jel teljesítményének felére csökken.

2.1. ábra - (a) Bináris jel és Fourier-együtthatóinak négyzetes középértéke

(root-mean-square, rms). (b)–(e) Az eredeti jel sorozatos közelítése

A sávszélesség az átviteli közeg fizikai tulajdonsága, amely többek között a rézvezeték vagy az üvegszál kialakításától függ. Gyakran használnak szűrőket, hogy tovább korlátozzák egy jel sávszélességét. A 802.11 vezeték nélküli csatornák például megközelítőleg 20 MHz-et használhatnak, ezért a 802.11 rádiók szűrői a jel sávszélességét erre a méretre korlátozzák. Egy másik példa szerint a hagyományos (analóg) televíziócsatornák egyenként 6 MHz-et foglalnak el a vezetéken vagy az éterben. Ez a szűrés lehetővé teszi, hogy több jel osztozzon a spektrum egy adott tartományán, ami megnöveli a teljes rendszer hatékonyságát. Ez azt jelenti, hogy egyes jeleknél a frekvenciatartomány nem nullától kezdődik, de ez nem probléma. A sávszélesség továbbra is az áteresztő frekvenciasáv szélessége, és a hordozható információ csak ettől a szélességtől függ, és nem a kezdő és a záró frekvenciától. Azokat a jeleket, amelyek nullától a maximális frekvenciáig terjedő sávban futnak alapsávi (baseband) jeleknek hívjuk. Azokat a jeleket pedig, amelyek átviteli sávját egy nagyobb frekvenciatartomány felé tolják el – a vezeték nélküli átvitelben minden esetben –, áteresztősávi (passband) jeleknek nevezzük. Most vizsgáljuk meg, hogy hogyan nézne ki a 2.1.(a) ábrán látható jelalak, ha a sávszélesség olyan kicsi lenne, hogy csak a legkisebb frekvenciákat lehetne továbbítani (vagyis a jelalak időfüggvényét a (2.1) egyenlet első néhány tagjával közelítenénk). A 2.1.(b) ábrán az a jelalak látható, amelyet akkor kapnánk, ha a csatorna csak az első harmonikust (az alapharmonikust) engedné át. A 2.1.(c)–(e) ábrákon a továbbított jel spektruma és visszaállítás utáni jelalakja látható a nagyobb sávszélességű csatornák esetén. Digitális átvitel

esetén a cél az, hogy megfelelő pontosságú jelet kapjunk ahhoz, hogy a küldött bitfolyam rekonstruálható legyen. Ezt már könnyen megtehetjük a 2.1.(e) ábrán, tehát felesleges további harmonikusok használata azért, hogy pontosabb jelalakot kapjunk.

Ha adott az adatsebesség b b/s, akkor (például) 8 bit egyenként való elküldéséhez 8/b másodpercnyi idő szükséges, vagyis az első harmonikus frekvenciája b/8 Hz. A gyakran beszédminőségű vonalnak (voice-grade line) is nevezett szokványos telefonvonalaknak valamivel 3000 Hz felett van egy vágási frekvenciája, amelyet mesterségesen építettek a rendszerbe. Ez a korlátozás azt jelenti, hogy a legmagasabb átvitt harmonikus durván 3000/(b/8), vagyis 24 000/b (a vágás nem éles).

A 2.2. ábrán az áteresztett harmonikusok számát adtuk meg egy táblázatban, különböző adatsebességek esetén.

Ezekből a számokból kiderül, hogyha megpróbálunk 9600 b/s-os adatsebességgel egy beszédminőségű telefonvonalon adatokat továbbítani, akkor a 2.1.(a) ábrán látható jelekből a 2.1.(c) ábrán látható jelek lesznek.

Ez viszont az eredeti bináris jelek pontos vételét igen megnehezíti. Nyilvánvaló, hogy 38,4 kb/s-nál jóval nagyobb adatsebesség esetén semmi esélyünk nincs arra, hogy digitális jeleket továbbítsunk, még akkor sem, hogyha az átviteli eszköz teljesen zajmentes. Magyarán a sávszélesség korlátozása korlátozza az adatsebességet is, és ez még zajmentes csatorna esetén is igaz. Persze vannak olyan ügyes kódolási eljárások, amelyek több különböző feszültségszintet használnak, és jóval nagyobb adatsebességet lehet velük elérni. Ezekről az eljárásokról később még lesz szó ebben a fejezetben.

2.2. ábra - Az adatsebesség és a harmonikusok közötti kapcsolat a példa alapján

Sok félreértésre ad okot, hogy a sávszélesség mást jelent a villamosmérnökök és az informatikusok számára.

Villamosmérnökök számára az (analóg) sávszélesség (ahogy fentebb is szerepel) egy Hz-ben mérhető mennyiség, míg az informatikusok számára a (digitális) sávszélesség a csatorna maximális adatsebességét jelenti, egy bit/sec-ban mérhető mennyiséget. Az adatsebesség a digitális adatátvitelre használt fizikai csatorna analóg sávszélességének használatából adódó végeredmény, és a kettő nem független, ahogy ez a későbbiekben részletesen látható. Ebben a könyvben a szövegkörnyezetből mindannyiszor egyértelmű lesz, hogy az analóg sávszélességről (Hz) vagy a digitális sávszélességről (bit/sec) van-e épp szó.

1.3. A csatorna maximális adatsebessége

Henry Nyquist, az AT&T mérnöke már 1924-ben észrevette, hogy még egy tökéletes csatornának is véges az átviteli kapacitása. Egy olyan egyenletet vezetett le, amely egy véges sávszélességű zajmentes csatorna maximális adatsebességét fejezi ki. 1948-ban Claude Shannon folytatta Nyquist munkáját, és kiterjesztette a véletlen (vagyis termodinamikus) zajnak kitett csatornákra is [Shannon, 1948]. Ez a tanulmány az egész információelmélet legfontosabb tanulmánya. Mi itt most csak röviden fogjuk összefoglalni az azóta klasszikussá vált eredményeiket.

Nyquist bebizonyította, hogy ha egy tetszőleges jelet egy B sávszélességű aluláteresztő szűrőn bocsátunk át, akkor a szűrt jelből másodpercenként vett (pontosan) 2B minta alapján az eredeti jel helyreállítható.

Másodpercenként 2B mintánál többet nem érdemes venni a jelből, mivel a szűrő kiszűrné azokat a nagyobb frekvenciájú komponenseket, amelyeket a mintavételezéssel helyre tudnánk állítani. Ha a jelnek V különböző diszkrét szintje van, akkor a Nyquist-frekvenciatétel a következőt mondja ki:

2.2. egyenlet - 2.2

Például egy zajmentes, 3 kHz sávszélességű csatornán bináris (azaz kétszintű) jelek továbbítása esetén nem lehet 6000 b/s-nál nagyobb adatsebességet elérni.

Eddig csak a zajnélküli csatornákról ejtettünk szót. Ha a csatornán véletlen zaj is jelen van, a helyzet azonnal romlani kezd. Véletlen (termikus) zaj pedig a rendszerben levő molekulák mozgása miatt mindig van jelen. A jelenlévő termikus zaj mennyiségét a jel és a zaj teljesítményének arányával mérik, amelynek jel/zaj viszony (Signal-to-Noise Ratio, SNR) a neve. Ha a jel teljesítményét S-sel, a zaj teljesítményét N-nel jelöljük, akkor a jel/zaj viszony S/N. Általában a hányadost 10 log10 S/N logaritmikus skálán ábrázoljuk, annak hatalmas értéktartománya miatt. A logaritmikus skála egységeit decibelnek (dB) hívjuk, ahol a „deci” tizedet jelent, a

„bel” pedig Alexander Graham Bell, a telefon feltalálójának állít emléket. Ha S/N = 10, akkor ez 10 dB, ha S/N = 100, akkor ez 20 dB, ha S/N = 1000, akkor ez 30 dB és így tovább. A sztereo erősítők gyártói gyakran úgy jellemzik a terméküknek azt a sávszélességét (frekvenciatartományát), amelyben a termékük lineárisan működik, hogy a sáv két szélén a –3 dB-es pontokhoz tartozó frekvenciákat adják meg. Ezek azok a pontok, amelyeknél az erősítési tényező megközelítőleg 0,5, mivel .

Shannon legjelentősebb eredménye az az összefüggés, amelyben a maximális adatsebességet vagy kapacitást egy olyan zajos csatornára adja meg, amelynek sávszélessége B, jel/zaj viszonya pedig S/N:

2.3. egyenlet - 2.3

Ez adja meg a valódi csatornákon elérhető legnagyobb kapacitást. Például az ADSL (Asymmetric Digital Subscriber Line – aszimmetrikus digitális előfizetői vonal), ami internet-hozzáférést tesz lehetővé normál telefonvonalon keresztül, körülbelül 1 MHz-es sávszélességet használ. A jel/zaj viszony nagymértékben a felhasználó lakása és a telefonközpont távolságától függ, és egy megközelítőleg 40 dB-es jel/zaj viszony 1-2 km-es rövid vezetéken jónak tekinthető. Ezekkel a jellemzőkkel a csatorna 13 Mb/s-nál nagyobb átvitelt nem tesz lehetővé, függetlenül attól, hogy a jelnek hány szintje van, illetve, hogy milyen gyakorisággal veszünk mintát belőle. A gyakorlatban a felhasználók az ADSL 12 Mb/s névleges értékénél gyakran kisebb sebességekkel találkoznak. Ez az adatsebesség tulajdonképpen elég jó. A több mint 60 évnyi híradástechnikai fejlesztések jelentősen csökkentették a Shannon-kapacitás és a valóságos csatornák kapacitásának különbségét.

Shannon képlete információelméleti megfontolásokon alapul, és minden olyan csatornára érvényes, amelyben termikus zaj van jelen. Az ellenpéldák ugyanabba a kategóriába esnek, mint az örökmozgók. Az ADSL 13 Mb/s-os sebességének növeléséhez a jel/zaj viszony javítására (például digitális ismétlők vonalba helyezésével a fogyasztókhoz közelebb) vagy a sávszélesség növelésére van szükség, ahogy ez az ADSL2+ nevű továbbfejlesztés esetében történt.