12. Gyors forg´ ast´ ol val´ o sz´ etes´ es elleni stabilit´ as 141
12.3. G¨ omb alak´ u forg´ o test
ust¨ok¨osmagok bels˝o t¨omegs˝ur˝us´eg´ere. Az ekliptikai ´es az Oort-felh˝ovel kapcsolatos, a megfigyel´esekb˝ol meghat´arozott rot´aci´os peri´odussal, m´erettel ´es alakkal rendelkez˝o
¨
ust¨ok¨osmagoknak ezen a diagramon val´o elhelyezked´es´et mutatja a 71. ´abra. Az ´abr´an l´atszik, hogy a magfigyelt leggyorsabban forg´o ¨ust¨ok¨osmagok stabilak a forg´as miatt bek¨ovetkez˝o sz´etes´es ellen, ha a s˝ur˝us´eg¨uk nagyobb, mint 0,6 g cm−3 (600 kg m−3).
Ez a s˝ur˝us´eg megfelel az ¨ust¨ok¨osmagokra k¨ul¨onb¨oz˝o m´odszerekkel meghat´arozott
´
atlags˝ur˝us´eg ´ert´ekeknek, amelyek eg´eszen kicsi 0,01 g cm−3-t˝ol 1.0 g cm−3-ig sz´ornak.
Osszehasonl´ıt´¨ asul, a NASA Deep Impact ˝urk´ıs´erlet´enek c´elpontja, a 9P/Tempel 1 ek-liptikai ¨ust¨ok¨os magj´ara Davidsson ´es m´asok (2007) 0,450±0,250 g cm−3 ´atlagos s˝ur˝us´eget hat´aroztak meg.
Az el˝oz˝oekben t´argyalt nagyon egyszer˝u modell csak forg´o elny´ult ellipszoid alak´u test fel¨ulet´er˝ol val´o anyagdarabok leszakad´as´anak kezdet´et ´ırja le, illetve nincsenek a testben bels˝o ¨osszetart´o er˝ok. Ehhez k´epest j´oval fejlettebb ´es m´eg egyszer˝u sz´ a-m´ıt´asokkal, vagyis nem bonyolult numerikus, esetleg hidrok´od alkalmat´as´aval v´egzett szimul´aci´okkal kezelhet˝o modelleket fejlesztett ki Davidsson (1999, 2001) g¨omb, illetve forg´asi ellipszoid alak´u, homog´en bels˝o t¨omegeloszl´as´u testekre, amelyeket nem csak a t¨omegvonz´as, hanem bels˝o ¨osszetart´o er˝ok is seg´ıtenek egybetartani.
12.3. G¨ omb alak´ u forg´ o test
A kis ´egitesteket el lehet helyezni a meghat´arozott m´eret (effekt´ıv r´adiusz) ´es megfi-gyelt tengelyforg´asi id˝o alapj´an a r´adiusz – rot´aci´os peri´odus s´ıkon, a tov´abbiakban (R, P) s´ıkon, aholR az effekt´ıv r´adisz ´esP a rot´aci´os peri´odus. Az ´ıgy elhelyezett
´
egitestek k¨oz¨ul ki lehet v´alasztani azokat, amelyek ”extr´em” elhelyezked´es˝uek ezen a diagramon, azaz amelyek t´ul k¨ozel vannak a forg´asi sz´etes´es hat´ar´ahoz. ´Igy teh´at ez a diagram fontos eszk¨oz a k¨ul¨onb¨oz˝o kis ´egitestt´ıpusok, ´es egyedi ´egitestek forg´asi sz´etes´essel szembeni stabilit´asi – instabilit´asi ´allapot´anak meg´allap´ıt´as´ahoz.
Abb´ol a c´elb´ol, hogy a k´es˝obb ismertetend˝o eredm´enyek m¨og¨ott megb´uv´o fizikai modell ismert legyen, r¨oviden feleleven´ıtem a kritikus tengelyforg´asi id˝ok kisz´am´ıt´as´ara vonatkoz´o, Davidsson (1999, 2001) ´altal kidolgozott modelleket. Egy, a megfigyel´ esek-kel is k¨onnyen egybevethet˝o koherens elm´eleti h´att´er r¨ovid ismertet´ese megvil´ag´ıtja
36Centripet´alis er˝or˝ol van sz´o k¨uls˝o koordin´atarendszerb˝ol n´ezve – a testhez r¨ogz´ıtett forg´o rend-szerben pedig a centrifug´alis er˝or˝ol.
12. GYORS FORG ´AST ´OL VAL ´O SZ ´ETES ´ES ELLENI STABILIT ´AS 145
71. ´abra.Ekliptikai (EC) ´es Oort-felh˝ovel kapcsolatos (NIC) ¨ust¨ok¨osmagok elhelyezked´ese a tengelyk¨or¨uli forg´asi peri´odus – tengely ar´any diagramon. A folytonos g¨orbesereg az ´alland´o t¨omegs˝ur˝us´eghez (g cm−3) tartoz´o vonalakat ´abr´azolja, vagyis az ezekhez tartoz´o a kritikus forg´asi peri´odus ´es tengely ar´any ´ert´ekek a g¨orb´ek seg´ıts´eg´evel hat´arozhat´o meg a (40) felt´etel szerint. A t¨omegs˝ur˝us´eg als´o hat´art jelent a forg´asi stabilit´asra adott forg´asi peri´odusn´al (a k´ep forr´asa: a szerz˝o ´altal k´esz´ıtett ´abra, l. m´eg Lamy ´es m´asok 2004).
el˝ott¨unk a kis ´egitestek tengelyforg´asa szempontj´ab´ol megengedett stabil, vesz´ elyez-tetett instabil, illetve tiltott (sz´etes´esi katasztr´ofa) z´on´ainak helyzet´et a (R, P) di-agramon. A k´et nagy alakcsoport eset´et k¨ul¨on alfejezetekben t´argyalom: el˝osz¨or a g¨ombalakkal k¨ozel´ıthet˝o, majd pedig a k´ettengely˝u ellipszoid alak´u testek eseteit.
G¨omb alak´u vagy j´o k¨ozel´ıt´essel annak felt´etelezhet˝o testek eset´eben a (R, P) dia-gramon szeml´eletes m´odon kijel¨olhet˝ok azok a tartom´anyok, amelyekben elhelyezked˝o
´
egitest a gyors tengelyforg´as miatti sz´etdarabol´od´as szempontj´ab´ol vagy a ”megen-gedett” stabil r´egi´oban van, vagy a ”vesz´elyes” z´on´aban, illetve a ”tiltott” sz´etes´esi tartom´anyban. Davidsson (1999) modellje alapj´an az (R, P) s´ıkon kisz´am´ıthat´o azok-nak a hat´arvonalaknak a helyzete, amelyek elv´alasztj´ak egym´ast´ol ezeket a tarto-m´anyokat (72. ´abra). A ”megengedett” r´egi´o azokat az objektumokat tartalmazza, amelyekre a centrifug´alis er˝o nem el´eg nagy a mechanikai forg´asi sz´etes´esi instabilit´as l´etrehoz´as´ahoz. A ”vesz´elyes” z´on´aba azok az objektumok ker¨ulhetnek, amelyek a
12. GYORS FORG ´AST ´OL VAL ´O SZ ´ETES ´ES ELLENI STABILIT ´AS 146
ny´ır´o er˝ok hat´as´ara sz´ett¨oredeznek, de m´eg a gravit´aci´o ereje egybetartja a test¨uket.
A ”tiltott” z´on´aban a test m´eret´ehez ´es bels˝o anyagi param´etereihez k´epest t´ul gyors tengelyforg´as miatt sz´etesett objektumok tal´alhat´ok.
Homog´en t¨omegeloszl´as´u, merev ´es ¨osszenyomhatatlan, szabad tengely k¨or¨ul, sza-bad t´erben (k¨uls˝o er˝okt˝ol mentesen) forg´o g¨omb alak´u (k¨ozel´ıt˝oleg g¨ombnek felt´ ete-lezhet˝o) testre a spont´an sz´etes´esre vonatkoz´o kritikus forg´asi peri´odust a k¨ovetkez˝o k´eplet hat´arozza meg
Spont´an ny´ır´asi sz´ett¨oredez´es eset´ere a kritikus forg´asi peri´odus Pcrit2 =π
r ρ
2SR , (42)
ahol S a test anyag´anak ny´ır´asi modulusa. A kritikus forg´asi id˝o azt jelenti, hogy ennek el´er´esekor a test a sz´etny´ır´asb´ol ad´od´oan sz´ett¨oredezik, de m´eg nem esik teljesen sz´et, mert a gravit´aci´o ¨osszetartja. A k¨ovetkez˝o kifejez´esek azokat a kritikus forg´asi peri´odusokat, illetve a hozz´ajuk rendelt kritikus r´adiuszokat adjuk meg, amely r´adiusz intervallumokon bel¨ul a ny´ır´oer˝ok miatt m´ar sz´etdarabol´od´asnak indult test sz´etes´ese v´egbemegy (l. a 72. ´abr´at):
Az (R, P) s´ıkban megszerkeszthet˝o a forg´asi sz´ett¨oredez´essel szembeni stabilit´ a-si – instabilit´asi hat´arvonal rendszer, amely ”megengedett”, ”vesz´elyes” ´es ”tiltott”
tartom´anyokra osztja ezt a s´ıkot. Ez a hat´arvonal rendszer egy szigor´uan monoton n¨ovekv˝o vonalb´ol, ´es egy, kisz´am´ıthat´o rot´aci´os peri´odusn´al egy v´ızszintes egyenes sza-kaszb´ol ´all (72. ´abra). A szigor´uan monoton n¨oveked˝o g¨orbe h´arom r´eszre oszthat´o, amelyeket a fentebb meghat´arozott kritikus forg´asi id˝ok, illetve az ezekb˝ol kisz´ am´ıt-hat´o r´adiuszok hat´aroznak meg. Az els˝o a 0≤R≤R3 ´altal hat´arolt r´esz, amelyben a szak´ıt´oszil´ards´ag domin´al, ez ellen hat a centrifug´alis er˝o. Ennek hat´ara r´adiuszban az R3, amely a Pcrit3 = Pcrit1 felt´etelb˝ol sz´am´ıthat´o ki. A m´asodik szakasz az R3 ≤R≤R4, ahol a ny´ır´o er˝okb˝ol sz´armaz´o sz´ett¨oredez´es domin´al, vagyis a ny´ır´asi sz´etes´es (l. (23) egyenlet), amelyet azonnal sz´etes´es k¨ovet a (25) egyenlet alapj´an meghat´arozott kritikus forg´asid˝on´el. Az R4 hat´ar-r´adiuszt a Pcrit4 =Pcrit1 felt´etel hat´arozza meg. A harmadik szakaszt a m´ar a ny´ır´o er˝ok ´altal ”sz´etny´ırt” testre vonatkoz´o kritikus forg´asid˝o hat´arozza meg a (25) egyenlet alapj´an, miut´anPcrit4 >
Pcrit3. A ”vesz´elyeztetett” ´es ”tiltott” z´on´akat elv´alaszt´o vonal v´ızszintes f´elegyenes az (R, P) diagramon, amelyhez aPcrit4 = ´alland´o kritikus forg´asi id˝o tartozik (minden r´adiuszra az aktu´alis rot´aci´os peri´odusProt: ∀R > R47→Prot=Pcrit4=konstans).
37Az anyag ´altal t¨or´es n´elk¨ul elviselt legnagyobb fesz¨ults´eg, h´uz´ofesz¨ults´eg. A szak´ıt´oszil´ards´agot Davidsson (1999, 2001)T jel¨ol´ese helyett ebben a dolgozatbanσTjel¨oli.
12. GYORS FORG ´AST ´OL VAL ´O SZ ´ETES ´ES ELLENI STABILIT ´AS 147
72. ´abra. G¨ombalak´unak felt´etelezhet˝o ¨ust¨ok¨osmagok ´es a 2060 Chiron (95P/Chiron) kentaur elhelyezked´ese a r´adiusz – forg´asi peri´odus diagramon a megfigyel´esek alapj´an (forg´asi id˝o ´es effekt´ıv r´adiusz) T´oth & Lisse (2006) alapj´an. Aggreg´atum t´ıpus´u ¨ust¨ok¨osmag anyagra (krist´alyos v´ızj´eg ´es porszemcs´ek) kisz´am´ıtott mechani-kai szak´ıt´oszil´ards´agnek Greenberg ´es m´asok (1995) modellje alapj´an megszerkesztett elhat´arol´o vonalait is felt¨untett¨uk. A ”megengedett” (allowed) tartom´anyban stabil a forg´as, azaz nincs kit´eve a test a t´ul gyors tengelyforg´asb´ol ad´od´o sz´etdarabol´od´asnak. A ”vesz´elyeztetett” (damaged) z´on´aban a bels˝o ny´ır´ofesz¨ults´eg hat´as´ara kezd sz´ett¨oredezni a test, de a gravit´aci´o m´eg egybentartja. A ”tiltott”
(forbidden) z´on´aba ker¨ult test sz´etesik kisebb darabokra. A Pcrit4 (44) a vizszintes vonalnak felel meg. A Pcrit3 (43) a monoton n¨oveked˝o g¨orbe inflexi´os pontj´anak ordin´at´aja a monoton n¨ovekv˝o g¨orbe P < Pcrit4 szakasz´an. A hozz´ajuk tartoz´o R3
´
es R4 r´adiuszok kisz´am´ıthat´ok a Pcrit3 =Pcrit1, illetve a Pcrit4 =Pcrit1 felt´etelekb˝ol (41, 43, 44) (k´ep: a szerz˝o ´altal k´esz´ıtett ´abra, l. m´eg Toth & Lisse 2006).
Megeml´ıtem, hogy a bels˝o fesz¨ults´egekt˝ol mentes ”t¨ormel´ek halmaz” (rubble pile) fel´ep´ıt´es˝u testekre, amelyekre a centrifug´alis er˝ot csakis a test saj´at gravit´aci´oja e-gyens´ulyozza ki a k¨uls˝o er˝okt˝ol mentes (szabad) forg´as eset´eben Solem (1995) alapj´an a kritikus forg´asi peri´odus a
12. GYORS FORG ´AST ´OL VAL ´O SZ ´ETES ´ES ELLENI STABILIT ´AS 148
Pcrit5 = r3π
Gρ (45)
k´eplettel sz´am´ıthat´o ki.